Номер 86, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. Постройте график функции $y = \sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x} + 1$;

2) $y = \sqrt{x - 2}$;

3) $y = 1 + \sqrt{x + 2}$.

Для построения графиков заданных функций сначала построим базовый график функции $y = \sqrt{x}$.

Область определения этой функции — все неотрицательные числа, то есть $x \ge 0$.

Составим таблицу значений для нескольких ключевых точек:

• если $x=0$, то $y=\sqrt{0}=0$ → точка (0, 0)
• если $x=1$, то $y=\sqrt{1}=1$ → точка (1, 1)
• если $x=4$, то $y=\sqrt{4}=2$ → точка (4, 2)
• если $x=9$, то $y=\sqrt{9}=3$ → точка (9, 3)

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, которая начинается в точке (0, 0) и проходит через указанные точки в первой координатной четверти.

Далее, используя этот базовый график, построим графики остальных функций с помощью геометрических преобразований.

1) $y = \sqrt{x+1}$

График функции $y = f(x+a)$ получается из графика функции $y = f(x)$ сдвигом вдоль оси абсцисс (Ox) на $a$ единиц влево. В нашем случае $f(x) = \sqrt{x}$ и $a=1$.

Следовательно, чтобы построить график функции $y = \sqrt{x+1}$, нужно сдвинуть график функции $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox.

Ключевые точки смещаются следующим образом:

• (0, 0) → (-1, 0)
• (1, 1) → (0, 1)
• (4, 2) → (3, 2)

Ответ: График функции $y = \sqrt{x+1}$ получается путем параллельного переноса графика $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox.

2) $y = \sqrt{x-2}$

График функции $y = f(x-a)$ получается из графика функции $y = f(x)$ сдвигом вдоль оси абсцисс (Ox) на $a$ единиц вправо. В нашем случае $f(x) = \sqrt{x}$ и $a=2$.

Следовательно, чтобы построить график функции $y = \sqrt{x-2}$, нужно сдвинуть график функции $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

Ключевые точки смещаются следующим образом:

• (0, 0) → (2, 0)
• (1, 1) → (3, 1)
• (4, 2) → (6, 2)

Ответ: График функции $y = \sqrt{x-2}$ получается путем параллельного переноса графика $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

3) $y = 1 + \sqrt{x+2}$

Для построения этого графика нужно выполнить два последовательных преобразования графика $y = \sqrt{x}$:

1. Сначала построить график $y = \sqrt{x+2}$, сдвинув график $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox.
2. Затем построить график $y = 1 + \sqrt{x+2}$, сдвинув полученный на первом шаге график $y = \sqrt{x+2}$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (Oy).

Общее преобразование заключается в сдвиге каждой точки $(x, y)$ графика $y = \sqrt{x}$ на вектор $(-2, 1)$.

Ключевые точки смещаются следующим образом:

• (0, 0) → (0-2, 0+1) → (-2, 1)
• (1, 1) → (1-2, 1+1) → (-1, 2)
• (4, 2) → (4-2, 2+1) → (2, 3)

Ответ: График функции $y = 1 + \sqrt{x+2}$ получается путем параллельного переноса графика $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox и на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.