Номер 97, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

97. Постройте график функции $y = -x^2 - x + 6$, определённой на промежутке $[-2; 3]$. Пользуясь построенным графиком, найдите область значений данной функции.

Постройте график функции $y = -x^2 - x + 6$, определённой на промежутке $[-2; 3]$

Чтобы построить график данной квадратичной функции, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить основные свойства параболы.
   Функция $y = -x^2 - x + 6$ является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Найти координаты вершины параболы.
   Координаты вершины $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$.
   Для нашей функции $a=-1$, $b=-1$.
   $x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot (-1)} = -0.5$.
   $y_0 = -(-0.5)^2 - (-0.5) + 6 = -0.25 + 0.5 + 6 = 6.25$.
   Вершина параболы находится в точке $(-0.5; 6.25)$.
3. Найти значения функции на концах заданного промежутка $[-2; 3]$.
   При $x = -2$: $y = -(-2)^2 - (-2) + 6 = -4 + 2 + 6 = 4$. Получаем точку $(-2; 4)$.
   При $x = 3$: $y = -(3)^2 - 3 + 6 = -9 - 3 + 6 = -6$. Получаем точку $(3; -6)$.
4. Найти несколько дополнительных точек для точности построения.
   Составим таблицу значений функции на заданном отрезке:

   $x$	-2	-1	-0.5	0	1	2	3
   $y$	4	6	6.25	6	4	0	-6

   Построив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим график функции на промежутке $[-2; 3]$.

Ответ: График функции на промежутке $[-2; 3]$ представляет собой дугу параболы с ветвями вниз, с вершиной в точке $(-0.5; 6.25)$, проходящую через точки $(-2; 4)$ и $(3; -6)$.

Пользуясь построенным графиком, найдите область значений данной функции

Область значений функции на отрезке — это множество всех значений, которые принимает переменная $y$, когда $x$ изменяется от $-2$ до $3$. Для её нахождения необходимо определить наименьшее и наибольшее значение функции на этом отрезке.

1. Нахождение наибольшего значения.
Из графика видно, что наибольшее значение функция достигает в своей вершине, поскольку ветви параболы направлены вниз, а абсцисса вершины $x_0 = -0.5$ принадлежит отрезку $[-2; 3]$.
$y_{наиб} = y_{вершины} = 6.25$.

2. Нахождение наименьшего значения.
Наименьшее значение на отрезке для параболы с ветвями вниз достигается на одном из его концов. Сравним значения функции на концах отрезка:
$y(-2) = 4$
$y(3) = -6$
Наименьшее из этих двух значений равно $-6$.
$y_{наим} = -6$.

Следовательно, область значений функции на заданном промежутке — это все числа от наименьшего значения до наибольшего включительно.

Ответ: $[-6; 6.25]$.