Номер 56, страница 82 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

56. Решите уравнение:

1) $|x| + |x - 6| = 8;$

2) $|x + 2| + |x - 5| = 7;$

3) $|x - 1| - |x - 7| = 8;$

4) $|3x + 1| - |x - 4| = 2x - 3.$

1) $|x| + |x - 6| = 8$

Для решения уравнения с модулями раскроем модули на разных промежутках. Найдем точки, в которых выражения под модулем равны нулю: $x=0$ и $x-6=0$, то есть $x=6$. Эти точки делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty, 0)$, $[0, 6)$ и $[6, +\infty)$.

1. При $x \in (-\infty, 0)$ оба выражения под модулем отрицательны: $|x| = -x$, $|x - 6| = -(x - 6) = 6 - x$.

Уравнение принимает вид:

$-x + (6 - x) = 8$

$-2x + 6 = 8$

$-2x = 2$

$x = -1$

Корень $x = -1$ принадлежит промежутку $(-\infty, 0)$, следовательно, является решением.

2. При $x \in [0, 6)$ первое выражение неотрицательно, второе отрицательно: $|x| = x$, $|x - 6| = -(x - 6) = 6 - x$.

Уравнение принимает вид:

$x + (6 - x) = 8$

$6 = 8$

Получено неверное равенство, значит, на этом промежутке решений нет.

3. При $x \in [6, +\infty)$ оба выражения под модулем неотрицательны: $|x| = x$, $|x - 6| = x - 6$.

Уравнение принимает вид:

$x + (x - 6) = 8$

$2x - 6 = 8$

$2x = 14$

$x = 7$

Корень $x = 7$ принадлежит промежутку $[6, +\infty)$, следовательно, является решением.

Объединяя решения, получаем: $x = -1$ и $x = 7$.

Ответ: -1; 7.

2) $|x + 2| + |x - 5| = 7$

Найдем точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x+2=0 \implies x=-2$ и $x-5=0 \implies x=5$. Разобьем числовую ось на три промежутка: $(-\infty, -2)$, $[-2, 5)$ и $[5, +\infty)$.

1. При $x \in (-\infty, -2)$ оба выражения под модулем отрицательны: $|x + 2| = -(x + 2)$, $|x - 5| = -(x - 5)$.

Уравнение принимает вид:

$-(x + 2) - (x - 5) = 7$

$-x - 2 - x + 5 = 7$

$-2x + 3 = 7$

$-2x = 4$

$x = -2$

Корень $x = -2$ не принадлежит промежутку $(-\infty, -2)$, значит, в этом промежутке решений нет.

2. При $x \in [-2, 5)$ первое выражение неотрицательно, второе отрицательно: $|x + 2| = x + 2$, $|x - 5| = -(x - 5)$.

Уравнение принимает вид:

$(x + 2) + (-(x - 5)) = 7$

$x + 2 - x + 5 = 7$

$7 = 7$

Получено верное тождество, значит, все числа из промежутка $[-2, 5)$ являются решениями уравнения.

3. При $x \in [5, +\infty)$ оба выражения под модулем неотрицательны: $|x + 2| = x + 2$, $|x - 5| = x - 5$.

Уравнение принимает вид:

$(x + 2) + (x - 5) = 7$

$2x - 3 = 7$

$2x = 10$

$x = 5$

Корень $x = 5$ принадлежит промежутку $[5, +\infty)$, следовательно, является решением.

Объединяя результаты, получаем, что решениями являются все числа из промежутка $[-2, 5)$ и точка $x=5$. Таким образом, решением является отрезок $[-2, 5]$.

Ответ: $[-2; 5]$.

3) $|x - 1| - |x - 7| = 8$

Найдем нули подмодульных выражений: $x-1=0 \implies x=1$ и $x-7=0 \implies x=7$. Рассматриваем три промежутка: $(-\infty, 1)$, $[1, 7)$ и $[7, +\infty)$.

1. При $x \in (-\infty, 1)$ имеем $|x - 1| = -(x - 1)$ и $|x - 7| = -(x - 7)$.

Уравнение принимает вид:

$-(x - 1) - (-(x - 7)) = 8$

$-x + 1 + x - 7 = 8$

$-6 = 8$

Неверное равенство, решений на данном промежутке нет.

2. При $x \in [1, 7)$ имеем $|x - 1| = x - 1$ и $|x - 7| = -(x - 7)$.

Уравнение принимает вид:

$(x - 1) - (-(x - 7)) = 8$

$x - 1 + x - 7 = 8$

$2x - 8 = 8$

$2x = 16$

$x = 8$

Корень $x = 8$ не принадлежит промежутку $[1, 7)$, значит, не является решением.

3. При $x \in [7, +\infty)$ имеем $|x - 1| = x - 1$ и $|x - 7| = x - 7$.

Уравнение принимает вид:

$(x - 1) - (x - 7) = 8$

$x - 1 - x + 7 = 8$

$6 = 8$

Неверное равенство, решений на данном промежутке нет.

Так как ни на одном из промежутков решений нет, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

4) $|3x + 1| - |x - 4| = 2x - 3$

Найдем нули подмодульных выражений: $3x+1=0 \implies x=-1/3$ и $x-4=0 \implies x=4$. Рассматриваем три промежутка: $(-\infty, -1/3)$, $[-1/3, 4)$ и $[4, +\infty)$.

1. При $x \in (-\infty, -1/3)$ имеем $|3x + 1| = -(3x + 1)$ и $|x - 4| = -(x - 4)$.

Уравнение принимает вид:

$-(3x + 1) - (-(x - 4)) = 2x - 3$

$-3x - 1 + x - 4 = 2x - 3$

$-2x - 5 = 2x - 3$

$-4x = 2$

$x = -1/2$

Корень $x = -1/2$ принадлежит промежутку $(-\infty, -1/3)$, так как $-0,5 < -1/3$, следовательно, является решением.

2. При $x \in [-1/3, 4)$ имеем $|3x + 1| = 3x + 1$ и $|x - 4| = -(x - 4)$.

Уравнение принимает вид:

$(3x + 1) - (-(x - 4)) = 2x - 3$

$3x + 1 + x - 4 = 2x - 3$

$4x - 3 = 2x - 3$

$2x = 0$

$x = 0$

Корень $x = 0$ принадлежит промежутку $[-1/3, 4)$, следовательно, является решением.

3. При $x \in [4, +\infty)$ имеем $|3x + 1| = 3x + 1$ и $|x - 4| = x - 4$.

Уравнение принимает вид:

$(3x + 1) - (x - 4) = 2x - 3$

$2x + 5 = 2x - 3$

$5 = -3$

Неверное равенство, решений на данном промежутке нет.

Объединяя полученные результаты, находим корни уравнения: $x = -1/2$ и $x = 0$.

Ответ: -0,5; 0.