Страница 96 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 + xy - 12y^2 = 0, \\ 2x^2 - 3xy + y^2 = 90; \end{cases} $ 2) $ \begin{cases} 4x^2 - 3xy - y^2 = 14, \\ 2x^2 + xy - 3y^2 = 12. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + xy - 12y^2 = 0, \\ 2x^2 - 3xy + y^2 = 90; \end{cases} $$

Первое уравнение $x^2 + xy - 12y^2 = 0$ является однородным уравнением второй степени. Разложим его на множители. Заметим, что если $y=0$, то из первого уравнения следует, что $x=0$. Однако пара $(0, 0)$ не является решением второго уравнения, так как $0 \neq 90$. Следовательно, $y \neq 0$.

Разделим первое уравнение на $y^2$:

$$ \left(\frac{x}{y}\right)^2 + \frac{x}{y} - 12 = 0 $$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получим квадратное уравнение:

$$ t^2 + t - 12 = 0 $$

По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 3$ и $t_2 = -4$.

Таким образом, исходная система равносильна совокупности двух систем:

1. $\frac{x}{y} = 3 \implies x = 3y$

2. $\frac{x}{y} = -4 \implies x = -4y$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $x = 3y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $2x^2 - 3xy + y^2 = 90$:

$$ 2(3y)^2 - 3(3y)y + y^2 = 90 $$

$$ 2(9y^2) - 9y^2 + y^2 = 90 $$

$$ 18y^2 - 9y^2 + y^2 = 90 $$

$$ 10y^2 = 90 $$

$$ y^2 = 9 $$

Отсюда $y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.

Если $y_1 = 3$, то $x_1 = 3 \cdot 3 = 9$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = 3 \cdot (-3) = -9$.

Получили две пары решений: $(9, 3)$ и $(-9, -3)$.

Случай 2: $x = -4y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $2x^2 - 3xy + y^2 = 90$:

$$ 2(-4y)^2 - 3(-4y)y + y^2 = 90 $$

$$ 2(16y^2) + 12y^2 + y^2 = 90 $$

$$ 32y^2 + 12y^2 + y^2 = 90 $$

$$ 45y^2 = 90 $$

$$ y^2 = 2 $$

Отсюда $y_3 = \sqrt{2}$ и $y_4 = -\sqrt{2}$.

Если $y_3 = \sqrt{2}$, то $x_3 = -4\sqrt{2}$.

Если $y_4 = -\sqrt{2}$, то $x_4 = -4(-\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$.

Получили еще две пары решений: $(-4\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(4\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

Ответ: $(9, 3)$, $(-9, -3)$, $(-4\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $(4\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 4x^2 - 3xy - y^2 = 14, \\ 2x^2 + xy - 3y^2 = 12. \end{cases} $$

Левые части уравнений являются однородными многочленами второй степени. Чтобы решить такую систему, можно избавиться от свободных членов, чтобы получить однородное уравнение. Умножим первое уравнение на 12, а второе на 14:

$$ 12(4x^2 - 3xy - y^2) = 12 \cdot 14 $$

$$ 14(2x^2 + xy - 3y^2) = 14 \cdot 12 $$

Правые части уравнений стали равны, следовательно, мы можем приравнять их левые части:

$$ 12(4x^2 - 3xy - y^2) = 14(2x^2 + xy - 3y^2) $$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$ 6(4x^2 - 3xy - y^2) = 7(2x^2 + xy - 3y^2) $$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$ 24x^2 - 18xy - 6y^2 = 14x^2 + 7xy - 21y^2 $$

$$ (24-14)x^2 + (-18-7)xy + (-6+21)y^2 = 0 $$

$$ 10x^2 - 25xy + 15y^2 = 0 $$

Разделим уравнение на 5:

$$ 2x^2 - 5xy + 3y^2 = 0 $$

Это однородное уравнение. Заметим, что $y \neq 0$ (иначе из исходной системы $4x^2=14$ и $2x^2=12$, что невозможно). Разделим уравнение на $y^2$:

$$ 2\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 5\left(\frac{x}{y}\right) + 3 = 0 $$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$$ 2t^2 - 5t + 3 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

$$ t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{4} $$

$t_1 = \frac{5+1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$, $t_2 = \frac{5-1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Получаем два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = 1 \implies x = y$.

Подставим $x=y$ в первое уравнение исходной системы:

$$ 4y^2 - 3y(y) - y^2 = 14 $$

$$ 4y^2 - 3y^2 - y^2 = 14 $$

$$ 0 = 14 $$

Получили неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{3}{2} \implies x = \frac{3}{2}y$.

Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы $2x^2 + xy - 3y^2 = 12$:

$$ 2\left(\frac{3}{2}y\right)^2 + \left(\frac{3}{2}y\right)y - 3y^2 = 12 $$

$$ 2\left(\frac{9}{4}y^2\right) + \frac{3}{2}y^2 - 3y^2 = 12 $$

$$ \frac{9}{2}y^2 + \frac{3}{2}y^2 - \frac{6}{2}y^2 = 12 $$

$$ \frac{6}{2}y^2 = 12 $$

$$ 3y^2 = 12 $$

$$ y^2 = 4 $$

Отсюда $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = \frac{3}{2} \cdot (-2) = -3$.

Получили две пары решений: $(3, 2)$ и $(-3, -2)$.

Ответ: $(3, 2)$, $(-3, -2)$.

134. Сколько решений в зависимости от значения $a$ имеет система уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 2, \\ y = a - x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a^2, \\ |y - x| = 3? \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 2 \\ y = a - x \end{cases}$

Эту задачу можно решить геометрически. Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 2$, задает на координатной плоскости окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{2}$.

Второе уравнение, $y = -x + a$ (или $x+y-a=0$), задает семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом, равным -1. Параметр $a$ отвечает за сдвиг прямой вдоль оси ординат.

Количество решений системы равно количеству точек пересечения окружности и прямой. Это число зависит от расстояния $d$ от центра окружности $(0,0)$ до прямой $x+y-a=0$.

Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

В нашем случае $(x_0, y_0) = (0,0)$, а прямая $1 \cdot x + 1 \cdot y - a = 0$.

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-a|}{\sqrt{2}} = \frac{|a|}{\sqrt{2}}$

Теперь сравним расстояние $d$ с радиусом окружности $R=\sqrt{2}$:

• Если $d > R$, прямая и окружность не пересекаются, и система не имеет решений.
  $\frac{|a|}{\sqrt{2}} > \sqrt{2} \implies |a| > 2$. Это соответствует $a < -2$ или $a > 2$.

• Если $d = R$, прямая касается окружности в одной точке, и система имеет одно решение.
  $\frac{|a|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \implies |a| = 2$. Это соответствует $a = -2$ или $a = 2$.

• Если $d < R$, прямая пересекает окружность в двух точках, и система имеет два решения.
  $\frac{|a|}{\sqrt{2}} < \sqrt{2} \implies |a| < 2$. Это соответствует $-2 < a < 2$.

Ответ: при $|a| < 2$ система имеет два решения; при $|a| = 2$ — одно решение; при $|a| > 2$ — решений нет.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = a^2 \\ |y - x| = 3 \end{cases}$

Решим эту задачу также геометрическим методом. Первое уравнение, $x^2 + y^2 = a^2$, задает окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{a^2} = |a|$. Если $a=0$, окружность вырождается в точку $(0,0)$.

Второе уравнение, $|y - x| = 3$, равносильно совокупности двух уравнений:

$y - x = 3$ или $y - x = -3$.

Эти уравнения задают две параллельные прямые: $y = x+3$ и $y = x-3$.

Количество решений системы равно общему числу точек пересечения окружности с этими двумя прямыми.

Найдем расстояние $d$ от центра окружности $(0,0)$ до этих прямых. Прямые можно записать как $x - y + 3 = 0$ и $x - y - 3 = 0$. В силу симметрии, расстояние от начала координат до обеих прямых одинаково.

$d = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|3|}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Теперь сравним радиус окружности $R=|a|$ с этим расстоянием $d$:

• Если $R < d$, окружность не пересекает ни одну из прямых, и система не имеет решений.
  $|a| < \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

• Если $R = d$, окружность касается каждой из прямых в одной точке. Таким образом, система имеет два решения.
  $|a| = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

• Если $R > d$, окружность пересекает каждую из прямых в двух различных точках. В этом случае общее число решений равно четырем.
  $|a| > \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: при $|a| < \frac{3\sqrt{2}}{2}$ система не имеет решений; при $|a| = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ — два решения; при $|a| > \frac{3\sqrt{2}}{2}$ — четыре решения.

135. Двое рабочих должны были изготовить по 90 деталей. Один из них изготавливал ежедневно на 3 детали больше, чем другой, поэтому выполнил заказ на один день раньше. Сколько деталей в день изготавливал каждый рабочий?

Пусть $x$ — количество деталей, которое изготавливал в день второй рабочий (тот, что работал медленнее). Тогда первый рабочий, который работал быстрее, изготавливал $(x+3)$ детали в день.

Каждый из них должен был изготовить 90 деталей. Время, которое требуется для выполнения всей работы, можно найти по формуле: Время = Объем работы / Производительность.

Время, затраченное вторым (медленным) рабочим, составляет $t_2 = \frac{90}{x}$ дней.

Время, затраченное первым (быстрым) рабочим, составляет $t_1 = \frac{90}{x+3}$ дней.

По условию задачи, первый рабочий выполнил заказ на один день раньше, чем второй. Это означает, что время второго рабочего на 1 день больше времени первого. Составим и решим уравнение:

$t_2 - t_1 = 1$

$\frac{90}{x} - \frac{90}{x+3} = 1$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+3)$:

$\frac{90(x+3) - 90x}{x(x+3)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{90x + 270 - 90x}{x^2 + 3x} = 1$

$\frac{270}{x^2 + 3x} = 1$

Теперь умножим обе части на знаменатель $x^2 + 3x$, предполагая, что он не равен нулю (что верно, так как производительность $x$ должна быть положительной):

$270 = x^2 + 3x$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 3x - 270 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-270) = 9 + 1080 = 1089$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 33}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 33}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

Поскольку $x$ обозначает количество деталей, изготавливаемых в день, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x = -18$ не является решением задачи.

Таким образом, второй (медленный) рабочий изготавливал 15 деталей в день.

Первый (быстрый) рабочий изготавливал на 3 детали больше: $15 + 3 = 18$ деталей в день.

Проверка:
Время работы первого рабочего: $90 / 18 = 5$ дней.
Время работы второго рабочего: $90 / 15 = 6$ дней.
Разница составляет $6 - 5 = 1$ день, что соответствует условию задачи.

Ответ: один рабочий изготавливал 18 деталей в день, а другой — 15 деталей в день.

136. Из пунктов $A$ и $B$ одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля, и после встречи каждый из них продолжил движение в первоначальном направлении. Первый из них, скорость которого на $15$ км/ч больше скорости второго, прибыл в пункт $A$ через $3$ ч после встречи, а второй в пункт $B$ — через $5$ ч $20$ мин. Найдите скорость, с которой двигался каждый автомобиль. Через какое время после начала движения состоялась их встреча?

Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого автомобиля, а $v_2$ км/ч — скорость второго. Пусть $t$ ч — время, которое автомобили двигались до встречи.

По условию, скорость первого автомобиля на 15 км/ч больше скорости второго, значит: $v_1 = v_2 + 15$

Обозначим место встречи буквой C. Тогда расстояние от пункта A до C первый автомобиль (выехавший из B) проехал за 3 часа после встречи, а второй автомобиль (выехавший из A) проехал это же расстояние за время $t$ до встречи. Составим уравнение для расстояния AC: $AC = v_1 \cdot 3 = v_2 \cdot t$

Расстояние от пункта B до C второй автомобиль проехал за 5 ч 20 мин после встречи, а первый автомобиль проехал это же расстояние за время $t$ до встречи. Переведем 5 ч 20 мин в часы: $5$ ч $20$ мин $= 5 + \frac{20}{60}$ ч $= 5 + \frac{1}{3}$ ч $= \frac{16}{3}$ ч. Составим уравнение для расстояния BC: $BC = v_2 \cdot \frac{16}{3} = v_1 \cdot t$

Мы получили систему из двух уравнений: $ \begin{cases} 3v_1 = v_2 t \\ \frac{16}{3}v_2 = v_1 t \end{cases} $

Выразим время $t$ из каждого уравнения: $t = \frac{3v_1}{v_2}$ $t = \frac{16v_2}{3v_1}$

Приравняем правые части уравнений: $\frac{3v_1}{v_2} = \frac{16v_2}{3v_1}$

Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим: $3v_1 \cdot 3v_1 = v_2 \cdot 16v_2$ $9v_1^2 = 16v_2^2$

Так как скорости являются положительными величинами, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $3v_1 = 4v_2$

Теперь у нас есть система из двух простых уравнений для нахождения скоростей: $ \begin{cases} v_1 = v_2 + 15 \\ 3v_1 = 4v_2 \end{cases} $

Подставим выражение для $v_1$ из первого уравнения во второе: $3(v_2 + 15) = 4v_2$ $3v_2 + 45 = 4v_2$ $4v_2 - 3v_2 = 45$ $v_2 = 45$ км/ч.

Теперь найдем скорость первого автомобиля: $v_1 = v_2 + 15 = 45 + 15 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля – 60 км/ч, скорость второго автомобиля – 45 км/ч.

Чтобы найти время до встречи $t$, подставим найденные значения скоростей в любую из ранее выведенных формул для $t$. Например, в $t = \frac{3v_1}{v_2}$: $t = \frac{3 \cdot 60}{45} = \frac{180}{45} = 4$ ч.

Проверим по второй формуле $t = \frac{16v_2}{3v_1}$: $t = \frac{16 \cdot 45}{3 \cdot 60} = \frac{720}{180} = 4$ ч.

Ответ: встреча состоялась через 4 часа после начала движения.

137. От станции $M$ на станцию $N$, расстояние между которыми равно 240 км, отправились одновременно два поезда. Первый поезд прибыл на станцию $N$ на 48 мин позже второго. Найдите скорость каждого поезда, если известно, что первый поезд за 2 ч проходит на 40 км больше, чем второй за 1 ч, и скорость каждого поезда не превышает 100 км/ч.

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого поезда, а $v_2$ (км/ч) — скорость второго поезда.

Расстояние между станциями $M$ и $N$ равно $S = 240$ км. Время, которое первый поезд затратил на путь, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{240}{v_1}$ ч. Время, которое второй поезд затратил на путь, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{240}{v_2}$ ч.

По условию, первый поезд прибыл на 48 минут позже второго. Переведем 48 минут в часы: $48 \text{ мин} = \frac{48}{60} \text{ ч} = \frac{4}{5}$ ч. Так как первый поезд ехал дольше (его скорость меньше), то $t_1 - t_2 = \frac{4}{5}$. Получаем первое уравнение: $$ \frac{240}{v_1} - \frac{240}{v_2} = \frac{4}{5} $$

Также известно, что первый поезд за 2 часа проходит на 40 км больше, чем второй за 1 час. Расстояние, пройденное первым поездом за 2 часа, равно $2 \cdot v_1$ км. Расстояние, пройденное вторым поездом за 1 час, равно $1 \cdot v_2$ км. Получаем второе уравнение: $2v_1 = v_2 + 40$, откуда можно выразить $v_2$: $$ v_2 = 2v_1 - 40 $$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} \frac{240}{v_1} - \frac{240}{v_2} = \frac{4}{5} \\ v_2 = 2v_1 - 40 \end{cases} $$

Подставим выражение для $v_2$ из второго уравнения в первое: $$ \frac{240}{v_1} - \frac{240}{2v_1 - 40} = \frac{4}{5} $$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы упростить его: $$ \frac{60}{v_1} - \frac{60}{2v_1 - 40} = \frac{1}{5} $$ $$ \frac{60}{v_1} - \frac{60}{2(v_1 - 20)} = \frac{1}{5} $$ $$ \frac{60}{v_1} - \frac{30}{v_1 - 20} = \frac{1}{5} $$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v_1(v_1 - 20)$: $$ \frac{60(v_1 - 20) - 30v_1}{v_1(v_1 - 20)} = \frac{1}{5} $$ $$ \frac{60v_1 - 1200 - 30v_1}{v_1^2 - 20v_1} = \frac{1}{5} $$ $$ \frac{30v_1 - 1200}{v_1^2 - 20v_1} = \frac{1}{5} $$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем: $$ 5(30v_1 - 1200) = 1(v_1^2 - 20v_1) $$ $$ 150v_1 - 6000 = v_1^2 - 20v_1 $$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ v_1^2 - 20v_1 - 150v_1 + 6000 = 0 $$ $$ v_1^2 - 170v_1 + 6000 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-170)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6000 = 28900 - 24000 = 4900$. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{4900} = 70$.

Найдем корни уравнения для $v_1$: $v_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{170 + 70}{2} = \frac{240}{2} = 120$. $v_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{170 - 70}{2} = \frac{100}{2} = 50$.

По условию задачи, скорость каждого поезда не превышает 100 км/ч. Первый корень $v_1 = 120$ км/ч не удовлетворяет этому условию ($120 > 100$), поэтому мы его отбрасываем. Второй корень $v_1 = 50$ км/ч удовлетворяет условию ($50 \le 100$). Это скорость первого поезда.

Теперь найдем скорость второго поезда, используя значение $v_1 = 50$ км/ч: $v_2 = 2v_1 - 40 = 2 \cdot 50 - 40 = 100 - 40 = 60$ км/ч. Скорость второго поезда $v_2 = 60$ км/ч также удовлетворяет условию ($60 \le 100$).

Таким образом, мы нашли скорости обоих поездов.

Ответ: скорость первого поезда равна 50 км/ч, скорость второго поезда — 60 км/ч.

138. Лодка проходит 54 км по течению реки и 48 км в стоячей воде за 6 ч. Чтобы пройти 64 км в стоячей воде, лодке требуется на 2 ч больше, чем на прохождение 36 км по течению этой реки. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде), и $y$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению реки равна $(x + y)$ км/ч.

Из первого условия задачи известно, что лодка проходит 54 км по течению и 48 км в стоячей воде за общее время 6 часов. Время, затраченное на путь по течению, составляет $\frac{54}{x+y}$ ч, а время на путь в стоячей воде — $\frac{48}{x}$ ч. Составим первое уравнение системы: $$ \frac{54}{x+y} + \frac{48}{x} = 6 $$

Из второго условия следует, что на 64 км в стоячей воде лодка тратит на 2 часа больше, чем на 36 км по течению. Время, затраченное на 64 км в стоячей воде, равно $\frac{64}{x}$ ч, а время на 36 км по течению — $\frac{36}{x+y}$ ч. Составим второе уравнение системы: $$ \frac{64}{x} - \frac{36}{x+y} = 2 $$

Таким образом, мы получили систему двух уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} \frac{54}{x+y} + \frac{48}{x} = 6 \\ \frac{64}{x} - \frac{36}{x+y} = 2 \end{cases} $$

Для упрощения решения введем замену переменных. Пусть $u = \frac{1}{x+y}$ и $v = \frac{1}{x}$. Система примет вид: $$ \begin{cases} 54u + 48v = 6 \\ -36u + 64v = 2 \end{cases} $$

Разделим обе части первого уравнения на 6, а второго — на 2: $$ \begin{cases} 9u + 8v = 1 \\ -18u + 32v = 1 \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при переменной $u$ стали противоположными числами: $$ \begin{cases} 18u + 16v = 2 \\ -18u + 32v = 1 \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы: $$ (18u + 16v) + (-18u + 32v) = 2 + 1 $$ $$ 48v = 3 $$ $$ v = \frac{3}{48} = \frac{1}{16} $$

Подставим найденное значение $v$ в уравнение $9u + 8v = 1$: $$ 9u + 8 \cdot \left(\frac{1}{16}\right) = 1 $$ $$ 9u + \frac{1}{2} = 1 $$ $$ 9u = 1 - \frac{1}{2} $$ $$ 9u = \frac{1}{2} $$ $$ u = \frac{1}{18} $$

Теперь выполним обратную замену. Из $v = \frac{1}{x}$ следует, что $x = \frac{1}{v}$. Подставляем значение $v$: $$ x = \frac{1}{1/16} = 16 $$ Следовательно, собственная скорость лодки составляет 16 км/ч.

Из $u = \frac{1}{x+y}$ следует, что $x+y = \frac{1}{u}$. Подставляем значение $u$ и найденное значение $x$: $$ 16 + y = \frac{1}{1/18} $$ $$ 16 + y = 18 $$ $$ y = 18 - 16 = 2 $$ Следовательно, скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Ответ: собственная скорость лодки — 16 км/ч, скорость течения реки — 2 км/ч.