Страница 80 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

44. Изобразите на координатной прямой и запишите пересечение промежутков:

1) $(0; 5)$ и $[-2; 3)$;

2) $[3; 6]$ и $(3; 6)$;

3) $(-\infty; 2)$ и $[0; +\infty)$;

4) $(-\infty; -2.8)$ и $[-2.8; +\infty)$;

5) $[6; +\infty)$ и $(6; +\infty)$;

6) $(3; +\infty)$ и $(3.1; +\infty)$.

1) $(0; 5)$ и $[-2; 3]$

Изобразим данные промежутки на координатной прямой. Промежуток $(0; 5)$ представляет собой все числа, строго большие 0 и строго меньшие 5. На прямой он обозначается интервалом с выколотыми (пустыми) точками на концах. Промежуток $[-2; 3]$ включает все числа от -2 до 3, включая концы. На прямой он обозначается отрезком с закрашенными (сплошными) точками.

Пересечением двух промежутков является их общая часть. На изображении видно, что промежутки перекрываются на участке от 0 до 3. Точка 0 не принадлежит первому промежутку $(0; 5)$, поэтому она не входит в пересечение. Точка 3 принадлежит обоим промежуткам, поэтому она входит в пересечение. Таким образом, пересечение есть полуинтервал $(0; 3]$.

Ответ: $(0; 3]$.

2) $[3; 6]$ и $(3; 6)$

Промежуток $[3; 6]$ — это отрезок, включающий концы 3 и 6. Промежуток $(3; 6)$ — это интервал, не включающий свои концы 3 и 6. Изобразим их на координатной прямой.

Общей частью этих двух промежутков являются все числа, которые строго больше 3 и строго меньше 6. Концевые точки 3 и 6 не входят в интервал $(3; 6)$, поэтому они не могут входить и в их пересечение.

Ответ: $(3; 6)$.

3) $(-\infty; 2)$ и $[0; +\infty)$

Промежуток $(-\infty; 2)$ — это луч, содержащий все числа, меньшие 2. Промежуток $[0; +\infty)$ — это луч, содержащий все числа, большие или равные 0. Изобразим их на координатной прямой.

Пересечение этих лучей — это множество чисел, которые одновременно больше или равны 0 и строго меньше 2. Точка 0 входит во второй промежуток и удовлетворяет условию первого ($0 < 2$), поэтому 0 входит в пересечение. Точка 2 не входит в первый промежуток, поэтому не входит в пересечение.

Ответ: $[0; 2)$.

4) $(-\infty; -2,8)$ и $[-2,8; +\infty)$

Первый промежуток $(-\infty; -2,8)$ — это все числа, строго меньшие -2,8. Второй промежуток $[-2,8; +\infty)$ — это все числа, большие или равные -2,8. Изобразим их на координатной прямой.

Как видно из изображения, у этих двух промежутков нет общих точек. Одно множество заканчивается там, где начинается другое. Точка -2,8 принадлежит второму множеству, но не принадлежит первому. Следовательно, их пересечение пусто.

Ответ: $\emptyset$.

5) $[6; +\infty)$ и $(6; +\infty)$

Промежуток $[6; +\infty)$ включает все числа, большие или равные 6. Промежуток $(6; +\infty)$ включает все числа, строго большие 6. Изобразим их на координатной прямой.

Общей частью этих двух промежутков являются все числа, которые строго больше 6. Число 6 входит в первый промежуток, но не входит во второй, поэтому в пересечение оно не попадает.

Ответ: $(6; +\infty)$.

6) $(3; +\infty)$ и $(3,1; +\infty)$

Первый промежуток $(3; +\infty)$ — это все числа, строго большие 3. Второй промежуток $(3,1; +\infty)$ — это все числа, строго большие 3,1. Изобразим их на координатной прямой.

Пересечением этих двух множеств будут числа, которые удовлетворяют обоим условиям: $x > 3$ и $x > 3,1$. Если число больше 3,1, оно автоматически больше 3. Таким образом, общее условие — это более строгое из двух, то есть $x > 3,1$.

Ответ: $(3,1; +\infty)$.

45. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} -3x > 9 \\ 4x < 1 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 7x - 3 \ge 2(x - 6) \\ x + 5 \ge 3x - 11 \end{cases}$

3) $\begin{cases} 0,2(x - 4) \le 0,3x + 2 \\ 3(x + 1) > x + 5 \end{cases}$

4) $\begin{cases} (x + 1)(x + 2) - (x - 1)(x + 1) < 4 \\ (x + 6)(x - 2) > x(x + 2) - 13 \end{cases}$

5) $\begin{cases} \frac{3x + 5}{4} < \frac{x + 1}{2} + 1 \\ \frac{x - 4}{2} > \frac{2 - x}{3} - 1 \end{cases}$

6) $\begin{cases} (3x + 1)^2 - 4x \ge (3x - 1)(3x + 1) + 6 \\ \frac{3x - 1}{2} - \frac{x}{4} \le 4 - x \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} -3x > 9 \\ 4x < 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$-3x > 9$
Разделим обе части на -3 и изменим знак неравенства на противоположный:
$x < -3$

Решим второе неравенство:
$4x < 1$
Разделим обе части на 4:
$x < \frac{1}{4}$

Найдем пересечение решений $x < -3$ и $x < \frac{1}{4}$. Общим решением является $x < -3$, так как любое число, меньшее -3, автоматически меньше $\frac{1}{4}$.

Ответ: $(-\infty; -3)$

2)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 7x-3 \ge 2(x-6) \\ x+5 \ge 3x-11 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$7x - 3 \ge 2x - 12$
$7x - 2x \ge -12 + 3$
$5x \ge -9$
$x \ge -\frac{9}{5}$

Решим второе неравенство:
$x + 5 \ge 3x - 11$
$5 + 11 \ge 3x - x$
$16 \ge 2x$
$8 \ge x$, или $x \le 8$

Найдем пересечение решений $x \ge -\frac{9}{5}$ и $x \le 8$. Общим решением является промежуток от $-\frac{9}{5}$ до 8, включая концы.

Ответ: $[-\frac{9}{5}; 8]$

3)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 0.2(x-4) \le 0.3x+2 \\ 3(x+1) > x+5 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$0.2(x-4) \le 0.3x+2$
$0.2x - 0.8 \le 0.3x + 2$
$-0.8 - 2 \le 0.3x - 0.2x$
$-2.8 \le 0.1x$
$-28 \le x$, или $x \ge -28$

Решим второе неравенство:
$3(x+1) > x+5$
$3x + 3 > x+5$
$3x - x > 5-3$
$2x > 2$
$x > 1$

Найдем пересечение решений $x \ge -28$ и $x > 1$. Общим решением является $x > 1$.

Ответ: $(1; +\infty)$

4)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} (x+1)(x+2)-(x-1)(x+1) < 4 \\ (x+6)(x-2) > x(x+2)-13 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$(x+1)(x+2)-(x-1)(x+1) < 4$
Раскроем скобки: $(x^2+2x+x+2) - (x^2-1) < 4$
$x^2+3x+2 - x^2+1 < 4$
$3x+3 < 4$
$3x < 1$
$x < \frac{1}{3}$

Решим второе неравенство:
$(x+6)(x-2) > x(x+2)-13$
Раскроем скобки: $x^2-2x+6x-12 > x^2+2x-13$
$x^2+4x-12 > x^2+2x-13$
$4x-12 > 2x-13$
$4x-2x > -13+12$
$2x > -1$
$x > -\frac{1}{2}$

Найдем пересечение решений $x < \frac{1}{3}$ и $x > -\frac{1}{2}$. Общим решением является интервал $(-\frac{1}{2}; \frac{1}{3})$.

Ответ: $(-\frac{1}{2}; \frac{1}{3})$

5)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} \frac{3x+5}{4} < \frac{x+1}{2} + 1 \\ \frac{x-4}{2} > \frac{2-x}{3} - 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство, умножив обе части на 4:
$3x+5 < 2(x+1) + 4$
$3x+5 < 2x+2+4$
$3x+5 < 2x+6$
$3x-2x < 6-5$
$x < 1$

Решим второе неравенство, умножив обе части на 6:
$3(x-4) > 2(2-x) - 6$
$3x-12 > 4-2x-6$
$3x-12 > -2-2x$
$3x+2x > 12-2$
$5x > 10$
$x > 2$

Найдем пересечение решений $x < 1$ и $x > 2$. Так как нет чисел, которые одновременно меньше 1 и больше 2, система не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений)

6)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} (3x+1)^2 - 4x \ge (3x-1)(3x+1) + 6 \\ \frac{3x-1}{2} - \frac{x}{4} \le 4-x \end{cases}$

Решим первое неравенство, используя формулы сокращенного умножения:
$(9x^2+6x+1) - 4x \ge (9x^2-1) + 6$
$9x^2+2x+1 \ge 9x^2+5$
$2x+1 \ge 5$
$2x \ge 4$
$x \ge 2$

Решим второе неравенство, умножив обе части на 4:
$2(3x-1) - x \le 4(4-x)$
$6x-2-x \le 16-4x$
$5x-2 \le 16-4x$
$5x+4x \le 16+2$
$9x \le 18$
$x \le 2$

Найдем пересечение решений $x \ge 2$ и $x \le 2$. Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x=2$.

Ответ: $\{2\}$

46. Сколько целых решений имеет система неравенств:

1) $\begin{cases} 5x - 13 < 2x + 7, \\ 4 - x > 6 - 3x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4x + 17 \geq x - 4, \\ 3x + 2 \geq 7x + 18; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{7x + 1}{2} + 3 \geq 4x, \\ (x + 5)(x - 3) \geq (x - 1)(x - 2) + 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 7x - 2 > x + 20, \\ 6x - 1 \leq 4x + 7? \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 5x - 13 < 2x + 7 \\ 4 - x > 6 - 3x \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$5x - 13 < 2x + 7$

$5x - 2x < 7 + 13$

$3x < 20$

$x < \frac{20}{3}$

$x < 6\frac{2}{3}$

Решаем второе неравенство:

$4 - x > 6 - 3x$

$3x - x > 6 - 4$

$2x > 2$

$x > 1$

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $1 < x < 6\frac{2}{3}$.

Целые числа, принадлежащие этому промежутку: 2, 3, 4, 5, 6.

Всего 5 целых решений.

Ответ: 5

2)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 4x + 17 \ge x - 4 \\ 3x + 2 \ge 7x + 18 \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$4x + 17 \ge x - 4$

$4x - x \ge -4 - 17$

$3x \ge -21$

$x \ge -7$

Решаем второе неравенство:

$3x + 2 \ge 7x + 18$

$2 - 18 \ge 7x - 3x$

$-16 \ge 4x$

$x \le -4$

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $-7 \le x \le -4$.

Целые числа, принадлежащие этому промежутку: -7, -6, -5, -4.

Всего 4 целых решения.

Ответ: 4

3)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{7x+1}{2} + 3 \ge 4x \\ (x+5)(x-3) \ge (x-1)(x-2)+3 \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$\frac{7x+1}{2} + 3 \ge 4x$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$7x + 1 + 6 \ge 8x$

$7x + 7 \ge 8x$

$7 \ge 8x - 7x$

$x \le 7$

Решаем второе неравенство:

$(x+5)(x-3) \ge (x-1)(x-2)+3$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$x^2 - 3x + 5x - 15 \ge x^2 - 2x - x + 2 + 3$

$x^2 + 2x - 15 \ge x^2 - 3x + 5$

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую:

$2x + 3x \ge 5 + 15$

$5x \ge 20$

$x \ge 4$

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $4 \le x \le 7$.

Целые числа, принадлежащие этому промежутку: 4, 5, 6, 7.

Всего 4 целых решения.

Ответ: 4

4)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 7x - 2 > x + 20 \\ 6x - 1 \le 4x + 7 \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$7x - 2 > x + 20$

$7x - x > 20 + 2$

$6x > 22$

$x > \frac{22}{6}$

$x > \frac{11}{3}$

$x > 3\frac{2}{3}$

Решаем второе неравенство:

$6x - 1 \le 4x + 7$

$6x - 4x \le 7 + 1$

$2x \le 8$

$x \le 4$

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $3\frac{2}{3} < x \le 4$.

Единственное целое число, принадлежащее этому промежутку: 4.

Всего 1 целое решение.

Ответ: 1