Страница 88 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

80. Постройте график функции:

1) $y = -4x^2$;

2) $y = -\frac{1}{2}x^2$;

3) $y = 3x^2$.

1) $y = -4x^2$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2$, где $a = -4$. Графиком такой функции является парабола.
1. Вершина параболы. Вершина параболы вида $y=ax^2$ находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
2. Направление ветвей. Так как коэффициент $a = -4$ отрицателен ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз.
3. Ось симметрии. График симметричен относительно оси ординат (оси $y$), уравнение которой $x=0$.
4. Построение графика. Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих параболе. Удобно составить таблицу значений, выбирая симметричные значения $x$ относительно нуля.

На координатной плоскости отметим точки $(-1.5, -9)$, $(-1, -4)$, $(-0.5, -1)$, $(0, 0)$, $(0.5, -1)$, $(1, -4)$, $(1.5, -9)$ и соединим их плавной линией. Эта парабола будет "уже" (растянута по вертикали в 4 раза), чем парабола $y=-x^2$.
Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз.

2) $y = -\frac{1}{2}x^2$

Это также квадратичная функция вида $y = ax^2$, где $a = -\frac{1}{2}$. Ее график — парабола.
1. Вершина параболы. Вершина находится в точке $(0, 0)$.
2. Направление ветвей. Коэффициент $a = -\frac{1}{2}$ отрицателен ($a < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз.
3. Ось симметрии. Ось $y$ (прямая $x=0$).
4. Построение графика. Составим таблицу значений функции для нескольких значений аргумента.

Отметим точки $(-4, -8)$, $(-2, -2)$, $(-1, -0.5)$, $(0, 0)$, $(1, -0.5)$, $(2, -2)$, $(4, -8)$ в системе координат и соединим их плавной кривой. Эта парабола будет "шире" (сжата по вертикали в 2 раза), чем парабола $y=-x^2$.
Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз.

3) $y = 3x^2$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2$, где $a = 3$. Графиком является парабола.
1. Вершина параболы. Вершина находится в точке $(0, 0)$.
2. Направление ветвей. Коэффициент $a = 3$ положителен ($a > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх.
3. Ось симметрии. Ось $y$ (прямая $x=0$).
4. Построение графика. Найдем несколько точек, принадлежащих графику, составив таблицу значений.

Отметим точки $(-2, 12)$, $(-1, 3)$, $(0, 0)$, $(1, 3)$, $(2, 12)$ на координатной плоскости и соединим их плавной линией. График этой функции представляет собой параболу, которая "уже" (растянута по вертикали в 3 раза), чем парабола $y=x^2$.
Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх.

81. Каковы координаты вершины параболы:

1) $y = x^2 + 12$;

2) $y = (x - 7)^2$;

3) $y = (x + 20)^2 + 1?$

1) Для нахождения координат вершины параболы, заданной уравнением $y = x^2 + 12$, можно использовать стандартную формулу вершины параболы $y = a(x-h)^2 + k$, где $(h, k)$ — искомые координаты.
Преобразуем данное уравнение к этому виду:
$y = 1 \cdot (x - 0)^2 + 12$
Сравнивая это уравнение со стандартной формой, мы видим, что $h = 0$ и $k = 12$.
Таким образом, координаты вершины параболы равны $(0, 12)$.

Альтернативный способ — использование формулы для абсциссы вершины $x_0 = -\frac{b}{2a}$ для уравнения вида $y = ax^2+bx+c$.
В уравнении $y = x^2 + 12$ коэффициенты $a=1$, $b=0$, $c=12$.
$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.
Подставим значение $x_0$ в исходное уравнение, чтобы найти ординату вершины $y_0$:
$y_0 = 0^2 + 12 = 12$.
Координаты вершины: $(0, 12)$.
Ответ: $(0, 12)$

2) Уравнение параболы $y = (x - 7)^2$ уже представлено в форме $y = a(x-h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины.
Полная запись этого уравнения выглядит так: $y = 1 \cdot (x - 7)^2 + 0$.
Из сравнения со стандартной формой $y = a(x-h)^2 + k$ находим, что $h = 7$ и $k = 0$.
Следовательно, координаты вершины этой параболы: $(7, 0)$.
Ответ: $(7, 0)$

3) Уравнение параболы $y = (x + 20)^2 + 1$ также представлено в форме $y = a(x-h)^2 + k$.
Чтобы определить $h$, представим выражение в скобках в виде $(x-h)$:
$x + 20 = x - (-20)$.
Таким образом, уравнение можно переписать как $y = 1 \cdot (x - (-20))^2 + 1$.
Сравнивая его со стандартной формой, получаем $h = -20$ и $k = 1$.
Координаты вершины этой параболы: $(-20, 1)$.
Ответ: $(-20, 1)$

82. На рисунке 12 изображён график функции $y = f(x)$.

Постройте график функции:

1) $y = f(x) + 3$;

2) $y = f(x + 1)$;

3) $y = -1 - f(x)$.

Рис. 12

а

б

Для графика на рисунке 12 а:

1) $y = f(x) + 3$

Чтобы построить график функции $y = f(x) + 3$, необходимо график исходной функции $y = f(x)$ перенести параллельно на 3 единицы вверх вдоль оси ординат $Oy$. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика преобразуется в точку $(x_0, y_0 + 3)$. Например, характерные точки графика преобразуются следующим образом: точка $(0, 0)$ перейдет в точку $(0, 3)$, а точка $(-1, -1)$ перейдет в точку $(-1, 2)$.

Ответ: График исходной функции $y=f(x)$ сдвигается на 3 единицы вверх вдоль оси ординат.

2) $y = f(x + 1)$

Чтобы построить график функции $y = f(x+1)$, необходимо график исходной функции $y = f(x)$ перенести параллельно на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс $Ox$. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика преобразуется в точку $(x_0 - 1, y_0)$. Например, точка $(0, 0)$ перейдет в точку $(-1, 0)$, а точка $(-1, -1)$ перейдет в точку $(-2, -1)$.

Ответ: График исходной функции $y=f(x)$ сдвигается на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс.

3) $y = -1 - f(x)$

Построение графика функции $y = -1 - f(x)$ выполняется в два этапа. Сначала необходимо построить график функции $y = -f(x)$, который получается из графика $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс $Ox$. Затем полученный график нужно сдвинуть на 1 единицу вниз вдоль оси ординат $Oy$. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика преобразуется в точку $(x_0, -y_0 - 1)$. Например, точка $(0, 0)$ сначала отразится в себя, а потом сдвинется в точку $(0, -1)$. Точка $(-1, -1)$ сначала отразится в точку $(-1, 1)$, а потом сдвинется в точку $(-1, 0)$.

Ответ: График исходной функции $y=f(x)$ отражается симметрично относительно оси абсцисс, а затем сдвигается на 1 единицу вниз вдоль оси ординат.

Для графика на рисунке 12 б:

1) $y = f(x) + 3$

Чтобы построить график функции $y = f(x) + 3$, необходимо график исходной функции $y = f(x)$ перенести параллельно на 3 единицы вверх вдоль оси ординат $Oy$. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика преобразуется в точку $(x_0, y_0 + 3)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ сместится вверх и станет $y=3$. Вертикальная асимптота $x=0$ останется без изменений. Например, точка $(2, 1)$ перейдет в точку $(2, 4)$, а точка $(1, 4)$ перейдет в точку $(1, 7)$.

Ответ: График исходной функции $y=f(x)$ сдвигается на 3 единицы вверх вдоль оси ординат. Горизонтальная асимптота смещается и становится прямой $y=3$.

2) $y = f(x + 1)$

Чтобы построить график функции $y = f(x+1)$, необходимо график исходной функции $y = f(x)$ перенести параллельно на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс $Ox$. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика преобразуется в точку $(x_0 - 1, y_0)$. Вертикальная асимптота $x=0$ сместится влево и станет $x=-1$. Горизонтальная асимптота $y=0$ останется без изменений. Например, точка $(2, 1)$ перейдет в точку $(1, 1)$, а точка $(1, 4)$ перейдет в точку $(0, 4)$.

Ответ: График исходной функции $y=f(x)$ сдвигается на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс. Вертикальная асимптота смещается и становится прямой $x=-1$.

3) $y = -1 - f(x)$

Построение графика функции $y = -1 - f(x)$ выполняется в два этапа. Сначала строим график $y = -f(x)$, который получается из графика $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс $Ox$. Ветви графика, уходящие в $+\infty$ вблизи оси $Oy$, будут уходить в $-\infty$. Затем полученный график сдвигаем на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика преобразуется в точку $(x_0, -y_0 - 1)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ сначала отразится сама в себя, а затем сдвинется вниз и станет $y=-1$. Вертикальная асимптота $x=0$ останется без изменений. Например, точка $(2, 1)$ перейдет в точку $(2, -2)$, а точка $(1, 4)$ перейдет в точку $(1, -5)$.

Ответ: График исходной функции $y=f(x)$ отражается симметрично относительно оси абсцисс, а затем сдвигается на 1 единицу вниз вдоль оси ординат. Горизонтальная асимптота смещается и становится прямой $y=-1$.

83. Постройте график функции $y = x^2$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = x^2 - 1;$

2) $y = (x + 2)^2;$

3) $y = (x - 1)^2 + 1.$

Для построения графиков заданных функций сначала построим график базовой функции $y = x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Для более точного построения найдем несколько ключевых точек, принадлежащих этому графику, составив таблицу значений:

Соединив эти точки плавной линией, мы получим параболу $y = x^2$. Этот график мы будем использовать как основу для построения остальных графиков с помощью геометрических преобразований (сдвигов).

График функции $y = f(x) + c$ получается из графика функции $y = f(x)$ сдвигом вдоль оси ординат (OY) на $c$ единиц. В нашем случае $f(x) = x^2$ и $c = -1$. Следовательно, чтобы построить график функции $y = x^2 - 1$, нужно взять график функции $y = x^2$ и сдвинуть его на 1 единицу вниз.

При этом каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переместится в точку $(x_0, y_0 - 1)$. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, 0 - 1)$, то есть в $(0, -1)$.

Ответ: График функции $y = x^2 - 1$ — это парабола, полученная сдвигом графика $y = x^2$ на 1 единицу вниз вдоль оси OY. Вершина новой параболы находится в точке $(0, -1)$.

График функции $y = f(x + c)$ получается из графика функции $y = f(x)$ сдвигом вдоль оси абсцисс (OX) на $c$ единиц влево. В нашем случае $f(x) = x^2$ и $c = 2$. Следовательно, чтобы построить график функции $y = (x + 2)^2$, нужно взять график функции $y = x^2$ и сдвинуть его на 2 единицы влево.

При этом каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переместится в точку $(x_0 - 2, y_0)$. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0 - 2, 0)$, то есть в $(-2, 0)$.

Ответ: График функции $y = (x + 2)^2$ — это парабола, полученная сдвигом графика $y = x^2$ на 2 единицы влево вдоль оси OX. Вершина новой параболы находится в точке $(-2, 0)$.

Для построения этого графика необходимо выполнить два последовательных преобразования над графиком $y = x^2$. Общий вид функции $y = a(x - m)^2 + n$ представляет собой параболу с вершиной в точке $(m, n)$.

В нашем случае $m = 1$ и $n = 1$. Это означает, что мы должны выполнить следующие сдвиги:

1. Сдвинуть график $y = x^2$ на 1 единицу вправо вдоль оси OX (так как $m = 1$).
2. Сдвинуть получившийся график на 1 единицу вверх вдоль оси OY (так как $n = 1$).

Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(1, 1)$. Форма параболы останется неизменной.

Ответ: График функции $y = (x - 1)^2 + 1$ — это парабола, полученная сдвигом графика $y = x^2$ на 1 единицу вправо вдоль оси OX и на 1 единицу вверх вдоль оси OY. Вершина новой параболы находится в точке $(1, 1)$.

84. Постройте график функции $y = -x^2$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = -x^2 - 2$;

2) $y = 1 - x^2$;

3) $y = -(x + 2)^2 + 1$.

Сначала построим график базовой функции $y = -x^2$. Это стандартная парабола, симметричная относительно оси Oy, с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз. Для построения можно использовать несколько точек: $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(-1, -1)$, $(2, -4)$, $(-2, -4)$. Этот график будет служить основой для всех последующих построений.

1) $y = -x^2 - 2$

График функции $y = f(x) + c$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Oy на $|c|$ единиц. Если $c > 0$, сдвиг происходит вверх, если $c < 0$ — вниз. В нашем случае, функция $y = -x^2 - 2$ получается из $y = -x^2$ прибавлением константы $-2$. Это означает, что для построения графика нужно сдвинуть базовую параболу $y = -x^2$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Вершина параболы сместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -2)$.

Ответ: График функции $y = -x^2 - 2$ получается путем сдвига графика $y = -x^2$ на 2 единицы вниз.

2) $y = 1 - x^2$

Перепишем функцию в более привычном виде: $y = -x^2 + 1$. Здесь, по аналогии с предыдущим пунктом, к базовой функции $y = -x^2$ прибавляется константа $1$. Это означает, что для построения графика нужно сдвинуть параболу $y = -x^2$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Вершина параболы сместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, 1)$.

Ответ: График функции $y = 1 - x^2$ получается путем сдвига графика $y = -x^2$ на 1 единицу вверх.

3) $y = -(x + 2)^2 + 1$

Построение этого графика требует двух последовательных преобразований базовой параболы $y = -x^2$.
Во-первых, выражение $(x+2)$ вместо $x$ означает сдвиг графика по горизонтали. График функции $y=f(x+a)$ получается сдвигом графика $y=f(x)$ на $a$ единиц влево. В нашем случае $a=2$, поэтому мы сдвигаем параболу $y = -x^2$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Получаем промежуточный график $y=-(x+2)^2$ с вершиной в точке $(-2, 0)$.
Во-вторых, прибавление 1 ко всей функции означает сдвиг графика на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Таким образом, сдвигаем график $y=-(x+2)^2$ на 1 единицу вверх.
В итоге, график функции $y = -(x + 2)^2 + 1$ получается из графика $y = -x^2$ сдвигом на 2 единицы влево и на 1 единицу вверх. Вершина итоговой параболы будет находиться в точке $(-2, 1)$.

Ответ: График функции $y = -(x + 2)^2 + 1$ получается путем сдвига графика $y = -x^2$ на 2 единицы влево и на 1 единицу вверх.

85. Постройте график функции $y = (x - 6)^2 - 9$. Используя этот график, найдите:

1) нули функции;

2) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) область значений функции.

Чтобы построить график функции $y = (x - 6)^2 - 9$ и найти требуемые значения, сначала проанализируем саму функцию.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Уравнение представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где:

• $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• $(h, k) = (6, -9)$. Это координаты вершины параболы.

График этой функции можно получить, сдвинув график стандартной параболы $y = x^2$ на 6 единиц вправо по оси абсцисс и на 9 единиц вниз по оси ординат. Вершина параболы, являющаяся её точкой минимума, находится в точке $(6, -9)$.

Используя эти свойства графика, найдём ответы на поставленные вопросы.

1) нули функции;

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Графически это точки пересечения параболы с осью абсцисс (Ox). Для их нахождения решим уравнение $y = 0$:
$(x - 6)^2 - 9 = 0$
$(x - 6)^2 = 9$
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два случая:
$x - 6 = 3$ или $x - 6 = -3$
$x_1 = 6 + 3 = 9$
$x_2 = 6 - 3 = 3$
Нулями функции являются числа 3 и 9.
Ответ: 3; 9.

2) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;

Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда её график расположен выше оси Ox. Поскольку ветви параболы направлены вверх, а её нули — $x=3$ и $x=9$, положительные значения будут на интервалах слева от меньшего корня и справа от большего корня.
Решим неравенство:
$(x - 6)^2 - 9 > 0$
$(x - 6)^2 > 9$
$|x - 6| > 3$
Это неравенство распадается на два:
$x - 6 > 3 \implies x > 9$
$x - 6 < -3 \implies x < 3$
Таким образом, функция положительна при $x \in (-\infty, 3) \cup (9, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 3) \cup (9, +\infty)$.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

Вершина параболы с ветвями вверх является точкой минимума. Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = 6$, проходящая через вершину.
Слева от вершины (при $x < 6$) функция убывает.
Справа от вершины (при $x > 6$) функция возрастает.
Таким образом, промежуток убывания — $(-\infty, 6]$, а промежуток возрастания — $[6, +\infty)$.
Ответ: промежуток убывания: $(-\infty, 6]$; промежуток возрастания: $[6, +\infty)$.

4) область значений функции.

Область значений — это множество всех возможных значений, которые может принимать $y$.
Поскольку график функции — это парабола с ветвями вверх, её наименьшее значение достигается в вершине. Ордината вершины равна -9.
Все остальные точки графика лежат выше, поэтому значения функции будут больше или равны -9.
Следовательно, область значений функции — это промежуток от -9 (включительно) до $+\infty$.
Ответ: $[-9, +\infty)$.