Номер 93, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

93. Постройте в одной системе координат графики функций $y = \frac{12}{x}$ и $y = -x^2 - 3x + 4$. Определите, пользуясь полученным рисунком, количество корней уравнения $-x^2 - 3x + 4 = \frac{12}{x}$.

Для решения задачи необходимо построить графики двух функций в одной системе координат и найти количество точек их пересечения. Количество точек пересечения будет равно количеству корней исходного уравнения.

1. Построение графика функции $y = \frac{12}{x}$

Это обратная пропорциональность, ее график — гипербола. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $12 > 0$. Область определения: $x \neq 0$. Составим таблицу значений для построения:

2. Построение графика функции $y = -x^2 - 3x + 4$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1 < 0$).

Найдем координаты вершины параболы:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2(-1)} = -\frac{3}{2} = -1.5$

$y_в = -(-1.5)^2 - 3(-1.5) + 4 = -2.25 + 4.5 + 4 = 6.25$

Вершина параболы находится в точке $(-1.5; 6.25)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• С осью OY (при $x=0$):
  $y = -0^2 - 3(0) + 4 = 4$. Точка пересечения: $(0; 4)$.
• С осью OX (при $y=0$):
  $-x^2 - 3x + 4 = 0$
  $x^2 + 3x - 4 = 0$
  По теореме Виета: $x_1 = -4$, $x_2 = 1$.
  Точки пересечения: $(-4; 0)$ и $(1; 0)$.

Составим таблицу значений для построения:

3. Определение количества корней уравнения $-x^2 - 3x + 4 = \frac{12}{x}$

Построим оба графика в одной системе координат.

Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $y = -x^2 - 3x + 4$ и $y = \frac{12}{x}$.

Анализируя полученный рисунок, видим:

• При $x > 0$ (в первой четверти) графики не пересекаются.
• При $x < 0$:
  • На интервале $(-4; 0)$ график параболы лежит выше оси OX ($y > 0$), а график гиперболы — ниже оси OX ($y < 0$), поэтому пересечений нет.
  • На интервале $(-\infty; -4]$ оба графика находятся в третьей и четвертой четвертях. Из графика видно, что они пересекаются в одной точке.

Таким образом, графики функций имеют только одну точку пересечения.

Ответ: уравнение имеет 1 корень.