Номер 87, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

87. Постройте график функции $y = -\sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = -1 - \sqrt{x}$;

2) $y = 3 - \sqrt{x - 2}$.

Сначала построим график базовой функции $y = -\sqrt{x}$.

Этот график является симметричным отражением графика функции $y = \sqrt{x}$ относительно оси абсцисс (оси Ox). Область определения функции: $x \ge 0$. Область значений: $y \le 0$.

Для построения найдем несколько ключевых точек:

• Если $x=0$, то $y = -\sqrt{0} = 0$. Точка (0; 0).
• Если $x=1$, то $y = -\sqrt{1} = -1$. Точка (1; -1).
• Если $x=4$, то $y = -\sqrt{4} = -2$. Точка (4; -2).
• Если $x=9$, то $y = -\sqrt{9} = -3$. Точка (9; -3).

Соединив эти точки плавной линией, получим график функции $y = -\sqrt{x}$. Это ветвь параболы, направленная вправо и вниз, с вершиной в начале координат.

Теперь, используя этот базовый график, построим графики заданных функций.

1) $y = -1 - \sqrt{x}$

Данную функцию можно переписать в виде $y = (-\sqrt{x}) - 1$. Сравнивая с базовой функцией $f(x) = -\sqrt{x}$, мы видим, что новая функция имеет вид $y = f(x) - 1$.

Это означает, что график функции $y = -1 - \sqrt{x}$ получается из графика функции $y = -\sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (оси Oy).

Чтобы построить новый график, нужно каждую точку графика $y = -\sqrt{x}$ сместить на 1 единицу вниз. Найдем новые координаты для наших ключевых точек:

• Точка (0; 0) смещается в (0; 0 - 1) = (0; -1).
• Точка (1; -1) смещается в (1; -1 - 1) = (1; -2).
• Точка (4; -2) смещается в (4; -2 - 1) = (4; -3).
• Точка (9; -3) смещается в (9; -3 - 1) = (9; -4).

Соединив полученные точки, мы получим искомый график.

Ответ: График функции $y = -1 - \sqrt{x}$ получается из графика функции $y = -\sqrt{x}$ путем сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

2) $y = 3 - \sqrt{x-2}$

Перепишем функцию в более удобном для анализа виде: $y = -\sqrt{x-2} + 3$.

График этой функции получается из графика базовой функции $y = -\sqrt{x}$ с помощью двух последовательных преобразований:

1. Замена $x$ на $(x-2)$ приводит к сдвигу графика на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox). Получаем промежуточный график $y = -\sqrt{x-2}$.
2. Прибавление 3 к функции $(-\sqrt{x-2})$ приводит к сдвигу графика на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (оси Oy).

Таким образом, чтобы построить график функции $y = 3 - \sqrt{x-2}$, нужно график $y = -\sqrt{x}$ целиком сдвинуть на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх.

Применим эти сдвиги к ключевым точкам базового графика:

• Вершина (0; 0) перемещается в точку (0 + 2; 0 + 3) = (2; 3).
• Точка (1; -1) перемещается в точку (1 + 2; -1 + 3) = (3; 2).
• Точка (4; -2) перемещается в точку (4 + 2; -2 + 3) = (6; 1).
• Точка (9; -3) перемещается в точку (9 + 2; -3 + 3) = (11; 0).

Соединив эти новые точки плавной кривой, получим график искомой функции. Область определения новой функции: $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.

Ответ: График функции $y = 3 - \sqrt{x-2}$ получается из графика функции $y = -\sqrt{x}$ путем параллельного переноса на 2 единицы вправо вдоль оси Ox и на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.