Страница 82 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

53. Решите неравенство:

1) $(x + 6)(x - 4) < 0;$

2) $(x + 3)(x + 10) \ge 0;$

3) $\frac{x - 6}{x - 12} < 0;$

4) $\frac{5x - 2}{x + 11} > 0;$

5) $\frac{3x - 15}{x} \le 0;$

6) $\frac{9x + 6}{x - 14} \ge 0.$

1) Решим неравенство $(x + 6)(x - 4) < 0$.
Для решения этого квадратичного неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x + 6)(x - 4) = 0$.
$x + 6 = 0 \Rightarrow x_1 = -6$
$x - 4 = 0 \Rightarrow x_2 = 4$
Отметим точки $-6$ и $4$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($<0$), точки будут выколотыми (не войдут в решение). Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -6)$, $(-6; 4)$ и $(4; \infty)$.
Определим знак выражения $(x+6)(x-4)$ в каждом интервале. Для этого можно взять пробную точку из каждого интервала или заметить, что это парабола с ветвями вверх, поэтому она отрицательна между корнями.
- В интервале $(-\infty; -6)$: знак «+».
- В интервале $(-6; 4)$: знак «-».
- В интервале $(4; \infty)$: знак «+».
Так как знак неравенства «$<$», решением является интервал, где выражение отрицательно.
Ответ: $(-6; 4)$.

2) Решим неравенство $(x + 3)(x + 10) \ge 0$.
Используем метод интервалов. Найдем нули левой части:
$x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3$
$x + 10 = 0 \Rightarrow x_2 = -10$
Отметим точки $-10$ и $-3$ на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\ge 0$), точки будут закрашенными (войдут в решение). Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -10]$, $[-10; -3]$ и $[-3; \infty)$.
Определим знаки выражения $(x+3)(x+10)$ на интервалах. Это парабола с ветвями вверх, значит она положительна вне корней. Знаки на интервалах (справа налево): «+», «-», «+».
Так как знак неравенства «$\ge$», решением являются интервалы, где выражение положительно или равно нулю.
Ответ: $(-\infty; -10] \cup [-3; \infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{x-6}{x-12} < 0$.
Используем метод интервалов для дробно-рациональных неравенств. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$.
Нуль знаменателя: $x - 12 = 0 \Rightarrow x = 12$.
Отметим точки $6$ и $12$ на числовой прямой. Точка $x=6$ выколота (т.к. неравенство строгое), точка $x=12$ выколота (т.к. знаменатель не может быть равен нулю). Точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 6)$, $(6; 12)$ и $(12; \infty)$.
Определим знаки выражения $\frac{x-6}{x-12}$ на интервалах (справа налево): «+», «-», «+».
Так как знак неравенства «$<$», решением является интервал, где выражение отрицательно.
Ответ: $(6; 12)$.

4) Решим неравенство $\frac{5x-2}{x+11} > 0$.
Используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $5x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5}$.
Нуль знаменателя: $x + 11 = 0 \Rightarrow x = -11$.
Отметим точки $-11$ и $\frac{2}{5}$ на числовой прямой. Обе точки выколоты (неравенство строгое, и $x=-11$ - нуль знаменателя). Точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -11)$, $(-11; \frac{2}{5})$ и $(\frac{2}{5}; \infty)$.
Определим знаки выражения на интервалах (справа налево): «+», «-», «+».
Так как знак неравенства «$>$», решением являются интервалы, где выражение положительно.
Ответ: $(-\infty; -11) \cup (\frac{2}{5}; \infty)$.

5) Решим неравенство $\frac{3x-15}{x} \le 0$.
Используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $3x - 15 = 0 \Rightarrow x = 5$.
Нуль знаменателя: $x = 0$.
Отметим точки $0$ и $5$ на числовой прямой. Точка $x=5$ закрашена (нестрогое неравенство), точка $x=0$ выколота (нуль знаменателя). Точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 5]$ и $[5; \infty)$.
Определим знаки выражения на интервалах (справа налево): «+», «-», «+».
Так как знак неравенства «$\le$», решением является интервал, где выражение отрицательно, включая нуль числителя.
Ответ: $(0; 5]$.

6) Решим неравенство $\frac{9x+6}{x-14} \ge 0$.
Используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $9x + 6 = 0 \Rightarrow 9x = -6 \Rightarrow x = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}$.
Нуль знаменателя: $x - 14 = 0 \Rightarrow x = 14$.
Отметим точки $-\frac{2}{3}$ и $14$ на числовой прямой. Точка $x=-\frac{2}{3}$ закрашена (нестрогое неравенство), точка $x=14$ выколота (нуль знаменателя). Точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -\frac{2}{3}]$, $[-\frac{2}{3}; 14)$ и $(14; \infty)$.
Определим знаки выражения на интервалах (справа налево): «+», «-», «+».
Так как знак неравенства «$\ge$», решением являются интервалы, где выражение положительно или равно нулю.
Ответ: $(-\infty; -\frac{2}{3}] \cup (14; \infty)$.

54. Решите неравенство:

1) $|x| < 5;$

2) $|x + 1| \leq 3.1;$

3) $|5x - 4| \leq 3;$

4) $|18 - 7x| < 4.$

1)

Дано неравенство $|x| < 5$.

Неравенство вида $|a| < b$, где $b>0$, равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.

Применив это правило к нашему случаю, получаем:

$-5 < x < 5$

Решением является интервал от -5 до 5, не включая концы.

Ответ: $x \in (-5; 5)$.

2)

Дано неравенство $|x + 1| \le 3,1$.

Неравенство вида $|a| \le b$, где $b \ge 0$, равносильно двойному неравенству $-b \le a \le b$.

Подставим наши значения:

$-3,1 \le x + 1 \le 3,1$

Чтобы найти $x$, вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-3,1 - 1 \le x \le 3,1 - 1$

$-4,1 \le x \le 2,1$

Решением является числовой отрезок от -4,1 до 2,1, включая концы.

Ответ: $x \in [-4,1; 2,1]$.

3)

Дано неравенство $|5x - 4| \le 3$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-3 \le 5x - 4 \le 3$

Сначала прибавим 4 ко всем частям неравенства:

$-3 + 4 \le 5x \le 3 + 4$

$1 \le 5x \le 7$

Теперь разделим все части неравенства на 5:

$\frac{1}{5} \le x \le \frac{7}{5}$

Преобразуем дроби в десятичный вид для удобства:

$0,2 \le x \le 1,4$

Решением является числовой отрезок от 0,2 до 1,4, включая концы.

Ответ: $x \in [0,2; 1,4]$.

4)

Дано неравенство $|18 - 7x| < 4$.

Данное неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-4 < 18 - 7x < 4$

Вычтем 18 из всех частей неравенства:

$-4 - 18 < -7x < 4 - 18$

$-22 < -7x < -14$

Разделим все части неравенства на -7. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-22}{-7} > x > \frac{-14}{-7}$

$\frac{22}{7} > x > 2$

Запишем результат в стандартном порядке, от меньшего к большему:

$2 < x < \frac{22}{7}$

Решением является интервал от 2 до $\frac{22}{7}$, не включая концы.

Ответ: $x \in (2; \frac{22}{7})$.

55. Решите неравенство:

1) $|x| > 2;$

2) $|x + 3| \ge 4,3;$

3) $|0,6x + 3| \ge 2;$

4) $|13 - 5x| > 9.$

1) $|x| > 2$

Неравенство вида $|f(x)| > a$, где $a > 0$, равносильно совокупности (объединению) двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

В данном случае получаем:

$x > 2$ или $x < -2$.

Решением является объединение интервалов $(-\infty; -2)$ и $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$

2) $|x + 3| \ge 4,3$

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x + 3 \ge 4,3$ или $x + 3 \le -4,3$.

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $x + 3 \ge 4,3$

$x \ge 4,3 - 3$

$x \ge 1,3$

2) $x + 3 \le -4,3$

$x \le -4,3 - 3$

$x \le -7,3$

Объединяя полученные решения, получаем ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; -7,3] \cup [1,3; +\infty)$

3) $|0,6x + 3| \ge 2$

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$0,6x + 3 \ge 2$ или $0,6x + 3 \le -2$.

Решим каждое неравенство:

1) $0,6x + 3 \ge 2$

$0,6x \ge 2 - 3$

$0,6x \ge -1$

$x \ge \frac{-1}{0,6} \implies x \ge -\frac{1}{6/10} \implies x \ge -\frac{10}{6} \implies x \ge -\frac{5}{3}$

2) $0,6x + 3 \le -2$

$0,6x \le -2 - 3$

$0,6x \le -5$

$x \le \frac{-5}{0,6} \implies x \le -\frac{5}{6/10} \implies x \le -\frac{50}{6} \implies x \le -\frac{25}{3}$

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{25}{3}] \cup [-\frac{5}{3}; +\infty)$

4) $|13 - 5x| > 9$

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$13 - 5x > 9$ или $13 - 5x < -9$.

Решим каждое неравенство:

1) $13 - 5x > 9$

$-5x > 9 - 13$

$-5x > -4$

При делении на отрицательное число $-5$ знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-4}{-5} \implies x < \frac{4}{5}$

2) $13 - 5x < -9$

$-5x < -9 - 13$

$-5x < -22$

При делении на $-5$ знак неравенства снова меняется:

$x > \frac{-22}{-5} \implies x > \frac{22}{5}$

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{4}{5}) \cup (\frac{22}{5}; +\infty)$

56. Решите уравнение:

1) $|x| + |x - 6| = 8;$

2) $|x + 2| + |x - 5| = 7;$

3) $|x - 1| - |x - 7| = 8;$

4) $|3x + 1| - |x - 4| = 2x - 3.$

1) $|x| + |x - 6| = 8$

Для решения уравнения с модулями раскроем модули на разных промежутках. Найдем точки, в которых выражения под модулем равны нулю: $x=0$ и $x-6=0$, то есть $x=6$. Эти точки делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty, 0)$, $[0, 6)$ и $[6, +\infty)$.

1. При $x \in (-\infty, 0)$ оба выражения под модулем отрицательны: $|x| = -x$, $|x - 6| = -(x - 6) = 6 - x$.

Уравнение принимает вид:

$-x + (6 - x) = 8$

$-2x + 6 = 8$

$-2x = 2$

$x = -1$

Корень $x = -1$ принадлежит промежутку $(-\infty, 0)$, следовательно, является решением.

2. При $x \in [0, 6)$ первое выражение неотрицательно, второе отрицательно: $|x| = x$, $|x - 6| = -(x - 6) = 6 - x$.

Уравнение принимает вид:

$x + (6 - x) = 8$

$6 = 8$

Получено неверное равенство, значит, на этом промежутке решений нет.

3. При $x \in [6, +\infty)$ оба выражения под модулем неотрицательны: $|x| = x$, $|x - 6| = x - 6$.

Уравнение принимает вид:

$x + (x - 6) = 8$

$2x - 6 = 8$

$2x = 14$

$x = 7$

Корень $x = 7$ принадлежит промежутку $[6, +\infty)$, следовательно, является решением.

Объединяя решения, получаем: $x = -1$ и $x = 7$.

Ответ: -1; 7.

2) $|x + 2| + |x - 5| = 7$

Найдем точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x+2=0 \implies x=-2$ и $x-5=0 \implies x=5$. Разобьем числовую ось на три промежутка: $(-\infty, -2)$, $[-2, 5)$ и $[5, +\infty)$.

1. При $x \in (-\infty, -2)$ оба выражения под модулем отрицательны: $|x + 2| = -(x + 2)$, $|x - 5| = -(x - 5)$.

Уравнение принимает вид:

$-(x + 2) - (x - 5) = 7$

$-x - 2 - x + 5 = 7$

$-2x + 3 = 7$

$-2x = 4$

$x = -2$

Корень $x = -2$ не принадлежит промежутку $(-\infty, -2)$, значит, в этом промежутке решений нет.

2. При $x \in [-2, 5)$ первое выражение неотрицательно, второе отрицательно: $|x + 2| = x + 2$, $|x - 5| = -(x - 5)$.

Уравнение принимает вид:

$(x + 2) + (-(x - 5)) = 7$

$x + 2 - x + 5 = 7$

$7 = 7$

Получено верное тождество, значит, все числа из промежутка $[-2, 5)$ являются решениями уравнения.

3. При $x \in [5, +\infty)$ оба выражения под модулем неотрицательны: $|x + 2| = x + 2$, $|x - 5| = x - 5$.

Уравнение принимает вид:

$(x + 2) + (x - 5) = 7$

$2x - 3 = 7$

$2x = 10$

$x = 5$

Корень $x = 5$ принадлежит промежутку $[5, +\infty)$, следовательно, является решением.

Объединяя результаты, получаем, что решениями являются все числа из промежутка $[-2, 5)$ и точка $x=5$. Таким образом, решением является отрезок $[-2, 5]$.

Ответ: $[-2; 5]$.

3) $|x - 1| - |x - 7| = 8$

Найдем нули подмодульных выражений: $x-1=0 \implies x=1$ и $x-7=0 \implies x=7$. Рассматриваем три промежутка: $(-\infty, 1)$, $[1, 7)$ и $[7, +\infty)$.

1. При $x \in (-\infty, 1)$ имеем $|x - 1| = -(x - 1)$ и $|x - 7| = -(x - 7)$.

Уравнение принимает вид:

$-(x - 1) - (-(x - 7)) = 8$

$-x + 1 + x - 7 = 8$

$-6 = 8$

Неверное равенство, решений на данном промежутке нет.

2. При $x \in [1, 7)$ имеем $|x - 1| = x - 1$ и $|x - 7| = -(x - 7)$.

Уравнение принимает вид:

$(x - 1) - (-(x - 7)) = 8$

$x - 1 + x - 7 = 8$

$2x - 8 = 8$

$2x = 16$

$x = 8$

Корень $x = 8$ не принадлежит промежутку $[1, 7)$, значит, не является решением.

3. При $x \in [7, +\infty)$ имеем $|x - 1| = x - 1$ и $|x - 7| = x - 7$.

Уравнение принимает вид:

$(x - 1) - (x - 7) = 8$

$x - 1 - x + 7 = 8$

$6 = 8$

Неверное равенство, решений на данном промежутке нет.

Так как ни на одном из промежутков решений нет, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

4) $|3x + 1| - |x - 4| = 2x - 3$

Найдем нули подмодульных выражений: $3x+1=0 \implies x=-1/3$ и $x-4=0 \implies x=4$. Рассматриваем три промежутка: $(-\infty, -1/3)$, $[-1/3, 4)$ и $[4, +\infty)$.

1. При $x \in (-\infty, -1/3)$ имеем $|3x + 1| = -(3x + 1)$ и $|x - 4| = -(x - 4)$.

Уравнение принимает вид:

$-(3x + 1) - (-(x - 4)) = 2x - 3$

$-3x - 1 + x - 4 = 2x - 3$

$-2x - 5 = 2x - 3$

$-4x = 2$

$x = -1/2$

Корень $x = -1/2$ принадлежит промежутку $(-\infty, -1/3)$, так как $-0,5 < -1/3$, следовательно, является решением.

2. При $x \in [-1/3, 4)$ имеем $|3x + 1| = 3x + 1$ и $|x - 4| = -(x - 4)$.

Уравнение принимает вид:

$(3x + 1) - (-(x - 4)) = 2x - 3$

$3x + 1 + x - 4 = 2x - 3$

$4x - 3 = 2x - 3$

$2x = 0$

$x = 0$

Корень $x = 0$ принадлежит промежутку $[-1/3, 4)$, следовательно, является решением.

3. При $x \in [4, +\infty)$ имеем $|3x + 1| = 3x + 1$ и $|x - 4| = x - 4$.

Уравнение принимает вид:

$(3x + 1) - (x - 4) = 2x - 3$

$2x + 5 = 2x - 3$

$5 = -3$

Неверное равенство, решений на данном промежутке нет.

Объединяя полученные результаты, находим корни уравнения: $x = -1/2$ и $x = 0$.

Ответ: -0,5; 0.

57. Решите неравенство:

1) $ |x + 4| + 2x \ge 7; $

2) $ |x - 3| - 2x < 9; $

3) $ |x + 5| + |x - 3| \le 8; $

4) $ |x + 4| + |x - 2| > 6; $

5) $ |x + 3.5| - |x - 2.5| \le 5; $

6) $ |4x + 3| - |x - 2| > 3. $

1)

Решим неравенство $|x + 4| + 2x \ge 7$.

Для раскрытия модуля рассмотрим два случая. Критическая точка, в которой выражение под модулем меняет знак, это $x = -4$.

Случай 1: $x \ge -4$.
В этом случае $|x + 4| = x + 4$. Неравенство принимает вид:
$x + 4 + 2x \ge 7$
$3x \ge 3$
$x \ge 1$
Учитывая условие $x \ge -4$, решение для этого случая: $x \ge 1$.

Случай 2: $x < -4$.
В этом случае $|x + 4| = -(x + 4) = -x - 4$. Неравенство принимает вид:
$-x - 4 + 2x \ge 7$
$x - 4 \ge 7$
$x \ge 11$
Система $\begin{cases} x \ge 11 \\ x < -4 \end{cases}$ не имеет решений.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

2)

Решим неравенство $|x - 3| - 2x < 9$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая. Критическая точка: $x = 3$.

Случай 1: $x \ge 3$.
Тогда $|x - 3| = x - 3$.
$x - 3 - 2x < 9$
$-x < 12$
$x > -12$
Пересекая с условием $x \ge 3$, получаем $x \ge 3$.

Случай 2: $x < 3$.
Тогда $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$.
$-x + 3 - 2x < 9$
$-3x < 6$
$x > -2$
Пересекая с условием $x < 3$, получаем $-2 < x < 3$.

Объединяем полученные решения: $(-2, 3) \cup [3, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-2, +\infty)$.

3)

Решим неравенство $|x + 5| + |x - 3| \le 8$.

Используем метод интервалов. Критические точки, в которых выражения под модулями равны нулю: $x = -5$ и $x = 3$. Они разбивают числовую прямую на три интервала.

Интервал 1: $x < -5$.
На этом интервале $|x + 5| = -x - 5$ и $|x - 3| = -x + 3$.
$(-x - 5) + (-x + 3) \le 8$
$-2x - 2 \le 8$
$-2x \le 10$
$x \ge -5$
Пересечение с условием $x < -5$ даёт пустое множество.

Интервал 2: $-5 \le x < 3$.
На этом интервале $|x + 5| = x + 5$ и $|x - 3| = -x + 3$.
$(x + 5) + (-x + 3) \le 8$
$8 \le 8$
Неравенство верно для всех $x$ из этого интервала. Решение: $[-5, 3)$.

Интервал 3: $x \ge 3$.
На этом интервале $|x + 5| = x + 5$ и $|x - 3| = x - 3$.
$(x + 5) + (x - 3) \le 8$
$2x + 2 \le 8$
$2x \le 6$
$x \le 3$
Пересечение с условием $x \ge 3$ даёт $x = 3$.

Объединяем все найденные решения: $\emptyset \cup [-5, 3) \cup \{3\}$.
Ответ: $x \in [-5, 3]$.

4)

Решим неравенство $|x + 4| + |x - 2| > 6$.

Используем метод интервалов. Критические точки: $x = -4$ и $x = 2$.

Интервал 1: $x < -4$.
$|x + 4| = -x - 4$, $|x - 2| = -x + 2$.
$(-x - 4) + (-x + 2) > 6$
$-2x - 2 > 6$
$-2x > 8$
$x < -4$
Решение на этом интервале: $(-\infty, -4)$.

Интервал 2: $-4 \le x < 2$.
$|x + 4| = x + 4$, $|x - 2| = -x + 2$.
$(x + 4) + (-x + 2) > 6$
$6 > 6$
Неравенство ложно. Решений на этом интервале нет.

Интервал 3: $x \ge 2$.
$|x + 4| = x + 4$, $|x - 2| = x - 2$.
$(x + 4) + (x - 2) > 6$
$2x + 2 > 6$
$2x > 4$
$x > 2$
Решение на этом интервале: $(2, +\infty)$.

Объединяем решения со всех интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (2, +\infty)$.

5)

Решим неравенство $|x + 3,5| - |x - 2,5| \le 5$.

Используем метод интервалов. Критические точки: $x = -3,5$ и $x = 2,5$.

Интервал 1: $x < -3,5$.
$|x + 3,5| = -x - 3,5$, $|x - 2,5| = -x + 2,5$.
$(-x - 3,5) - (-x + 2,5) \le 5$
$-x - 3,5 + x - 2,5 \le 5$
$-6 \le 5$
Неравенство верно. Решение на этом интервале: $(-\infty, -3,5)$.

Интервал 2: $-3,5 \le x < 2,5$.
$|x + 3,5| = x + 3,5$, $|x - 2,5| = -x + 2,5$.
$(x + 3,5) - (-x + 2,5) \le 5$
$x + 3,5 + x - 2,5 \le 5$
$2x + 1 \le 5$
$2x \le 4$
$x \le 2$
Пересечение с условием интервала даёт: $[-3,5, 2]$.

Интервал 3: $x \ge 2,5$.
$|x + 3,5| = x + 3,5$, $|x - 2,5| = x - 2,5$.
$(x + 3,5) - (x - 2,5) \le 5$
$6 \le 5$
Неравенство ложно. Решений нет.

Объединяем решения: $(-\infty, -3,5) \cup [-3,5, 2]$.
Ответ: $x \in (-\infty, 2]$.

6)

Решим неравенство $|4x + 3| - |x - 2| > 3$.

Используем метод интервалов. Критические точки: $4x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3/4$ и $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

Интервал 1: $x < -3/4$.
$|4x + 3| = -4x - 3$, $|x - 2| = -x + 2$.
$(-4x - 3) - (-x + 2) > 3$
$-3x - 5 > 3$
$-3x > 8$
$x < -8/3$
Так как $-8/3 < -3/4$, решение на этом интервале: $x < -8/3$.

Интервал 2: $-3/4 \le x < 2$.
$|4x + 3| = 4x + 3$, $|x - 2| = -x + 2$.
$(4x + 3) - (-x + 2) > 3$
$5x + 1 > 3$
$5x > 2$
$x > 2/5$
Пересечение с условием интервала даёт: $2/5 < x < 2$.

Интервал 3: $x \ge 2$.
$|4x + 3| = 4x + 3$, $|x - 2| = x - 2$.
$(4x + 3) - (x - 2) > 3$
$3x + 5 > 3$
$3x > -2$
$x > -2/3$
Пересечение с условием $x \ge 2$ даёт: $x \ge 2$.

Объединяем все найденные решения: $(-\infty, -8/3) \cup (2/5, 2) \cup [2, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -8/3) \cup (2/5, +\infty)$.

58. Для каждого значения $a$ решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x > 5, \\ x < a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x < -1, \\ x < -a. \end{cases}$

1)

Дана система неравенств:
$ \begin{cases} x > 5 \\ x < a \end{cases} $
Решением системы являются все значения $x$, которые одновременно больше 5 и меньше $a$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $5 < x < a$.

Такое множество решений существует (не является пустым) только в том случае, если правая граница интервала больше левой, то есть $a > 5$. Рассмотрим все возможные случаи для параметра $a$:
- Если $a \le 5$, то не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно больше 5 и меньше (или равно) 5. В этом случае система не имеет решений.
- Если $a > 5$, то решением системы является интервал $(5; a)$.

Ответ: если $a \le 5$, решений нет; если $a > 5$, то $x \in (5; a)$.

2)

Дана система неравенств:
$ \begin{cases} x < -1 \\ x < -a \end{cases} $
Решением системы являются все значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам. Это означает, что $x$ должен быть строго меньше каждого из чисел $-1$ и $-a$. Следовательно, $x$ должен быть меньше наименьшего из этих двух чисел: $x < \min(-1, -a)$.

Чтобы определить, какое из чисел меньше, сравним $-1$ и $-a$ в зависимости от значения $a$:
- Если $-a < -1$. Умножив обе части на -1, получим равносильное неравенство $a > 1$. В этом случае наименьшим числом является $-a$, и решением системы будет $x < -a$.
- Если $-a \ge -1$. Умножив обе части на -1, получим равносильное неравенство $a \le 1$. В этом случае наименьшим числом (или равным) является $-1$, и решением системы будет $x < -1$. (Этот случай включает в себя и $a=1$, когда $-a=-1$).

Ответ: если $a \le 1$, то $x \in (-\infty; -1)$; если $a > 1$, то $x \in (-\infty; -a)$.

59. При каких значениях $a$ корни уравнения $x^2 - (a + 1)x - 2a^2 - a = 0$ меньше числа 5?

Для того чтобы корни квадратного уравнения $x^2 - (a+1)x - 2a^2 - a = 0$ были меньше числа 5, необходимо и достаточно, чтобы для соответствующей квадратичной функции $f(x) = x^2 - (a+1)x - 2a^2 - a$ одновременно выполнялись три условия. Графиком данной функции является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0).

Условия следующие:

1. Уравнение должно иметь действительные корни, то есть дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

2. Абсцисса вершины параболы $x_v$ должна быть меньше 5 ($x_v < 5$).

3. Значение функции в точке $x=5$ должно быть положительным ($f(5) > 0$).

Рассмотрим каждое условие по отдельности.

1. Найдем дискриминант уравнения $x^2 - (a+1)x - (2a^2+a) = 0$.
$D = b^2 - 4ac = (-(a+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(2a^2+a)) = (a+1)^2 + 4(2a^2+a) = a^2+2a+1+8a^2+4a = 9a^2+6a+1 = (3a+1)^2$.
Поскольку $D = (3a+1)^2$, дискриминант всегда неотрицателен ($D \ge 0$) для любого действительного значения $a$. Следовательно, уравнение всегда имеет действительные корни, и это условие выполняется для всех $a \in \mathbb{R}$.

2. Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.
$x_v = -\frac{-(a+1)}{2 \cdot 1} = \frac{a+1}{2}$.
Теперь решим неравенство $x_v < 5$:
$\frac{a+1}{2} < 5$
$a+1 < 10$
$a < 9$

3. Решим неравенство $f(5) > 0$.
$f(5) = 5^2 - (a+1) \cdot 5 - (2a^2+a) > 0$
$25 - 5a - 5 - 2a^2 - a > 0$
$-2a^2 - 6a + 20 > 0$
Разделим обе части неравенства на -2 и сменим знак на противоположный:
$a^2 + 3a - 10 < 0$
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $a^2 + 3a - 10 = 0$. Используя теорему Виета или формулу корней квадратного уравнения, находим корни $a_1=2$ и $a_2=-5$.
Так как парабола $y=a^2+3a-10$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями.
Следовательно, $-5 < a < 2$.

Для получения окончательного ответа необходимо найти пересечение множеств решений всех трех условий: $a \in (-\infty; +\infty)$, $a < 9$ и $-5 < a < 2$.
Объединяя эти условия, получаем:$ \begin{cases} a \in (-\infty, +\infty) \\ a < 9 \\ -5 < a < 2 \end{cases} $
Пересечением этих множеств является интервал $(-5, 2)$.

Ответ: $a \in (-5, 2)$.

60.При каких значениях $a$ корни уравнения $x^2 - 4ax + 3a^2 + 2a - 1 = 0$ принадлежат промежутку $[3; 10]$?

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Для того чтобы его корни принадлежали заданному промежутку, необходимо, чтобы эти корни были действительными. Найдем дискриминант уравнения $x^2 - 4ax + 3a^2 + 2a - 1 = 0$.

$D = (-4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3a^2 + 2a - 1) = 16a^2 - 12a^2 - 8a + 4 = 4a^2 - 8a + 4 = 4(a^2 - 2a + 1) = 4(a-1)^2$.

Поскольку $D = (2(a-1))^2 \ge 0$ при любом действительном значении $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем эти корни:

$x_{1,2} = \frac{-(-4a) \pm \sqrt{4(a-1)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{4a \pm 2|a-1|}{2} = 2a \pm |a-1|$.

Для дальнейшего решения необходимо рассмотреть два случая, чтобы раскрыть модуль.

1. Случай, когда $a - 1 \ge 0$, то есть $a \ge 1$.

В этом случае $|a-1| = a-1$. Корни уравнения принимают вид:

$x_1 = 2a + (a-1) = 3a - 1$

$x_2 = 2a - (a-1) = a + 1$

По условию задачи, оба корня должны принадлежать промежутку $[3; 10]$. Это означает, что должна выполняться система неравенств:

$\begin{cases} 3 \le 3a - 1 \le 10 \\ 3 \le a + 1 \le 10 \end{cases}$

Решим первое двойное неравенство:

$3 \le 3a - 1 \implies 4 \le 3a \implies a \ge \frac{4}{3}$

$3a - 1 \le 10 \implies 3a \le 11 \implies a \le \frac{11}{3}$

Решением первого неравенства является промежуток $[\frac{4}{3}; \frac{11}{3}]$.

Решим второе двойное неравенство:

$3 \le a + 1 \implies 2 \le a$

$a + 1 \le 10 \implies a \le 9$

Решением второго неравенства является промежуток $[2; 9]$.

Теперь найдем пересечение полученных решений с условием данного случая $a \ge 1$.

$a \in [\frac{4}{3}; \frac{11}{3}] \cap [2; 9] \cap [1; \infty)$.

Пересечением этих трех множеств является отрезок $[2; \frac{11}{3}]$.

2. Случай, когда $a - 1 < 0$, то есть $a < 1$.

В этом случае $|a-1| = -(a-1) = 1-a$. Корни уравнения:

$x_1 = 2a + (1-a) = a + 1$

$x_2 = 2a - (1-a) = 3a - 1$

Корни те же, что и в первом случае, поэтому условия на параметр $a$ для принадлежности корней промежутку $[3; 10]$ будут теми же: $a \in [\frac{4}{3}; \frac{11}{3}]$ и $a \in [2; 9]$, что в пересечении дает $a \in [2; \frac{11}{3}]$.

Однако эти значения должны удовлетворять условию данного случая, то есть $a < 1$.

Найдем пересечение: $a \in [2; \frac{11}{3}] \cap (-\infty; 1)$.

Это пересечение является пустым множеством, так как не существует числа, которое было бы одновременно меньше 1 и больше либо равно 2. Следовательно, в этом случае решений нет.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, мы получаем итоговое решение.

Ответ: $a \in [2; \frac{11}{3}]$.

61. При каких значениях $a$ один из корней уравнения $3x^2 - (7a+2)x + 2a^2 + 4a = 0$ меньше 0, а второй — больше 1?

Пусть $f(x) = 3x^2 - (7a+2)x + 2a^2 + 4a$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 3, что больше 0.

По условию, один корень уравнения $x_1$ меньше 0, а другой корень $x_2$ больше 1. Это означает, что числа 0 и 1 находятся между корнями: $x_1 < 0 < 1 < x_2$.

Для параболы с ветвями вверх это условие выполняется тогда и только тогда, когда значения функции в точках $x=0$ и $x=1$ отрицательны. Таким образом, мы должны решить систему неравенств:$$\begin{cases} f(0) < 0 \\f(1) < 0 \end{cases}$$

1. Решим первое неравенство $f(0) < 0$:

$f(0) = 3(0)^2 - (7a+2) \cdot 0 + 2a^2 + 4a = 2a^2 + 4a$.

$2a^2 + 4a < 0$

$2a(a+2) < 0$

Корни соответствующего уравнения $2a(a+2)=0$ равны $a_1=0$ и $a_2=-2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями.

Следовательно, решение первого неравенства: $a \in (-2; 0)$.

2. Решим второе неравенство $f(1) < 0$:

$f(1) = 3(1)^2 - (7a+2) \cdot 1 + 2a^2 + 4a = 3 - 7a - 2 + 2a^2 + 4a = 2a^2 - 3a + 1$.

$2a^2 - 3a + 1 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $2a^2 - 3a + 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
$a_1 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$a_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями.

Следовательно, решение второго неравенства: $a \in (\frac{1}{2}; 1)$.

3. Найдем решение системы:

Нам необходимо найти пересечение полученных решений:$$\begin{cases} -2 < a < 0 \\\frac{1}{2} < a < 1\end{cases}$$

Интервалы $(-2; 0)$ и $(\frac{1}{2}; 1)$ не пересекаются. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: Таких значений $a$ не существует.

62. Функция задана формулой $f(x) = \frac{1}{3}x^2 - 4x$. Найдите:

1) $f(-3);$

2) $f\left(\frac{1}{2}\right).$

Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}x^2 - 4x$. Чтобы найти значение функции при заданном значении аргумента, необходимо подставить это значение вместо $x$ в формулу функции и выполнить вычисления.

1) f(-3)

Подставляем $x = -3$ в исходную формулу:

$f(-3) = \frac{1}{3}(-3)^2 - 4(-3)$

Вычисляем квадрат числа:

$(-3)^2 = 9$

Выполняем умножение:

$\frac{1}{3} \cdot 9 = 3$

$4 \cdot (-3) = -12$

Подставляем результаты обратно в выражение и находим разность:

$f(-3) = 3 - (-12) = 3 + 12 = 15$

Ответ: $15$

2) f(1/2)

Подставляем $x = \frac{1}{2}$ в исходную формулу:

$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{3}(\frac{1}{2})^2 - 4 \cdot \frac{1}{2}$

Вычисляем квадрат числа:

$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Выполняем умножение:

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$

$4 \cdot \frac{1}{2} = 2$

Подставляем результаты обратно в выражение и находим разность:

$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - 2$

Чтобы вычесть из дроби целое число, приведем их к общему знаменателю:

$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{2 \cdot 12}{12} = \frac{1}{12} - \frac{24}{12} = \frac{1-24}{12} = -\frac{23}{12}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$-\frac{23}{12} = -1\frac{11}{12}$

Ответ: $-1\frac{11}{12}$