Номер 54, страница 82 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

54. Решите неравенство:

1) $|x| < 5;$

2) $|x + 1| \leq 3.1;$

3) $|5x - 4| \leq 3;$

4) $|18 - 7x| < 4.$

1)

Дано неравенство $|x| < 5$.

Неравенство вида $|a| < b$, где $b>0$, равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.

Применив это правило к нашему случаю, получаем:

$-5 < x < 5$

Решением является интервал от -5 до 5, не включая концы.

Ответ: $x \in (-5; 5)$.

2)

Дано неравенство $|x + 1| \le 3,1$.

Неравенство вида $|a| \le b$, где $b \ge 0$, равносильно двойному неравенству $-b \le a \le b$.

Подставим наши значения:

$-3,1 \le x + 1 \le 3,1$

Чтобы найти $x$, вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-3,1 - 1 \le x \le 3,1 - 1$

$-4,1 \le x \le 2,1$

Решением является числовой отрезок от -4,1 до 2,1, включая концы.

Ответ: $x \in [-4,1; 2,1]$.

3)

Дано неравенство $|5x - 4| \le 3$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-3 \le 5x - 4 \le 3$

Сначала прибавим 4 ко всем частям неравенства:

$-3 + 4 \le 5x \le 3 + 4$

$1 \le 5x \le 7$

Теперь разделим все части неравенства на 5:

$\frac{1}{5} \le x \le \frac{7}{5}$

Преобразуем дроби в десятичный вид для удобства:

$0,2 \le x \le 1,4$

Решением является числовой отрезок от 0,2 до 1,4, включая концы.

Ответ: $x \in [0,2; 1,4]$.

4)

Дано неравенство $|18 - 7x| < 4$.

Данное неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-4 < 18 - 7x < 4$

Вычтем 18 из всех частей неравенства:

$-4 - 18 < -7x < 4 - 18$

$-22 < -7x < -14$

Разделим все части неравенства на -7. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-22}{-7} > x > \frac{-14}{-7}$

$\frac{22}{7} > x > 2$

Запишем результат в стандартном порядке, от меньшего к большему:

$2 < x < \frac{22}{7}$

Решением является интервал от 2 до $\frac{22}{7}$, не включая концы.

Ответ: $x \in (2; \frac{22}{7})$.