Номер 103, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

103. Пусть $D$ — дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$. Изобразите схематически график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, если:

1) $a < 0, D > 0, c < 0, -\frac{b}{2a} < 0;$

2) $a > 0, D = 0, -\frac{b}{2a} < 0;$

3) $a > 0, c = 0, -\frac{b}{2a} > 0.$

1) $a < 0, D > 0, c < 0, -\frac{b}{2a} < 0$

Проанализируем заданные условия для построения графика квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$.
- Условие $a < 0$ означает, что ветви параболы направлены вниз.
- Условие $D > 0$ означает, что парабола пересекает ось абсцисс (Ox) в двух различных точках, то есть уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два действительных корня.
- Условие $c < 0$ означает, что парабола пересекает ось ординат (Oy) в точке $(0, c)$, которая находится ниже оси Ox.
- Условие $x_0 = -\frac{b}{2a} < 0$ означает, что абсцисса вершины параболы отрицательна, следовательно, вершина и ось симметрии параболы находятся левее оси Oy.

Теперь объединим эти условия. Поскольку ветви направлены вниз ($a < 0$) и есть два корня ($D > 0$), вершина параболы должна находиться выше оси Ox. Её ордината $y_0 = -\frac{D}{4a}$ будет положительной (так как $D > 0$ и $a < 0$).
Таким образом, вершина параболы $(x_0, y_0)$ находится во второй координатной четверти ($x_0 < 0, y_0 > 0$).
Парабола, выходя из вершины во второй четверти, движется вниз и пересекает ось Oy в точке с отрицательной ординатой ($c < 0$). Это означает, что обе точки пересечения с осью Ox (корни) должны быть отрицательными.
Это можно также проверить по теореме Виета: произведение корней $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$. У нас $c < 0$ и $a < 0$, следовательно, $\frac{c}{a} > 0$, что означает, что корни имеют одинаковый знак. Сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2(-\frac{b}{2a})$. Так как $-\frac{b}{2a} < 0$, то и сумма корней отрицательна. Если два числа одного знака, и их сумма отрицательна, то оба числа отрицательные.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится во второй координатной четверти. Парабола пересекает ось абсцисс в двух отрицательных точках и ось ординат в точке ниже начала координат.

2) $a > 0, D = 0, -\frac{b}{2a} < 0$

Проанализируем заданные условия:
- Условие $a > 0$ означает, что ветви параболы направлены вверх.
- Условие $D = 0$ означает, что парабола имеет ровно одну точку пересечения с осью Ox. Эта точка является вершиной параболы, то есть парабола касается оси Ox.
- Условие $x_0 = -\frac{b}{2a} < 0$ означает, что абсцисса вершины параболы отрицательна.

Из этих условий следует, что вершина параболы находится на оси Ox, левее оси Oy. Координаты вершины: $(x_0, 0)$, где $x_0 < 0$.
Найдем точку пересечения с осью Oy. При $x=0$, $y=c$. Из условия $D = b^2 - 4ac = 0$ следует, что $4ac = b^2$. Так как $a>0$ и $b^2 \ge 0$, то и $c \ge 0$. Если предположить, что $c=0$, то из $b^2=4ac$ следует, что $b=0$. Тогда абсцисса вершины $x_0 = -\frac{0}{2a} = 0$, что противоречит условию $x_0 < 0$. Следовательно, $c$ не может быть равно нулю, а значит $c > 0$. Парабола пересекает ось Oy в точке выше оси Ox.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится на отрицательной части оси Ox (парабола касается оси Ox в одной точке слева от начала координат). Парабола пересекает ось Oy в положительной точке.

3) $a > 0, c = 0, -\frac{b}{2a} > 0$

Проанализируем заданные условия:
- Условие $a > 0$ означает, что ветви параболы направлены вверх.
- Условие $c = 0$ означает, что график функции проходит через начало координат $(0, 0)$. Это означает, что $x=0$ является одним из корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
- Условие $x_0 = -\frac{b}{2a} > 0$ означает, что абсцисса вершины параболы положительна, следовательно, вершина находится правее оси Oy.

Поскольку парабола проходит через начало координат, ее ветви направлены вверх, а вершина находится правее оси Oy, то вершина должна быть расположена ниже оси Ox. Найдем ординату вершины $y_0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = b^2 - 4a(0) = b^2$. Из условия $x_0 = -\frac{b}{2a} > 0$ и $a > 0$ следует, что $b < 0$. Поэтому $D = b^2 > 0$. Это означает, что парабола имеет два различных корня.
Ордината вершины $y_0 = -\frac{D}{4a} = -\frac{b^2}{4a}$. Так как $b^2 > 0$ и $a > 0$, то $y_0 < 0$.
Таким образом, вершина параболы находится в четвертой координатной четверти ($x_0 > 0, y_0 < 0$).
Один корень нам известен: $x_1 = 0$. Второй корень можно найти из суммы корней: $x_1 + x_2 = 0 + x_2 = -\frac{b}{a}$. Так как $x_2 = -\frac{b}{a} = 2(-\frac{b}{2a})$ и $-\frac{b}{2a} > 0$, то второй корень $x_2$ также положителен.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями, направленными вверх, которая проходит через начало координат. Вершина параболы находится в четвертой координатной четверти. Парабола пересекает ось Ox в двух точках: в начале координат и в некоторой положительной точке.