Номер 52, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

52. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{5x - 11} + \sqrt{2x - 7}$;

2) $\sqrt{3x + 5} + \frac{1}{\sqrt{8 - 5x}}$;

3) $\sqrt{3x - 8} + \sqrt{1 - x}?$

1)

Выражение $\sqrt{5x - 11} + \sqrt{2x - 7}$ имеет смысл (определено на множестве действительных чисел), если подкоренные выражения неотрицательны. Это условие приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} 5x - 11 \ge 0 \\ 2x - 7 \ge 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $5x - 11 \ge 0 \implies 5x \ge 11 \implies x \ge \frac{11}{5} \implies x \ge 2,2$

2) $2x - 7 \ge 0 \implies 2x \ge 7 \implies x \ge \frac{7}{2} \implies x \ge 3,5$

Для того чтобы система имела решение, необходимо найти пересечение полученных множеств: $x \ge 2,2$ и $x \ge 3,5$. Общим решением является неравенство $x \ge 3,5$.

Таким образом, выражение имеет смысл при $x \in [3,5; +\infty)$.

Ответ: $x \in [3,5; +\infty)$.

2)

Выражение $\sqrt{3x + 5} + \frac{1}{\sqrt{8 - 5x}}$ имеет смысл, если одновременно выполняются два условия:

1. Подкоренное выражение в первом слагаемом неотрицательно: $3x + 5 \ge 0$.

2. Подкоренное выражение в знаменателе дроби строго положительно, так как на ноль делить нельзя, а корень из отрицательного числа не извлекается: $8 - 5x > 0$.

Составим и решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3x + 5 \ge 0 \\ 8 - 5x > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1) $3x + 5 \ge 0 \implies 3x \ge -5 \implies x \ge -\frac{5}{3}$

2) $8 - 5x > 0 \implies 8 > 5x \implies \frac{8}{5} > x \implies x < 1,6$

Найдем пересечение решений: $x \ge -\frac{5}{3}$ и $x < \frac{8}{5}$.

Таким образом, выражение имеет смысл при $x \in [-\frac{5}{3}; \frac{8}{5})$.

Ответ: $x \in [-\frac{5}{3}; \frac{8}{5})$.

3)

Выражение $\sqrt{3x - 8} + \sqrt{1 - x}$ имеет смысл, если оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3x - 8 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1) $3x - 8 \ge 0 \implies 3x \ge 8 \implies x \ge \frac{8}{3}$

2) $1 - x \ge 0 \implies 1 \ge x \implies x \le 1$

Необходимо найти значения $x$, которые одновременно удовлетворяют двум условиям: $x \ge \frac{8}{3}$ и $x \le 1$.

Поскольку $\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$, а $2\frac{2}{3} > 1$, то не существует такого действительного числа $x$, которое было бы одновременно больше или равно $\frac{8}{3}$ и меньше или равно $1$. Пересечение этих множеств пусто.

Следовательно, данное выражение не имеет смысла ни при каких действительных значениях переменной $x$.

Ответ: таких значений $x$ не существует.