Номер 46, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

46. Сколько целых решений имеет система неравенств:

1) $\begin{cases} 5x - 13 < 2x + 7, \\ 4 - x > 6 - 3x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4x + 17 \geq x - 4, \\ 3x + 2 \geq 7x + 18; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{7x + 1}{2} + 3 \geq 4x, \\ (x + 5)(x - 3) \geq (x - 1)(x - 2) + 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 7x - 2 > x + 20, \\ 6x - 1 \leq 4x + 7? \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 5x - 13 < 2x + 7 \\ 4 - x > 6 - 3x \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$5x - 13 < 2x + 7$

$5x - 2x < 7 + 13$

$3x < 20$

$x < \frac{20}{3}$

$x < 6\frac{2}{3}$

Решаем второе неравенство:

$4 - x > 6 - 3x$

$3x - x > 6 - 4$

$2x > 2$

$x > 1$

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $1 < x < 6\frac{2}{3}$.

Целые числа, принадлежащие этому промежутку: 2, 3, 4, 5, 6.

Всего 5 целых решений.

Ответ: 5

2)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 4x + 17 \ge x - 4 \\ 3x + 2 \ge 7x + 18 \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$4x + 17 \ge x - 4$

$4x - x \ge -4 - 17$

$3x \ge -21$

$x \ge -7$

Решаем второе неравенство:

$3x + 2 \ge 7x + 18$

$2 - 18 \ge 7x - 3x$

$-16 \ge 4x$

$x \le -4$

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $-7 \le x \le -4$.

Целые числа, принадлежащие этому промежутку: -7, -6, -5, -4.

Всего 4 целых решения.

Ответ: 4

3)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{7x+1}{2} + 3 \ge 4x \\ (x+5)(x-3) \ge (x-1)(x-2)+3 \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$\frac{7x+1}{2} + 3 \ge 4x$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$7x + 1 + 6 \ge 8x$

$7x + 7 \ge 8x$

$7 \ge 8x - 7x$

$x \le 7$

Решаем второе неравенство:

$(x+5)(x-3) \ge (x-1)(x-2)+3$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$x^2 - 3x + 5x - 15 \ge x^2 - 2x - x + 2 + 3$

$x^2 + 2x - 15 \ge x^2 - 3x + 5$

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую:

$2x + 3x \ge 5 + 15$

$5x \ge 20$

$x \ge 4$

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $4 \le x \le 7$.

Целые числа, принадлежащие этому промежутку: 4, 5, 6, 7.

Всего 4 целых решения.

Ответ: 4

4)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 7x - 2 > x + 20 \\ 6x - 1 \le 4x + 7 \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$7x - 2 > x + 20$

$7x - x > 20 + 2$

$6x > 22$

$x > \frac{22}{6}$

$x > \frac{11}{3}$

$x > 3\frac{2}{3}$

Решаем второе неравенство:

$6x - 1 \le 4x + 7$

$6x - 4x \le 7 + 1$

$2x \le 8$

$x \le 4$

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $3\frac{2}{3} < x \le 4$.

Единственное целое число, принадлежащее этому промежутку: 4.

Всего 1 целое решение.

Ответ: 1