Номер 92, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

92. Постройте график функции $f(x) = 4x - 2x^2$. Используя график, найдите:

1) наибольшее и наименьшее значения функции;

2) область значений функции;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) множество решений неравенства $f(x) \le 0$; $f(x) > 0$.

Для решения задачи построим график функции $f(x) = 4x - 2x^2$.

Это квадратичная функция, её график — парабола. Запишем функцию в стандартном виде $f(x) = -2x^2 + 4x$.

1. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен -2 ($a = -2$). Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$.
Ордината вершины: $y_0 = f(x_0) = f(1) = 4(1) - 2(1)^2 = 4 - 2 = 2$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 2)$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
С осью Oy (x=0): $f(0) = 4(0) - 2(0)^2 = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.
С осью Ox (y=0): $4x - 2x^2 = 0 \implies 2x(2-x) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. Точки пересечения — $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

На основе полученных данных (вершина в точке $(1,2)$, ветви вниз, пересечение с осью Ox в точках $x=0$ и $x=2$) можно построить эскиз графика. Теперь, используя график, ответим на вопросы.

1) наибольшее и наименьшее значения функции

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в своей вершине. Наибольшее значение функции равно ординате вершины, то есть 2. Так как ветви параболы уходят вниз бесконечно, наименьшего значения у функции не существует.

Ответ: наибольшее значение функции равно 2; наименьшего значения не существует.

2) область значений функции

Область значений функции — это множество всех возможных значений y. Так как наибольшее значение функции равно 2, а ветви уходят в минус бесконечность, область значений — это все числа от $-\infty$ до 2 включительно.

Ответ: $E(f) = (-\infty; 2]$.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции

Функция возрастает на промежутке до абсциссы вершины и убывает после. Абсцисса вершины $x_0 = 1$.
Функция возрастает при $x \in (-\infty, 1]$.
Функция убывает при $x \in [1, +\infty)$.

Ответ: промежуток возрастания $(-\infty, 1]$, промежуток убывания $[1, +\infty)$.

4) множество решений неравенства $f(x) \le 0$; $f(x) > 0$

Неравенство $f(x) \le 0$ выполняется для тех $x$, при которых график функции находится на оси Ox или ниже нее. Глядя на график, видим, что это происходит при $x \le 0$ и при $x \ge 2$.
Неравенство $f(x) > 0$ выполняется для тех $x$, при которых график функции находится строго выше оси Ox. Это происходит между точками пересечения с осью, то есть при $0 < x < 2$.

Ответ: $f(x) \le 0$ при $x \in (-\infty, 0] \cup [2, +\infty)$; $f(x) > 0$ при $x \in (0, 2)$.