Номер 45, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

45. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} -3x > 9 \\ 4x < 1 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 7x - 3 \ge 2(x - 6) \\ x + 5 \ge 3x - 11 \end{cases}$

3) $\begin{cases} 0,2(x - 4) \le 0,3x + 2 \\ 3(x + 1) > x + 5 \end{cases}$

4) $\begin{cases} (x + 1)(x + 2) - (x - 1)(x + 1) < 4 \\ (x + 6)(x - 2) > x(x + 2) - 13 \end{cases}$

5) $\begin{cases} \frac{3x + 5}{4} < \frac{x + 1}{2} + 1 \\ \frac{x - 4}{2} > \frac{2 - x}{3} - 1 \end{cases}$

6) $\begin{cases} (3x + 1)^2 - 4x \ge (3x - 1)(3x + 1) + 6 \\ \frac{3x - 1}{2} - \frac{x}{4} \le 4 - x \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} -3x > 9 \\ 4x < 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$-3x > 9$
Разделим обе части на -3 и изменим знак неравенства на противоположный:
$x < -3$

Решим второе неравенство:
$4x < 1$
Разделим обе части на 4:
$x < \frac{1}{4}$

Найдем пересечение решений $x < -3$ и $x < \frac{1}{4}$. Общим решением является $x < -3$, так как любое число, меньшее -3, автоматически меньше $\frac{1}{4}$.

Ответ: $(-\infty; -3)$

2)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 7x-3 \ge 2(x-6) \\ x+5 \ge 3x-11 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$7x - 3 \ge 2x - 12$
$7x - 2x \ge -12 + 3$
$5x \ge -9$
$x \ge -\frac{9}{5}$

Решим второе неравенство:
$x + 5 \ge 3x - 11$
$5 + 11 \ge 3x - x$
$16 \ge 2x$
$8 \ge x$, или $x \le 8$

Найдем пересечение решений $x \ge -\frac{9}{5}$ и $x \le 8$. Общим решением является промежуток от $-\frac{9}{5}$ до 8, включая концы.

Ответ: $[-\frac{9}{5}; 8]$

3)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 0.2(x-4) \le 0.3x+2 \\ 3(x+1) > x+5 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$0.2(x-4) \le 0.3x+2$
$0.2x - 0.8 \le 0.3x + 2$
$-0.8 - 2 \le 0.3x - 0.2x$
$-2.8 \le 0.1x$
$-28 \le x$, или $x \ge -28$

Решим второе неравенство:
$3(x+1) > x+5$
$3x + 3 > x+5$
$3x - x > 5-3$
$2x > 2$
$x > 1$

Найдем пересечение решений $x \ge -28$ и $x > 1$. Общим решением является $x > 1$.

Ответ: $(1; +\infty)$

4)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} (x+1)(x+2)-(x-1)(x+1) < 4 \\ (x+6)(x-2) > x(x+2)-13 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$(x+1)(x+2)-(x-1)(x+1) < 4$
Раскроем скобки: $(x^2+2x+x+2) - (x^2-1) < 4$
$x^2+3x+2 - x^2+1 < 4$
$3x+3 < 4$
$3x < 1$
$x < \frac{1}{3}$

Решим второе неравенство:
$(x+6)(x-2) > x(x+2)-13$
Раскроем скобки: $x^2-2x+6x-12 > x^2+2x-13$
$x^2+4x-12 > x^2+2x-13$
$4x-12 > 2x-13$
$4x-2x > -13+12$
$2x > -1$
$x > -\frac{1}{2}$

Найдем пересечение решений $x < \frac{1}{3}$ и $x > -\frac{1}{2}$. Общим решением является интервал $(-\frac{1}{2}; \frac{1}{3})$.

Ответ: $(-\frac{1}{2}; \frac{1}{3})$

5)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} \frac{3x+5}{4} < \frac{x+1}{2} + 1 \\ \frac{x-4}{2} > \frac{2-x}{3} - 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство, умножив обе части на 4:
$3x+5 < 2(x+1) + 4$
$3x+5 < 2x+2+4$
$3x+5 < 2x+6$
$3x-2x < 6-5$
$x < 1$

Решим второе неравенство, умножив обе части на 6:
$3(x-4) > 2(2-x) - 6$
$3x-12 > 4-2x-6$
$3x-12 > -2-2x$
$3x+2x > 12-2$
$5x > 10$
$x > 2$

Найдем пересечение решений $x < 1$ и $x > 2$. Так как нет чисел, которые одновременно меньше 1 и больше 2, система не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений)

6)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} (3x+1)^2 - 4x \ge (3x-1)(3x+1) + 6 \\ \frac{3x-1}{2} - \frac{x}{4} \le 4-x \end{cases}$

Решим первое неравенство, используя формулы сокращенного умножения:
$(9x^2+6x+1) - 4x \ge (9x^2-1) + 6$
$9x^2+2x+1 \ge 9x^2+5$
$2x+1 \ge 5$
$2x \ge 4$
$x \ge 2$

Решим второе неравенство, умножив обе части на 4:
$2(3x-1) - x \le 4(4-x)$
$6x-2-x \le 16-4x$
$5x-2 \le 16-4x$
$5x+4x \le 16+2$
$9x \le 18$
$x \le 2$

Найдем пересечение решений $x \ge 2$ и $x \le 2$. Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x=2$.

Ответ: $\{2\}$