Номер 48, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

48. Решите неравенство:

1) $ -1 < x - 3 < 7; $

2) $ -2,4 \le 4x + 0,8 \le 4; $

3) $ 0,2 \le 7 - 4x \le 1,4; $

4) $ 3 < \frac{x}{5} - 2 < 3,2; $

5) $ 2 < \frac{4x + 3}{3} \le 3; $

6) $ 2,5 < \frac{2 - 5x}{3} < 4,5. $

1) Решим двойное неравенство $ -1 < x - 3 < 7 $.
Чтобы найти $x$, прибавим ко всем частям неравенства 3:
$ -1 + 3 < x - 3 + 3 < 7 + 3 $
$ 2 < x < 10 $
Решением является интервал $ (2; 10) $.
Ответ: $ (2; 10) $.

2) Решим двойное неравенство $ -2,4 \le 4x + 0,8 \le 4 $.
Сначала вычтем из всех частей неравенства 0,8:
$ -2,4 - 0,8 \le 4x + 0,8 - 0,8 \le 4 - 0,8 $
$ -3,2 \le 4x \le 3,2 $
Теперь разделим все части неравенства на 4:
$ \frac{-3,2}{4} \le \frac{4x}{4} \le \frac{3,2}{4} $
$ -0,8 \le x \le 0,8 $
Решением является отрезок $ [-0,8; 0,8] $.
Ответ: $ [-0,8; 0,8] $.

3) Решим двойное неравенство $ 0,2 \le 7 - 4x \le 1,4 $.
Вычтем из всех частей неравенства 7:
$ 0,2 - 7 \le 7 - 4x - 7 \le 1,4 - 7 $
$ -6,8 \le -4x \le -5,6 $
Разделим все части неравенства на -4. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$ \frac{-6,8}{-4} \ge \frac{-4x}{-4} \ge \frac{-5,6}{-4} $
$ 1,7 \ge x \ge 1,4 $
Запишем в привычном виде, поменяв местами левую и правую части:
$ 1,4 \le x \le 1,7 $
Решением является отрезок $ [1,4; 1,7] $.
Ответ: $ [1,4; 1,7] $.

4) Решим двойное неравенство $ 3 < \frac{x}{5} - 2 < 3,2 $.
Прибавим ко всем частям неравенства 2:
$ 3 + 2 < \frac{x}{5} - 2 + 2 < 3,2 + 2 $
$ 5 < \frac{x}{5} < 5,2 $
Умножим все части неравенства на 5:
$ 5 \cdot 5 < \frac{x}{5} \cdot 5 < 5,2 \cdot 5 $
$ 25 < x < 26 $
Решением является интервал $ (25; 26) $.
Ответ: $ (25; 26) $.

5) Решим двойное неравенство $ 2 < \frac{4x + 3}{3} \le 3 $.
Умножим все части неравенства на 3:
$ 2 \cdot 3 < \frac{4x + 3}{3} \cdot 3 \le 3 \cdot 3 $
$ 6 < 4x + 3 \le 9 $
Вычтем из всех частей неравенства 3:
$ 6 - 3 < 4x + 3 - 3 \le 9 - 3 $
$ 3 < 4x \le 6 $
Разделим все части неравенства на 4:
$ \frac{3}{4} < \frac{4x}{4} \le \frac{6}{4} $
$ 0,75 < x \le 1,5 $
Решением является полуинтервал $ (0,75; 1,5] $.
Ответ: $ (0,75; 1,5] $.

6) Решим двойное неравенство $ 2,5 < \frac{2 - 5x}{3} < 4,5 $.
Умножим все части неравенства на 3:
$ 2,5 \cdot 3 < \frac{2 - 5x}{3} \cdot 3 < 4,5 \cdot 3 $
$ 7,5 < 2 - 5x < 13,5 $
Вычтем из всех частей неравенства 2:
$ 7,5 - 2 < 2 - 5x - 2 < 13,5 - 2 $
$ 5,5 < -5x < 11,5 $
Разделим все части неравенства на -5. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$ \frac{5,5}{-5} > \frac{-5x}{-5} > \frac{11,5}{-5} $
$ -1,1 > x > -2,3 $
Запишем в привычном виде:
$ -2,3 < x < -1,1 $
Решением является интервал $ (-2,3; -1,1) $.
Ответ: $ (-2,3; -1,1) $.