Страница 79 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

35. При каких значениях $b$ имеет положительный корень

уравнение:

1) $4x + 5 = 3b;$

2) $(b + 5)x = 2?$

1) Чтобы найти значения $b$, при которых уравнение $4x + 5 = 3b$ имеет положительный корень, сначала выразим $x$ через $b$.
Перенесем 5 в правую часть уравнения:
$4x = 3b - 5$
Разделим обе части на 4:
$x = \frac{3b - 5}{4}$
По условию, корень $x$ должен быть положительным, то есть $x > 0$.
Составим и решим неравенство:
$\frac{3b - 5}{4} > 0$
Умножим обе части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знак неравенства не изменится:
$3b - 5 > 0$
$3b > 5$
$b > \frac{5}{3}$
Следовательно, уравнение имеет положительный корень при всех значениях $b$, больших $\frac{5}{3}$.
Ответ: $b > \frac{5}{3}$.

2) Рассмотрим уравнение $(b + 5)x = 2$.
Чтобы найти корень уравнения, нужно разделить обе части на $(b+5)$. Это возможно только в том случае, если $b + 5 \neq 0$, то есть $b \neq -5$. Если $b = -5$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 2$, что не имеет решений.
Итак, при $b \neq -5$ выразим $x$:
$x = \frac{2}{b + 5}$
По условию корень $x$ должен быть положительным: $x > 0$.
Составим неравенство:
$\frac{2}{b + 5} > 0$
Дробь положительна, когда ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Числитель 2 — положительное число. Следовательно, знаменатель также должен быть положительным:
$b + 5 > 0$
$b > -5$
Это условие не противоречит ограничению $b \neq -5$. Таким образом, уравнение имеет положительный корень при всех значениях $b$, больших -5.
Ответ: $b > -5$.

36. При каких значениях $b$ имеет единственный отрицательный корень уравнение:

1) $(b+4)x = b^2 - 16;$

2) $(3b^2 - 8b)x = b?$

1) $(b + 4)x = b^2 - 16$

Данное уравнение является линейным уравнением вида $Ax = B$, где коэффициент $A = b + 4$ и свободный член $B = b^2 - 16$.

Для того чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы коэффициент при $x$ не был равен нулю:

$A \neq 0 \Rightarrow b + 4 \neq 0 \Rightarrow b \neq -4$.

Если $b = -4$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = (-4)^2 - 16$, то есть $0 \cdot x = 0$. В этом случае корнем уравнения является любое действительное число, что противоречит условию о единственном корне.

При условии $b \neq -4$, мы можем найти корень уравнения, разделив обе части на $(b + 4)$:

$x = \frac{b^2 - 16}{b + 4}$

Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, упростим выражение:

$x = \frac{(b - 4)(b + 4)}{b + 4} = b - 4$

Согласно условию задачи, этот единственный корень должен быть отрицательным, то есть $x < 0$.

$b - 4 < 0$

$b < 4$

Теперь необходимо объединить все найденные условия для $b$: корень является единственным при $b \neq -4$ и отрицательным при $b < 4$. Следовательно, $b$ должно удовлетворять обоим этим условиям.

Ответ: $b \in (-\infty; -4) \cup (-4; 4)$.

2) $(3b^2 - 8b)x = b$

Это линейное уравнение вида $Ax = B$, где $A = 3b^2 - 8b$ и $B = b$.

Уравнение имеет единственный корень, если коэффициент при $x$ не равен нулю:

$A \neq 0 \Rightarrow 3b^2 - 8b \neq 0$

Вынесем $b$ за скобки:

$b(3b - 8) \neq 0$

Это неравенство выполняется, если $b \neq 0$ и $3b - 8 \neq 0$, то есть $b \neq \frac{8}{3}$.

Рассмотрим случаи, когда коэффициент $A$ равен нулю:

• Если $b = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Корнем является любое число, что не удовлетворяет условию единственности.
• Если $b = \frac{8}{3}$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = \frac{8}{3}$. Это уравнение не имеет корней.

При $b \neq 0$ и $b \neq \frac{8}{3}$ найдем единственный корень уравнения:

$x = \frac{b}{3b^2 - 8b} = \frac{b}{b(3b - 8)}$

Поскольку $b \neq 0$, мы можем сократить дробь на $b$:

$x = \frac{1}{3b - 8}$

По условию задачи, корень должен быть отрицательным: $x < 0$.

$\frac{1}{3b - 8} < 0$

Дробь с положительным числителем (1) будет отрицательной только в том случае, если ее знаменатель отрицателен.

$3b - 8 < 0$

$3b < 8$

$b < \frac{8}{3}$

Объединим все условия для $b$: корень единственен при $b \neq 0$ и $b \neq \frac{8}{3}$, и он отрицателен при $b < \frac{8}{3}$. Условие $b < \frac{8}{3}$ автоматически исключает значение $b = \frac{8}{3}$. Таким образом, мы должны учесть только $b < \frac{8}{3}$ и $b \neq 0$.

Ответ: $b \in (-\infty; 0) \cup (0; 8/3)$.

37. При каких значениях $a$ не имеет корней уравнение:

1) $x^2 - 8x - 3a = 0;$

2) $(a+2)x^2 - 2(a-4)x + a+1 = 0;$

3) $(a+1)x^2 - (2a+5)x + a+3 = 0?$

1) $x^2 - 8x - 3a = 0$
Данное уравнение является квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен ($D < 0$).
Коэффициенты уравнения: $A=1$, $B=-8$, $C=-3a$.
Найдем дискриминант:
$D = B^2 - 4AC = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3a) = 64 + 12a$
Теперь решим неравенство $D < 0$:
$64 + 12a < 0$
$12a < -64$
$a < -\frac{64}{12}$
$a < -\frac{16}{3}$
Таким образом, уравнение не имеет корней при $a < -16/3$.
Ответ: $a \in (-\infty; -16/3)$.

2) $(a + 2)x^2 - 2(a - 4)x + a + 1 = 0$
Это уравнение с параметром, которое может быть как квадратным, так и линейным.
Случай 1: Уравнение является квадратным.
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю: $a + 2 \neq 0$, то есть $a \neq -2$.
В этом случае уравнение не имеет корней, если его дискриминант $D < 0$. Так как коэффициент при $x$ четный, удобнее использовать $D/4 = (B/2)^2 - AC$.
$A = a+2$, $B/2 = -(a-4)$, $C = a+1$.
$D/4 = (-(a-4))^2 - (a+2)(a+1) = (a^2 - 8a + 16) - (a^2 + a + 2a + 2)$
$D/4 = a^2 - 8a + 16 - a^2 - 3a - 2 = 14 - 11a$
Решим неравенство $D/4 < 0$:
$14 - 11a < 0$
$14 < 11a$
$a > \frac{14}{11}$
Это решение удовлетворяет условию $a \neq -2$.
Случай 2: Уравнение является линейным.
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $a + 2 = 0$, то есть $a = -2$.
Подставим $a = -2$ в исходное уравнение:
$(-2 + 2)x^2 - 2(-2 - 4)x + (-2 + 1) = 0$
$0 \cdot x^2 - 2(-6)x - 1 = 0$
$12x - 1 = 0$
Это линейное уравнение имеет один корень $x = 1/12$. Следовательно, при $a=-2$ у уравнения есть корень.
Объединяя результаты, получаем, что исходное уравнение не имеет корней только при $a > 14/11$.
Ответ: $a \in (14/11; +\infty)$.

3) $(a + 1)x^2 - (2a + 5)x + a + 3 = 0$
Рассмотрим два случая.
Случай 1: Уравнение является квадратным.
Это происходит при $a + 1 \neq 0$, то есть $a \neq -1$.
Уравнение не имеет корней, если дискриминант $D < 0$.
$A = a+1$, $B = -(2a+5)$, $C = a+3$.
$D = B^2 - 4AC = (-(2a+5))^2 - 4(a+1)(a+3)$
$D = (4a^2 + 20a + 25) - 4(a^2 + 4a + 3)$
$D = 4a^2 + 20a + 25 - 4a^2 - 16a - 12 = 4a + 13$
Решим неравенство $D < 0$:
$4a + 13 < 0$
$4a < -13$
$a < -\frac{13}{4}$
Это решение ($a < -3.25$) удовлетворяет условию $a \neq -1$.
Случай 2: Уравнение является линейным.
Это происходит при $a + 1 = 0$, то есть $a = -1$.
Подставим $a = -1$ в исходное уравнение:
$(-1 + 1)x^2 - (2(-1) + 5)x + (-1 + 3) = 0$
$0 \cdot x^2 - (-2 + 5)x + 2 = 0$
$-3x + 2 = 0$
Это линейное уравнение имеет один корень $x = 2/3$. Следовательно, при $a=-1$ у уравнения есть корень.
Объединяя результаты, получаем, что исходное уравнение не имеет корней только при $a < -13/4$.
Ответ: $a \in (-\infty; -13/4)$.

38. Для каждого значения a решите неравенство:

1) $(a-1)x > 0;$

2) $(a-1)x < 2;$

3) $(a-1)x \geq a-1;$

4) $(a-1)^2x \leq 0;$

5) $a-2x < 1+ax;$

6) $2(a-2x) < 8-ax;$

7) $(a-4)x > a^2-16;$

8) $(a+4)x \leq a^2-16.$

1) Решим неравенство $(a-1)x > 0$.

Это линейное неравенство относительно $x$. Его решение зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от знака выражения $(a-1)$.

1. Если $a-1 > 0$, то есть $a > 1$. Делим обе части неравенства на положительное число $(a-1)$, знак неравенства не меняется:$x > \frac{0}{a-1}$$x > 0$

2. Если $a-1 < 0$, то есть $a < 1$. Делим обе части неравенства на отрицательное число $(a-1)$, знак неравенства меняется на противоположный:$x < \frac{0}{a-1}$$x < 0$

3. Если $a-1 = 0$, то есть $a = 1$. Неравенство принимает вид:$0 \cdot x > 0$$0 > 0$Это неверное числовое неравенство, поэтому при $a=1$ решений нет.

Ответ: если $a > 1$, то $x \in (0; +\infty)$; если $a < 1$, то $x \in (-\infty; 0)$; если $a = 1$, то решений нет ($x \in \emptyset$).

2) Решим неравенство $(a-1)x < 2$.

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим три случая для коэффициента $(a-1)$.

1. Если $a-1 > 0$, то есть $a > 1$. Делим на положительное число $(a-1)$:$x < \frac{2}{a-1}$

2. Если $a-1 < 0$, то есть $a < 1$. Делим на отрицательное число $(a-1)$ и меняем знак неравенства:$x > \frac{2}{a-1}$

3. Если $a-1 = 0$, то есть $a = 1$. Неравенство принимает вид:$0 \cdot x < 2$$0 < 2$Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Ответ: если $a > 1$, то $x \in (-\infty; \frac{2}{a-1})$; если $a < 1$, то $x \in (\frac{2}{a-1}; +\infty)$; если $a = 1$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

3) Решим неравенство $(a-1)x \ge a-1$.

Рассмотрим три случая для коэффициента $(a-1)$.

1. Если $a-1 > 0$, то есть $a > 1$. Делим на положительное число $(a-1)$:$x \ge \frac{a-1}{a-1}$$x \ge 1$

2. Если $a-1 < 0$, то есть $a < 1$. Делим на отрицательное число $(a-1)$ и меняем знак неравенства:$x \le \frac{a-1}{a-1}$$x \le 1$

3. Если $a-1 = 0$, то есть $a = 1$. Неравенство принимает вид:$0 \cdot x \ge 0$$0 \ge 0$Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Ответ: если $a > 1$, то $x \in [1; +\infty)$; если $a < 1$, то $x \in (-\infty; 1]$; если $a = 1$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

4) Решим неравенство $(a-1)^2 x \le 0$.

Коэффициент при $x$ равен $(a-1)^2$. Так как это квадрат выражения, он не может быть отрицательным.

1. Если $(a-1)^2 > 0$, то есть $a-1 \ne 0$, что означает $a \ne 1$. Делим обе части неравенства на положительное число $(a-1)^2$:$x \le \frac{0}{(a-1)^2}$$x \le 0$

2. Если $(a-1)^2 = 0$, то есть $a = 1$. Неравенство принимает вид:$0 \cdot x \le 0$$0 \le 0$Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Ответ: если $a \ne 1$, то $x \in (-\infty; 0]$; если $a = 1$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

5) Решим неравенство $a - 2x < 1 + ax$.

Сначала преобразуем неравенство, сгруппировав члены с $x$ в одной части, а свободные члены — в другой.$a - 1 < ax + 2x$$a - 1 < (a+2)x$

Рассмотрим три случая для коэффициента $(a+2)$.

1. Если $a+2 > 0$, то есть $a > -2$. Делим на положительное число $(a+2)$:$\frac{a-1}{a+2} < x$, или $x > \frac{a-1}{a+2}$

2. Если $a+2 < 0$, то есть $a < -2$. Делим на отрицательное число $(a+2)$ и меняем знак неравенства:$\frac{a-1}{a+2} > x$, или $x < \frac{a-1}{a+2}$

3. Если $a+2 = 0$, то есть $a = -2$. Неравенство принимает вид:$-2 - 1 < (-2+2)x$$-3 < 0 \cdot x$$-3 < 0$Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Ответ: если $a > -2$, то $x \in (\frac{a-1}{a+2}; +\infty)$; если $a < -2$, то $x \in (-\infty; \frac{a-1}{a+2})$; если $a = -2$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

6) Решим неравенство $2(a - 2x) < 8 - ax$.

Преобразуем неравенство:$2a - 4x < 8 - ax$$ax - 4x < 8 - 2a$$(a-4)x < 2(4-a)$$(a-4)x < -2(a-4)$

Рассмотрим три случая для коэффициента $(a-4)$.

1. Если $a-4 > 0$, то есть $a > 4$. Делим на положительное число $(a-4)$:$x < \frac{-2(a-4)}{a-4}$$x < -2$

2. Если $a-4 < 0$, то есть $a < 4$. Делим на отрицательное число $(a-4)$ и меняем знак неравенства:$x > \frac{-2(a-4)}{a-4}$$x > -2$

3. Если $a-4 = 0$, то есть $a = 4$. Неравенство принимает вид:$0 \cdot x < -2(0)$$0 < 0$Это неверное числовое неравенство, поэтому решений нет.

Ответ: если $a > 4$, то $x \in (-\infty; -2)$; если $a < 4$, то $x \in (-2; +\infty)$; если $a = 4$, то решений нет ($x \in \emptyset$).

7) Решим неравенство $(a-4)x > a^2 - 16$.

Разложим правую часть на множители:$(a-4)x > (a-4)(a+4)$

Рассмотрим три случая для коэффициента $(a-4)$.

1. Если $a-4 > 0$, то есть $a > 4$. Делим на положительное число $(a-4)$:$x > \frac{(a-4)(a+4)}{a-4}$$x > a+4$

2. Если $a-4 < 0$, то есть $a < 4$. Делим на отрицательное число $(a-4)$ и меняем знак неравенства:$x < \frac{(a-4)(a+4)}{a-4}$$x < a+4$

3. Если $a-4 = 0$, то есть $a = 4$. Неравенство принимает вид:$0 \cdot x > (4-4)(4+4)$$0 > 0 \cdot 8$$0 > 0$Это неверное числовое неравенство, поэтому решений нет.

Ответ: если $a > 4$, то $x \in (a+4; +\infty)$; если $a < 4$, то $x \in (-\infty; a+4)$; если $a = 4$, то решений нет ($x \in \emptyset$).

8) Решим неравенство $(a+4)x \le a^2 - 16$.

Разложим правую часть на множители:$(a+4)x \le (a-4)(a+4)$

Рассмотрим три случая для коэффициента $(a+4)$.

1. Если $a+4 > 0$, то есть $a > -4$. Делим на положительное число $(a+4)$:$x \le \frac{(a-4)(a+4)}{a+4}$$x \le a-4$

2. Если $a+4 < 0$, то есть $a < -4$. Делим на отрицательное число $(a+4)$ и меняем знак неравенства:$x \ge \frac{(a-4)(a+4)}{a+4}$$x \ge a-4$

3. Если $a+4 = 0$, то есть $a = -4$. Неравенство принимает вид:$0 \cdot x \le (-4-4)(-4+4)$$0 \le -8 \cdot 0$$0 \le 0$Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Ответ: если $a > -4$, то $x \in (-\infty; a-4]$; если $a < -4$, то $x \in [a-4; +\infty)$; если $a = -4$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

39. Среди чисел –3; 2,5; 6 укажите решения системы неравенств:

1) $ \begin{cases} x > -5, \\ x < 9; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 4x - 5 > 2x + 5, \\ 5x - 1 > 3 - x. \end{cases} $

Для решения задачи необходимо подставить каждое из чисел -3; 2,5; 6 в системы неравенств и проверить, выполняются ли они.

1)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x > -5, \\ x < 9; \end{cases} $

Решением этой системы являются все числа, которые одновременно больше -5 и меньше 9, то есть числа из интервала $(-5; 9)$.

Проверим каждое из предложенных чисел:

• Для $x = -3$:
  $-3 > -5$ (верно)
  $-3 < 9$ (верно)
  Оба неравенства выполняются, следовательно, число -3 является решением системы.

• Для $x = 2,5$:
  $2,5 > -5$ (верно)
  $2,5 < 9$ (верно)
  Оба неравенства выполняются, следовательно, число 2,5 является решением системы.

• Для $x = 6$:
  $6 > -5$ (верно)
  $6 < 9$ (верно)
  Оба неравенства выполняются, следовательно, число 6 является решением системы.

Ответ: -3; 2,5; 6.

2)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} 4x - 5 > 2x + 5, \\ 5x - 1 > 3 - x. \end{cases} $

Сначала упростим каждое неравенство, чтобы найти общее решение системы.

Решим первое неравенство:

$4x - 5 > 2x + 5$

$4x - 2x > 5 + 5$

$2x > 10$

$x > 5$

Решим второе неравенство:

$5x - 1 > 3 - x$

$5x + x > 3 + 1$

$6x > 4$

$x > \frac{4}{6}$

$x > \frac{2}{3}$

Решением системы является пересечение множеств решений $x > 5$ и $x > \frac{2}{3}$. Общим решением является $x > 5$, то есть интервал $(5; +\infty)$.

Проверим, какие из предложенных чисел попадают в этот интервал:

• Для $x = -3$:
  $-3 > 5$ (неверно)
  Число -3 не является решением системы.

• Для $x = 2,5$:
  $2,5 > 5$ (неверно)
  Число 2,5 не является решением системы.

• Для $x = 6$:
  $6 > 5$ (верно)
  Число 6 является решением системы.

Ответ: 6.

40. Изобразите на координатной прямой промежуток:

1) $(-2; 1);$

2) $[-2; 1];$

3) $[-2; 1);$

4) $(-2; 1].$

1) Промежуток $(-2; 1)$ — это открытый интервал. Он включает в себя все действительные числа, которые строго больше -2 и строго меньше 1. В виде неравенства это записывается как $-2 < x < 1$. На координатной прямой концы интервала, точки -2 и 1, не включаются в промежуток и изображаются пустыми ("выколотыми") точками. Область между этими точками штрихуется.

Ответ: Изображение координатной прямой с выколотыми точками -2 и 1 и заштрихованным промежутком между ними.

2) Промежуток $[-2; 1]$ — это замкнутый интервал или отрезок. Он включает в себя все действительные числа, которые больше или равны -2 и меньше или равны 1. В виде неравенства это записывается как $-2 \le x \le 1$. На координатной прямой концы отрезка, точки -2 и 1, включаются в промежуток и изображаются закрашенными точками. Область между этими точками штрихуется.

Ответ: Изображение координатной прямой с закрашенными точками -2 и 1 и заштрихованным промежутком между ними.

3) Промежуток $[-2; 1)$ — это полуинтервал. Он включает в себя все действительные числа, которые больше или равны -2 и строго меньше 1. В виде неравенства это записывается как $-2 \le x < 1$. На координатной прямой точка -2 включается в промежуток и изображается закрашенной, а точка 1 не включается и изображается выколотой. Область между этими точками штрихуется.

Ответ: Изображение координатной прямой с закрашенной точкой -2, выколотой точкой 1 и заштрихованным промежутком между ними.

4) Промежуток $(-2; 1]$ — это полуинтервал. Он включает в себя все действительные числа, которые строго больше -2 и меньше или равны 1. В виде неравенства это записывается как $-2 < x \le 1$. На координатной прямой точка -2 не включается в промежуток и изображается выколотой, а точка 1 включается и изображается закрашенной. Область между этими точками штрихуется.

Ответ: Изображение координатной прямой с выколотой точкой -2, закрашенной точкой 1 и заштрихованным промежутком между ними.

41. Изобразите на координатной прямой и запишите промежуток, который задается неравенством:

1) $ -3 < x < 4; $

2) $ -\frac{2}{3} \le x \le 2\frac{1}{4}; $

3) $ -2,5 \le x < 3,8; $

4) $ -1,5 < x \le 2,3. $

1) Неравенство $ -3 < x < 4 $ задает числовой промежуток, который включает все числа, большие -3 и одновременно меньшие 4.

На координатной прямой этот промежуток изображается штриховкой между точками -3 и 4. Так как неравенство строгое (знаки $<$), то концы промежутка, числа -3 и 4, не включаются в него. На прямой они обозначаются выколотыми (пустыми) точками.

Этот промежуток является открытым интервалом и записывается с помощью круглых скобок.

Ответ: $(-3; 4)$.

2) Неравенство $ -\frac{2}{3} \le x \le 2\frac{1}{4} $ задает числовой промежуток, который включает все числа, большие или равные $-\frac{2}{3}$ и одновременно меньшие или равные $2\frac{1}{4}$.

На координатной прямой этот промежуток изображается штриховкой между точками $-\frac{2}{3}$ и $2\frac{1}{4}$. Так как неравенство нестрогое (знаки $\le$), то концы промежутка, числа $-\frac{2}{3}$ и $2\frac{1}{4}$, включаются в него. На прямой они обозначаются закрашенными (сплошными) точками.

Этот промежуток является отрезком (замкнутым интервалом) и записывается с помощью квадратных скобок.

Ответ: $[-\frac{2}{3}; 2\frac{1}{4}]$.

3) Неравенство $ -2,5 \le x < 3,8 $ задает числовой промежуток, который включает все числа, большие или равные -2,5 и одновременно меньшие 3,8.

На координатной прямой этот промежуток изображается штриховкой между точками -2,5 и 3,8. Так как левая часть неравенства нестрогая ($\le$), то число -2,5 включается в промежуток и обозначается закрашенной точкой. Правая часть неравенства строгая ($<$), поэтому число 3,8 не включается в промежуток и обозначается выколотой точкой.

Этот промежуток является полуинтервалом, замкнутым слева и открытым справа. Он записывается с помощью квадратной скобки слева и круглой справа.

Ответ: $[-2,5; 3,8)$.

4) Неравенство $ -1,5 < x \le 2,3 $ задает числовой промежуток, который включает все числа, большие -1,5 и одновременно меньшие или равные 2,3.

На координатной прямой этот промежуток изображается штриховкой между точками -1,5 и 2,3. Так как левая часть неравенства строгая ($<$), то число -1,5 не включается в промежуток и обозначается выколотой точкой. Правая часть неравенства нестрогая ($\le$), поэтому число 2,3 включается в промежуток и обозначается закрашенной точкой.

Этот промежуток является полуинтервалом, открытым слева и замкнутым справа. Он записывается с помощью круглой скобки слева и квадратной справа.

Ответ: $(-1,5; 2,3]$.

42. Запишите все целые числа, принадлежащие промежутку:

1) $$(2; 4]$$

2) $$[-5,4; -0,2)$$

3) $$[-2,8; 2,7]$$

4) $$(-2; 2)$$

1) (2; 4]

Данный промежуток является полуинтервалом. Он включает все числа $x$, удовлетворяющие неравенству $2 < x \le 4$. Круглая скобка означает, что число 2 не входит в промежуток, а квадратная — что число 4 входит. Нам нужно найти все целые числа, которые строго больше 2 и меньше или равны 4. Это числа 3 и 4.

Ответ: 3; 4.

2) [-5,4; -0,2]

Данный промежуток является отрезком, так как обе скобки квадратные. Он включает все числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-5,4 \le x \le -0,2$. Обе границы, -5,4 и -0,2, включаются в промежуток. Нам нужно найти все целые числа в этом диапазоне. Первое целое число, которое больше или равно -5,4, это -5. Следующие целые числа в порядке возрастания: -4, -3, -2, -1. Следующее целое число, 0, уже больше, чем -0,2, и не входит в промежуток. Таким образом, искомые целые числа: -5, -4, -3, -2, -1.

Ответ: -5; -4; -3; -2; -1.

3) [-2,8; 2,7]

Данный промежуток является отрезком. Он включает все числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-2,8 \le x \le 2,7$. Найдём все целые числа в этом диапазоне. Первое целое число, которое больше или равно -2,8, это -2. Далее по возрастанию идут -1, 0, 1, 2. Следующее целое число, 3, уже больше, чем 2,7, и не принадлежит промежутку. Следовательно, целые числа, принадлежащие данному промежутку, это -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: -2; -1; 0; 1; 2.

4) (-2; 2)

Данный промежуток является интервалом, так как обе скобки круглые. Он включает все числа $x$, удовлетворяющие строгому неравенству $-2 < x < 2$. Это означает, что концы промежутка, -2 и 2, не включаются. Целые числа, которые строго больше -2 и строго меньше 2, это -1, 0 и 1.

Ответ: -1; 0; 1.

43. Укажите наибольшее и наименьшее целые числа, принадлежащие промежутку:

1) $ (-7; 3] $;

2) $ [3; 8) $.

1) Рассмотрим промежуток $(-7; 3]$.

Запись $(-7; 3]$ означает, что мы ищем числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-7 < x \le 3$.

Круглая скобка `(` у числа $-7$ означает, что само число $-7$ не входит в промежуток (строгое неравенство).

Квадратная скобка `]` у числа $3$ означает, что число $3$ входит в промежуток (нестрогое неравенство).

Нам нужно найти целые числа в этом промежутке. Выпишем их: $-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$.

Из этого набора чисел самое маленькое (наименьшее) – это $-6$.

Самое большое (наибольшее) – это $3$.

Ответ: наименьшее целое число: $-6$; наибольшее целое число: $3$.

2) Рассмотрим промежуток $[3; 8)$.

Запись $[3; 8)$ означает, что мы ищем числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $3 \le x < 8$.

Квадратная скобка `[` у числа $3$ означает, что число $3$ входит в промежуток (нестрогое неравенство).

Круглая скобка `)` у числа $8$ означает, что само число $8$ не входит в промежуток (строгое неравенство).

Нам нужно найти целые числа в этом промежутке. Выпишем их: $3, 4, 5, 6, 7$.

Из этого набора чисел самое маленькое (наименьшее) – это $3$.

Самое большое (наибольшее) – это $7$.

Ответ: наименьшее целое число: $3$; наибольшее целое число: $7$.