Страница 91 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

101. График квадратичной функции — парабола с вершиной в начале координат, проходящая через точку $ (6; -3) $. Задайте эту функцию формулой.

Общий вид квадратичной функции, график которой представляет собой параболу с вершиной в точке $(h; k)$, задается формулой $y = a(x - h)^2 + k$.

Согласно условию задачи, вершина параболы находится в начале координат, то есть в точке $(0; 0)$. Подставляя $h = 0$ и $k = 0$ в общую формулу, получаем упрощенный вид уравнения: $y = a(x - 0)^2 + 0$, что эквивалентно $y = ax^2$.

Известно, что график функции проходит через точку $(6; -3)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению параболы. Подставим значения $x = 6$ и $y = -3$ в уравнение $y = ax^2$, чтобы определить значение коэффициента $a$:

$-3 = a \cdot 6^2$

$-3 = 36a$

Отсюда находим $a$:

$a = \frac{-3}{36} = -\frac{1}{12}$

Теперь, подставив найденное значение $a$ обратно в уравнение $y = ax^2$, мы получаем искомую формулу функции:

$y = -\frac{1}{12}x^2$

Ответ: $y = -\frac{1}{12}x^2$

102. График квадратичной функции — парабола с вершиной в точке $C(0; 4)$, проходящая через точку $D(-5; -46)$.

Задайте эту функцию формулой.

Уравнение квадратичной функции, график которой является параболой, можно записать в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h; k)$ — координаты вершины параболы.

По условию, вершина параболы находится в точке $C(0; 4)$. Следовательно, $h = 0$ и $k = 4$.

Подставим эти значения в уравнение:

$y = a(x - 0)^2 + 4$

$y = ax^2 + 4$

Нам также известно, что парабола проходит через точку $D(-5; -46)$. Чтобы найти коэффициент $a$, подставим координаты точки $D$ в полученное уравнение:

$-46 = a(-5)^2 + 4$

$-46 = a \cdot 25 + 4$

Выразим $25a$:

$25a = -46 - 4$

$25a = -50$

Найдем $a$:

$a = \frac{-50}{25} = -2$

Теперь подставим найденное значение $a = -2$ в уравнение параболы:

$y = -2x^2 + 4$

Ответ: $y = -2x^2 + 4$

103. Пусть $D$ — дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$. Изобразите схематически график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, если:

1) $a < 0, D > 0, c < 0, -\frac{b}{2a} < 0;$

2) $a > 0, D = 0, -\frac{b}{2a} < 0;$

3) $a > 0, c = 0, -\frac{b}{2a} > 0.$

1) $a < 0, D > 0, c < 0, -\frac{b}{2a} < 0$

Проанализируем заданные условия для построения графика квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$.
- Условие $a < 0$ означает, что ветви параболы направлены вниз.
- Условие $D > 0$ означает, что парабола пересекает ось абсцисс (Ox) в двух различных точках, то есть уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два действительных корня.
- Условие $c < 0$ означает, что парабола пересекает ось ординат (Oy) в точке $(0, c)$, которая находится ниже оси Ox.
- Условие $x_0 = -\frac{b}{2a} < 0$ означает, что абсцисса вершины параболы отрицательна, следовательно, вершина и ось симметрии параболы находятся левее оси Oy.

Теперь объединим эти условия. Поскольку ветви направлены вниз ($a < 0$) и есть два корня ($D > 0$), вершина параболы должна находиться выше оси Ox. Её ордината $y_0 = -\frac{D}{4a}$ будет положительной (так как $D > 0$ и $a < 0$).
Таким образом, вершина параболы $(x_0, y_0)$ находится во второй координатной четверти ($x_0 < 0, y_0 > 0$).
Парабола, выходя из вершины во второй четверти, движется вниз и пересекает ось Oy в точке с отрицательной ординатой ($c < 0$). Это означает, что обе точки пересечения с осью Ox (корни) должны быть отрицательными.
Это можно также проверить по теореме Виета: произведение корней $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$. У нас $c < 0$ и $a < 0$, следовательно, $\frac{c}{a} > 0$, что означает, что корни имеют одинаковый знак. Сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2(-\frac{b}{2a})$. Так как $-\frac{b}{2a} < 0$, то и сумма корней отрицательна. Если два числа одного знака, и их сумма отрицательна, то оба числа отрицательные.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится во второй координатной четверти. Парабола пересекает ось абсцисс в двух отрицательных точках и ось ординат в точке ниже начала координат.

2) $a > 0, D = 0, -\frac{b}{2a} < 0$

Проанализируем заданные условия:
- Условие $a > 0$ означает, что ветви параболы направлены вверх.
- Условие $D = 0$ означает, что парабола имеет ровно одну точку пересечения с осью Ox. Эта точка является вершиной параболы, то есть парабола касается оси Ox.
- Условие $x_0 = -\frac{b}{2a} < 0$ означает, что абсцисса вершины параболы отрицательна.

Из этих условий следует, что вершина параболы находится на оси Ox, левее оси Oy. Координаты вершины: $(x_0, 0)$, где $x_0 < 0$.
Найдем точку пересечения с осью Oy. При $x=0$, $y=c$. Из условия $D = b^2 - 4ac = 0$ следует, что $4ac = b^2$. Так как $a>0$ и $b^2 \ge 0$, то и $c \ge 0$. Если предположить, что $c=0$, то из $b^2=4ac$ следует, что $b=0$. Тогда абсцисса вершины $x_0 = -\frac{0}{2a} = 0$, что противоречит условию $x_0 < 0$. Следовательно, $c$ не может быть равно нулю, а значит $c > 0$. Парабола пересекает ось Oy в точке выше оси Ox.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится на отрицательной части оси Ox (парабола касается оси Ox в одной точке слева от начала координат). Парабола пересекает ось Oy в положительной точке.

3) $a > 0, c = 0, -\frac{b}{2a} > 0$

Проанализируем заданные условия:
- Условие $a > 0$ означает, что ветви параболы направлены вверх.
- Условие $c = 0$ означает, что график функции проходит через начало координат $(0, 0)$. Это означает, что $x=0$ является одним из корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
- Условие $x_0 = -\frac{b}{2a} > 0$ означает, что абсцисса вершины параболы положительна, следовательно, вершина находится правее оси Oy.

Поскольку парабола проходит через начало координат, ее ветви направлены вверх, а вершина находится правее оси Oy, то вершина должна быть расположена ниже оси Ox. Найдем ординату вершины $y_0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = b^2 - 4a(0) = b^2$. Из условия $x_0 = -\frac{b}{2a} > 0$ и $a > 0$ следует, что $b < 0$. Поэтому $D = b^2 > 0$. Это означает, что парабола имеет два различных корня.
Ордината вершины $y_0 = -\frac{D}{4a} = -\frac{b^2}{4a}$. Так как $b^2 > 0$ и $a > 0$, то $y_0 < 0$.
Таким образом, вершина параболы находится в четвертой координатной четверти ($x_0 > 0, y_0 < 0$).
Один корень нам известен: $x_1 = 0$. Второй корень можно найти из суммы корней: $x_1 + x_2 = 0 + x_2 = -\frac{b}{a}$. Так как $x_2 = -\frac{b}{a} = 2(-\frac{b}{2a})$ и $-\frac{b}{2a} > 0$, то второй корень $x_2$ также положителен.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями, направленными вверх, которая проходит через начало координат. Вершина параболы находится в четвертой координатной четверти. Парабола пересекает ось Ox в двух точках: в начале координат и в некоторой положительной точке.

104. При каком значении $a$ график квадратичной функции $y = ax^2 + (a-4)x - 4,5$ имеет с осью абсцисс одну общую точку?

График функции $y = ax^2 + (a-4)x - 4,5$ имеет с осью абсцисс одну общую точку, если уравнение $ax^2 + (a-4)x - 4,5 = 0$ имеет ровно один действительный корень. Необходимо рассмотреть два возможных случая в зависимости от значения параметра $a$.

1. Случай, когда $a \neq 0$.

В этом случае функция является квадратичной. Квадратное уравнение имеет один корень тогда и только тогда, когда его дискриминант ($D$) равен нулю. Найдем дискриминант для уравнения $ax^2 + (a-4)x - 4,5 = 0$. Коэффициенты уравнения: $A=a$, $B=a-4$, $C=-4,5$.

$D = B^2 - 4AC = (a-4)^2 - 4 \cdot a \cdot (-4,5)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$D = (a^2 - 8a + 16) + 18a = a^2 + 10a + 16$

Теперь приравняем дискриминант к нулю и решим полученное квадратное уравнение относительно $a$:

$a^2 + 10a + 16 = 0$

По теореме Виета, сумма корней этого уравнения равна -10, а их произведение равно 16. Легко подобрать корни: $a_1 = -8$ и $a_2 = -2$.

Оба найденных значения удовлетворяют условию $a \neq 0$, следовательно, они являются решениями задачи.

2. Случай, когда $a = 0$.

Если коэффициент при $x^2$ равен нулю, то функция перестает быть квадратичной и становится линейной. Подставим $a=0$ в исходное уравнение функции:

$y = 0 \cdot x^2 + (0-4)x - 4,5 = -4x - 4,5$

Графиком этой функции является прямая линия. Линейная функция имеет ровно одну точку пересечения с осью абсцисс, если ее угловой коэффициент не равен нулю. В нашем случае угловой коэффициент равен -4, что не равно нулю. Это означает, что прямая не параллельна оси абсцисс и пересекает ее ровно в одной точке. Таким образом, значение $a=0$ также является решением.

Объединив решения из обоих случаев, получаем все возможные значения параметра $a$.

Ответ: $a \in \{-8, -2, 0\}$.

105. При каких значениях $a$ функция $y = 3x^2 - 12x + a$ принимает положительные значения при всех действительных значениях $x$?

Заданная функция $y = 3x^2 - 12x + a$ является квадратичной. Графиком этой функции является парабола.

Чтобы функция принимала положительные значения при всех действительных значениях $x$, необходимо, чтобы неравенство $3x^2 - 12x + a > 0$ выполнялось для любого действительного числа $x$.

Старший коэффициент квадратного трехчлена равен $3$, что больше нуля ($3 > 0$). Это означает, что ветви параболы направлены вверх.

Для того чтобы парабола с ветвями, направленными вверх, всегда находилась выше оси абсцисс (оси $Ox$), она не должна иметь с ней точек пересечения. Это равносильно тому, что соответствующее квадратное уравнение $3x^2 - 12x + a = 0$ не должно иметь действительных корней.

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант ($D$) отрицателен.

Вычислим дискриминант для уравнения $3x^2 - 12x + a = 0$. Здесь коэффициенты равны: $A=3$, $B=-12$, $C=a$.

Формула дискриминанта: $D = B^2 - 4AC$.

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = 144 - 12a$

Теперь решим неравенство $D < 0$, чтобы найти требуемые значения $a$:

$144 - 12a < 0$

Перенесем $12a$ в правую часть:

$144 < 12a$

Разделим обе части неравенства на 12 (знак неравенства не изменится, так как 12 > 0):

$\frac{144}{12} < a$

$12 < a$

Следовательно, функция принимает положительные значения при всех действительных $x$, когда $a > 12$.

Ответ: $a > 12$.

106. При каких значениях $a$ функция $y = (a+5)x^2 - 4x + 2$ принимает отрицательные значения при всех действительных значениях $x$?

Для того чтобы функция $y = (a+5)x^2 - 4x + 2$ принимала отрицательные значения при всех действительных значениях $x$, необходимо, чтобы график этой функции (парабола) полностью находился ниже оси абсцисс.

Сначала рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a+5=0$. При $a=-5$ функция становится линейной: $y = -4x+2$. Эта функция принимает как положительные (например, при $x=0$, $y=2$), так и отрицательные значения (например, при $x=1$, $y=-2$), поэтому она не может быть отрицательной при всех $x$. Значит, $a=-5$ не является решением.

Если $a+5 \neq 0$, то функция является квадратичной. Для того чтобы ее график (парабола) был полностью расположен ниже оси $x$, должны одновременно выполняться два условия:

1. Ветви параболы должны быть направлены вниз. Это означает, что старший коэффициент должен быть отрицательным:

$a+5 < 0$

$a < -5$

2. Парабола не должна пересекать ось $x$ (и не должна касаться ее). Это означает, что квадратное уравнение $(a+5)x^2 - 4x + 2 = 0$ не должно иметь действительных корней, то есть его дискриминант ($D$) должен быть отрицательным.

Найдем дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot (a+5) \cdot 2 = 16 - 8(a+5)$

Теперь решим неравенство $D < 0$:

$16 - 8(a+5) < 0$

$16 < 8(a+5)$

Разделим обе части на 8:

$2 < a+5$

$a > 2 - 5$

$a > -3$

Теперь объединим оба условия в систему неравенств:

$\begin{cases} a < -5 \\ a > -3 \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как не существует такого числа, которое было бы одновременно меньше $-5$ и больше $-3$. Таким образом, не существует значений $a$, при которых функция принимает только отрицательные значения.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

107. При каких значениях $a$ функция $y = (a-1)x^2 + 10x + 1$ принимает неотрицательные значения при всех действительных значениях $x$?

Для того чтобы функция $y = (a-1)x^2 + 10x + 1$ принимала неотрицательные значения при всех действительных значениях $x$, необходимо, чтобы неравенство $(a-1)x^2 + 10x + 1 \ge 0$ выполнялось для любого действительного $x$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1. Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

Пусть $a-1 = 0$, то есть $a = 1$. В этом случае функция становится линейной: $y = 10x + 1$. Неравенство $10x + 1 \ge 0$ не выполняется для всех действительных $x$. Например, при $x = -1$, значение функции $y = -9$, что является отрицательным числом. Следовательно, значение $a = 1$ не является решением.

Случай 2. Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

Пусть $a-1 \ne 0$. В этом случае функция является квадратичной, и её график — парабола. Для того чтобы значения функции были всегда неотрицательными ($y \ge 0$), парабола должна быть расположена не ниже оси абсцисс. Это возможно при одновременном выполнении двух условий:

1. Ветви параболы должны быть направлены вверх. Для этого коэффициент при $x^2$ должен быть положительным:
$a-1 > 0 \implies a > 1$.

2. Парабола должна иметь не более одной точки пересечения с осью абсцисс (то есть касаться её или не пересекать). Это означает, что дискриминант $D$ соответствующего квадратного трехчлена должен быть неположительным: $D \le 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = 10^2 - 4 \cdot (a-1) \cdot 1 = 100 - 4(a-1)$.
Решим неравенство $D \le 0$:
$100 - 4(a-1) \le 0$
$100 \le 4(a-1)$
$25 \le a-1$
$a \ge 26$.

Для нахождения искомых значений $a$ необходимо, чтобы оба условия выполнялись одновременно. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} a > 1 \\ a \ge 26 \end{cases}$
Решением этой системы является неравенство $a \ge 26$.

Ответ: $a \ge 26$.

108. При каком значении c наименьшее значение функции $y = \frac{1}{3}x^2 - 2x + c$ равно 5?

Данная функция $y = \frac{1}{3}x^2 - 2x + c$ является квадратичной. Её график — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a = \frac{1}{3} > 0$), ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0)$

В нашем случае коэффициенты $a = \frac{1}{3}$ и $b = -2$.

Сначала найдем абсциссу (координату $x$) вершины:

$x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{2}{\frac{2}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$

Наименьшее значение функции — это ордината (координата $y$) вершины, то есть $y_0 = y(x_0)$. По условию задачи, наименьшее значение функции равно 5. Значит, $y_0 = 5$.

Теперь мы знаем координаты вершины параболы: $(3, 5)$. Подставим эти значения в исходное уравнение функции, чтобы найти неизвестный параметр $c$:

$5 = \frac{1}{3}(3)^2 - 2(3) + c$

Выполним вычисления:

$5 = \frac{1}{3} \cdot 9 - 6 + c$

$5 = 3 - 6 + c$

$5 = -3 + c$

Отсюда находим $c$:

$c = 5 + 3$

$c = 8$

Таким образом, при $c=8$ наименьшее значение функции будет равно 5.

Ответ: 8

109. При каких значениях $p$ и $q$ вершина параболы $y = x^2 + px + q$ находится в точке $(-6; -43)$?

Для нахождения значений $p$ и $q$ воспользуемся формулой для координат вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$. Координаты вершины $(x_в, y_в)$ определяются как:

$x_в = -\frac{b}{2a}$

$y_в = y(x_в)$

В нашем случае уравнение параболы имеет вид $y = x^2 + px + q$. Сравнивая его со стандартным видом, получаем коэффициенты: $a = 1$, $b = p$, $c = q$.

По условию, вершина параболы находится в точке $(-6; -43)$, следовательно, $x_в = -6$ и $y_в = -43$.

Сначала найдем значение $p$, используя формулу для абсциссы вершины:

$x_в = -\frac{p}{2 \cdot 1}$

Подставим известное значение $x_в = -6$:

$-6 = -\frac{p}{2}$

Умножим обе части уравнения на -2, чтобы выразить $p$:

$p = (-6) \cdot (-2)$

$p = 12$

Теперь, когда мы знаем значение $p$, мы можем найти $q$. Точка вершины $(-6; -43)$ лежит на параболе, поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению параболы. Подставим $x = -6$, $y = -43$ и $p = 12$ в исходное уравнение $y = x^2 + px + q$:

$-43 = (-6)^2 + 12 \cdot (-6) + q$

Выполним вычисления:

$-43 = 36 - 72 + q$

$-43 = -36 + q$

Теперь выразим $q$:

$q = -43 + 36$

$q = -7$

Таким образом, искомые значения коэффициентов равны $p=12$ и $q=-7$.

Ответ: $p=12$, $q=-7$.

110. Парабола $y = ax^2 + bx + c$ имеет вершину в точке $E(4; 3)$ и проходит через точку $F(2; 1)$. Найдите значения коэффициентов $a, b$ и $c$.

Для решения этой задачи воспользуемся канонической формой уравнения параболы, которая имеет вершину в точке с координатами $(x_v, y_v)$:
$y = a(x - x_v)^2 + y_v$

Из условия известно, что вершина параболы находится в точке E(4; 3). Подставим координаты этой точки в каноническое уравнение:
$x_v = 4$
$y_v = 3$
Получаем уравнение:
$y = a(x - 4)^2 + 3$

Также по условию парабола проходит через точку F(2; 1). Это означает, что координаты точки F удовлетворяют уравнению параболы. Подставим $x = 2$ и $y = 1$ в полученное уравнение, чтобы найти значение коэффициента $a$:
$1 = a(2 - 4)^2 + 3$
$1 = a(-2)^2 + 3$
$1 = 4a + 3$
$4a = 1 - 3$
$4a = -2$
$a = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь, когда мы нашли коэффициент $a$, мы можем записать полное уравнение параболы:
$y = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 + 3$

Чтобы найти коэффициенты $b$ и $c$, нам нужно привести это уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$, раскрыв скобки и упростив выражение:
$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 8x + 16) + 3$
$y = -\frac{1}{2}x^2 + (-\frac{1}{2})(-8x) + (-\frac{1}{2})(16) + 3$
$y = -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 8 + 3$
$y = -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 5$

Сравнивая полученное уравнение с исходным $y = ax^2 + bx + c$, находим искомые коэффициенты:
$a = -\frac{1}{2}$
$b = 4$
$c = -5$

Ответ: $a = -1/2$, $b = 4$, $c = -5$.

111. Постройте график функции:

1) $y = \frac{|x|}{x} \left( \frac{1}{4} x^2 - x - 3 \right);$

2) $y = x^2 + 2|x| - 8;$

3) $y = x^2 + 8x \frac{x-3}{|x-3|} - 9;$

4) $y = x^2 + 3|x-1| - x + 3.$

Рассмотрим функцию $y = \frac{|x|}{x} \left(\frac{1}{4}x^2 - x - 3\right)$.

Область определения функции (ОДЗ): $x \neq 0$.

Выражение $\frac{|x|}{x}$ является функцией знака (signum): $ \frac{|x|}{x} = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 0 \\ -1, & \text{если } x < 0 \end{cases} $

Разобьем построение графика на два случая.

Случай 1: $x > 0$
При $x > 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = 1 \cdot \left(\frac{1}{4}x^2 - x - 3\right) = \frac{1}{4}x^2 - x - 3$. Это график параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot (1/4)} = \frac{1}{1/2} = 2$. $y_0 = \frac{1}{4}(2)^2 - 2 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$. Вершина находится в точке $(2, -4)$, что удовлетворяет условию $x > 0$. Найдем нули функции: $\frac{1}{4}x^2 - x - 3 = 0 \implies x^2 - 4x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$. Условию $x > 0$ удовлетворяет только корень $x=6$. Поскольку функция не определена в $x=0$, найдем предел при $x \to 0^+$: $\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{4}x^2 - x - 3\right) = -3$. На графике будет выколотая точка $(0, -3)$.

Случай 2: $x < 0$
При $x < 0$, $|x| = -x$, и функция принимает вид: $y = -1 \cdot \left(\frac{1}{4}x^2 - x - 3\right) = -\frac{1}{4}x^2 + x + 3$. Это график параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-1/4)} = \frac{1}{1/2} = 2$. Вершина $(2, 4)$ не принадлежит рассматриваемому промежутку $x < 0$. Нули функции: $-\frac{1}{4}x^2 + x + 3 = 0 \implies x^2 - 4x - 12 = 0$. Корни те же: $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$. Условию $x < 0$ удовлетворяет корень $x=-2$. Найдем предел при $x \to 0^-$: $\lim_{x \to 0^-} \left(-\frac{1}{4}x^2 + x + 3\right) = 3$. На графике будет выколотая точка $(0, 3)$.

Построение графика:
1. Для $x > 0$ строим часть параболы $y = \frac{1}{4}x^2 - x - 3$ с вершиной в $(2, -4)$ и пересечением оси Ox в точке $(6, 0)$. В точке $x=0$ отмечаем выколотую точку $(0, -3)$.
2. Для $x < 0$ строим часть параболы $y = -\frac{1}{4}x^2 + x + 3$, которая пересекает ось Ox в точке $(-2, 0)$. В точке $x=0$ отмечаем выколотую точку $(0, 3)$.

Ответ: График функции состоит из двух частей. На интервале $(-\infty; 0)$ это часть параболы $y = -\frac{1}{4}x^2 + x + 3$. На интервале $(0; +\infty)$ это часть параболы $y = \frac{1}{4}x^2 - x - 3$. В точке $x=0$ функция имеет разрыв с выколотыми точками $(0, 3)$ и $(0, -3)$.

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 2|x| - 8$.

Так как $x^2 = |x|^2$, функцию можно переписать в виде $y = |x|^2 + 2|x| - 8$. Это четная функция, так как $y(-x) = (-x)^2 + 2|-x| - 8 = x^2 + 2|x| - 8 = y(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси Oy. Мы можем построить график для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить его относительно оси Oy.

Случай 1: $x \ge 0$
При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = x^2 + 2x - 8$. Это парабола с ветвями вверх. Найдем координаты вершины: $x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. Вершина не принадлежит промежутку $x \ge 0$. На этом промежутке функция возрастает. Найдем точку пересечения с осью Oy (она же будет точкой излома): при $x=0$, $y = 0^2 + 2(0) - 8 = -8$. Точка $(0, -8)$. Найдем точку пересечения с осью Ox: $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет $x=2$. Точка $(2, 0)$.

Построение графика:
1. Для $x \ge 0$ строим часть параболы $y = x^2 + 2x - 8$. Она начинается в точке $(0, -8)$ и проходит через точку $(2, 0)$.
2. Так как функция четная, отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy. Получим вторую часть графика, которая проходит через точку $(-2, 0)$ и также приходит в точку $(0, -8)$. Эта часть соответствует функции $y = x^2 - 2x - 8$ для $x < 0$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy. Он состоит из двух ветвей парабол, соединенных в точке $(0, -8)$, которая является точкой минимума и точкой излома. График пересекает ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 8x \frac{x-3}{|x-3|} - 9$.

Область определения функции (ОДЗ): $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

Выражение $\frac{x-3}{|x-3|}$ равно $1$ при $x > 3$ и $-1$ при $x < 3$. Рассмотрим эти два случая.

Случай 1: $x > 3$
Функция принимает вид: $y = x^2 + 8x(1) - 9 = x^2 + 8x - 9$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина в точке $x_0 = -\frac{8}{2} = -4$, что не входит в промежуток $x > 3$. На этом промежутке функция возрастает. Найдем значение на границе: при $x \to 3^+$, $y \to 3^2 + 8(3) - 9 = 9 + 24 - 9 = 24$. Имеем выколотую точку $(3, 24)$.

Случай 2: $x < 3$
Функция принимает вид: $y = x^2 + 8x(-1) - 9 = x^2 - 8x - 9$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина в точке $x_0 = -\frac{-8}{2} = 4$, что не входит в промежуток $x < 3$. На этом промежутке функция убывает. Найдем нули функции: $x^2 - 8x - 9 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 9$ и $x_2 = -1$. Условию $x < 3$ удовлетворяет $x=-1$. Точка пересечения с Ox: $(-1, 0)$. Пересечение с Oy: при $x=0$, $y = -9$. Точка $(0, -9)$. Найдем значение на границе: при $x \to 3^-$, $y \to 3^2 - 8(3) - 9 = 9 - 24 - 9 = -24$. Имеем выколотую точку $(3, -24)$.

Построение графика:
1. Для $x < 3$ строим часть параболы $y = x^2 - 8x - 9$. Она проходит через точки $(-1, 0)$ и $(0, -9)$ и заканчивается выколотой точкой $(3, -24)$.
2. Для $x > 3$ строим часть параболы $y = x^2 + 8x - 9$. Она начинается с выколотой точки $(3, 24)$ и идет вверх.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол и имеет разрыв в точке $x=3$. Для $x < 3$ это часть параболы $y = x^2 - 8x - 9$ с выколотой точкой $(3, -24)$. Для $x > 3$ это часть параболы $y = x^2 + 8x - 9$ с выколотой точкой $(3, 24)$.

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 3|x-1| - x + 3$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения $x-1$.

Случай 1: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$
При $x \ge 1$, $|x-1| = x-1$. Функция принимает вид: $y = x^2 + 3(x-1) - x + 3 = x^2 + 3x - 3 - x + 3 = x^2 + 2x$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина в точке $x_0 = -\frac{2}{2} = -1$, что не входит в промежуток $x \ge 1$. На этом промежутке функция возрастает. Найдем значение в граничной точке: при $x=1$, $y = 1^2 + 2(1) = 3$. Точка "стыка" графиков - $(1, 3)$.

Случай 2: $x - 1 < 0 \implies x < 1$
При $x < 1$, $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Функция принимает вид: $y = x^2 + 3(1-x) - x + 3 = x^2 - 3x + 3 - x + 3 = x^2 - 4x + 6$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина в точке $x_0 = -\frac{-4}{2} = 2$, что не входит в промежуток $x < 1$. На этом промежутке функция убывает. Найдем значение в граничной точке: при $x \to 1^-$, $y \to 1^2 - 4(1) + 6 = 3$. Точка "стыка" та же: $(1, 3)$. Найдем пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y=0^2 - 4(0) + 6 = 6$. Точка $(0, 6)$.

Построение графика:
1. Для $x < 1$ строим часть параболы $y = x^2 - 4x + 6$. Она проходит через точку $(0, 6)$ и опускается до точки $(1, 3)$.
2. Для $x \ge 1$ строим часть параболы $y = x^2 + 2x$. Она начинается в точке $(1, 3)$ и идет вверх. В точке $(1, 3)$ происходит излом графика, и это точка глобального минимума функции.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную кривую, состоящую из двух частей парабол, соединенных в точке $(1, 3)$. Для $x < 1$ это часть параболы $y = x^2 - 4x + 6$, для $x \ge 1$ это часть параболы $y = x^2 + 2x$. Точка $(1, 3)$ является точкой минимума и точкой излома.