Номер 84, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Постройте график функции $y = -x^2$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = -x^2 - 2$;

2) $y = 1 - x^2$;

3) $y = -(x + 2)^2 + 1$.

Сначала построим график базовой функции $y = -x^2$. Это стандартная парабола, симметричная относительно оси Oy, с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз. Для построения можно использовать несколько точек: $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(-1, -1)$, $(2, -4)$, $(-2, -4)$. Этот график будет служить основой для всех последующих построений.

1) $y = -x^2 - 2$

График функции $y = f(x) + c$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Oy на $|c|$ единиц. Если $c > 0$, сдвиг происходит вверх, если $c < 0$ — вниз. В нашем случае, функция $y = -x^2 - 2$ получается из $y = -x^2$ прибавлением константы $-2$. Это означает, что для построения графика нужно сдвинуть базовую параболу $y = -x^2$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Вершина параболы сместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -2)$.

Ответ: График функции $y = -x^2 - 2$ получается путем сдвига графика $y = -x^2$ на 2 единицы вниз.

2) $y = 1 - x^2$

Перепишем функцию в более привычном виде: $y = -x^2 + 1$. Здесь, по аналогии с предыдущим пунктом, к базовой функции $y = -x^2$ прибавляется константа $1$. Это означает, что для построения графика нужно сдвинуть параболу $y = -x^2$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Вершина параболы сместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, 1)$.

Ответ: График функции $y = 1 - x^2$ получается путем сдвига графика $y = -x^2$ на 1 единицу вверх.

3) $y = -(x + 2)^2 + 1$

Построение этого графика требует двух последовательных преобразований базовой параболы $y = -x^2$.
Во-первых, выражение $(x+2)$ вместо $x$ означает сдвиг графика по горизонтали. График функции $y=f(x+a)$ получается сдвигом графика $y=f(x)$ на $a$ единиц влево. В нашем случае $a=2$, поэтому мы сдвигаем параболу $y = -x^2$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Получаем промежуточный график $y=-(x+2)^2$ с вершиной в точке $(-2, 0)$.
Во-вторых, прибавление 1 ко всей функции означает сдвиг графика на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Таким образом, сдвигаем график $y=-(x+2)^2$ на 1 единицу вверх.
В итоге, график функции $y = -(x + 2)^2 + 1$ получается из графика $y = -x^2$ сдвигом на 2 единицы влево и на 1 единицу вверх. Вершина итоговой параболы будет находиться в точке $(-2, 1)$.

Ответ: График функции $y = -(x + 2)^2 + 1$ получается путем сдвига графика $y = -x^2$ на 2 единицы влево и на 1 единицу вверх.