Страница 72 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

225. Число 162 является членом геометрической прогрессии $\frac{2}{9}, \frac{2}{3}, 2, \dots$. Найдите номер этого члена.

Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$. Из условия задачи мы знаем первые члены прогрессии: $b_1 = \frac{2}{9}$, $b_2 = \frac{2}{3}$, $b_3 = 2$. Нам нужно найти номер $n$ члена прогрессии, который равен 162, то есть $b_n = 162$.

1. Найдём знаменатель геометрической прогрессии $q$.

Знаменатель прогрессии можно найти, разделив любой член прогрессии на предыдущий. Например, разделим второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2/3}{2/9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} = \frac{18}{6} = 3$.

2. Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Подставим в эту формулу известные нам значения: $b_n = 162$, $b_1 = \frac{2}{9}$ и $q = 3$.

$162 = \frac{2}{9} \cdot 3^{n-1}$

3. Решим полученное уравнение относительно $n$.

Выразим $3^{n-1}$ из уравнения. Для этого умножим обе части уравнения на $\frac{9}{2}$:

$162 \cdot \frac{9}{2} = 3^{n-1}$

$81 \cdot 9 = 3^{n-1}$

$729 = 3^{n-1}$

Теперь представим число 729 как степень с основанием 3. Известно, что $729 = 3^6$.

Подставим это значение в уравнение:

$3^6 = 3^{n-1}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$6 = n - 1$

Отсюда находим $n$:

$n = 6 + 1$

$n = 7$

Таким образом, число 162 является седьмым членом данной геометрической прогрессии.

Ответ: 7

226. Последовательность $(b_n)$ задана формулой $n$-го члена

$b_n = \frac{4^{n+2}}{5}$

Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? В случае утвердительного ответа укажите её первый член и знаменатель.

Для того чтобы определить, является ли последовательность $(b_n)$ геометрической прогрессией, необходимо проверить, является ли отношение последующего члена к предыдущему постоянной величиной. Эта величина, если она постоянна, и будет знаменателем прогрессии $q$.

Формула n-го члена последовательности: $b_n = \frac{4^{n+2}}{5}$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив в формулу $n+1$ вместо $n$:

$b_{n+1} = \frac{4^{(n+1)+2}}{5} = \frac{4^{n+3}}{5}$.

Теперь найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\frac{4^{n+3}}{5}}{\frac{4^{n+2}}{5}} = \frac{4^{n+3}}{5} \cdot \frac{5}{4^{n+2}} = \frac{4^{n+3}}{4^{n+2}}$

Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$, получаем:

$\frac{4^{n+3}}{4^{n+2}} = 4^{(n+3) - (n+2)} = 4^{n+3-n-2} = 4^1 = 4$.

Так как отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ равно постоянному числу 4 (не зависит от $n$), то данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 4$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив $n=1$ в исходную формулу:

$b_1 = \frac{4^{1+2}}{5} = \frac{4^3}{5} = \frac{64}{5} = 12.8$.

Ответ: Да, последовательность является геометрической прогрессией. Ее первый член $b_1 = \frac{64}{5}$ (или 12.8), а знаменатель $q = 4$.

227. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

1) $b_8 = 25b_6$ и $b_2 + b_4 = -520$;

2) $b_5 - b_2 = -54$ и $b_3 + b_4 + b_5 = -36$.

1)

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. По условию задачи имеем систему из двух уравнений:

$b_8 = 25b_6$

$b_2 + b_4 = -520$

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$.

Преобразуем первое уравнение, подставив в него формулу n-го члена:

$b_1 q^{8-1} = 25 \cdot (b_1 q^{6-1})$

$b_1 q^7 = 25 b_1 q^5$

Предположим, что $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$ (в противном случае второе условие $b_2 + b_4 = -520$ не могло бы выполняться). Тогда мы можем разделить обе части уравнения на $b_1 q^5$:

$q^2 = 25$

Из этого уравнения находим два возможных значения для знаменателя прогрессии: $q = 5$ или $q = -5$.

Теперь преобразуем второе уравнение системы:

$b_1 q^{2-1} + b_1 q^{4-1} = -520$

$b_1 q + b_1 q^3 = -520$

Вынесем $b_1 q$ за скобки:

$b_1 q(1 + q^2) = -520$

Отсюда можно выразить $b_1$: $b_1 = \frac{-520}{q(1 + q^2)}$.

Теперь найдем $b_1$ для каждого из найденных значений $q$.

Случай 1: $q = 5$.

$b_1 = \frac{-520}{5(1 + 5^2)} = \frac{-520}{5(1 + 25)} = \frac{-520}{5 \cdot 26} = \frac{-520}{130} = -4$.

Случай 2: $q = -5$.

$b_1 = \frac{-520}{-5(1 + (-5)^2)} = \frac{-520}{-5(1 + 25)} = \frac{-520}{-5 \cdot 26} = \frac{-520}{-130} = 4$.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две геометрические прогрессии.

Ответ: $b_1 = -4$, $q = 5$ или $b_1 = 4$, $q = -5$.

2)

По условию задачи имеем систему уравнений для геометрической прогрессии $(b_n)$:

$b_5 - b_2 = -54$

$b_3 + b_4 + b_5 = -36$

Запишем эту систему, используя формулу n-го члена $b_n = b_1 q^{n-1}$:

$\begin{cases} b_1 q^4 - b_1 q = -54 \\ b_1 q^2 + b_1 q^3 + b_1 q^4 = -36 \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} b_1 q (q^3 - 1) = -54 \\ b_1 q^2 (1 + q + q^2) = -36 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на второе (предполагая $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$):

$\frac{b_1 q (q^3 - 1)}{b_1 q^2 (1 + q + q^2)} = \frac{-54}{-36}$

Используем формулу разности кубов $q^3 - 1 = (q-1)(q^2+q+1)$ и сократим дробь в левой части:

$\frac{q(q-1)(q^2+q+1)}{q^2(q^2+q+1)} = \frac{54}{36}$

Так как выражение $q^2+q+1$ не равно нулю ни при каком действительном $q$, мы можем сократить на него, а также на $q$:

$\frac{q-1}{q} = \frac{3}{2}$

Решим полученное уравнение пропорции:

$2(q-1) = 3q$

$2q - 2 = 3q$

$q = -2$

Теперь, зная знаменатель $q$, найдем первый член $b_1$. Подставим $q = -2$ во второе уравнение исходной системы $b_1 q^2 (1 + q + q^2) = -36$:

$b_1 (-2)^2 (1 + (-2) + (-2)^2) = -36$

$b_1 \cdot 4 \cdot (1 - 2 + 4) = -36$

$b_1 \cdot 4 \cdot 3 = -36$

$12 b_1 = -36$

$b_1 = \frac{-36}{12} = -3$

Ответ: $b_1 = -3$, $q = -2$.

228. Какие три числа надо вставить между числами 81 и 625, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

Пусть искомые три числа, которые нужно вставить между 81 и 625, являются членами геометрической прогрессии $b_2, b_3, b_4$. Тогда число 81 будет первым членом этой прогрессии ($b_1 = 81$), а число 625 — пятым членом ($b_5 = 625$). Всего в прогрессии 5 членов.

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Применив эту формулу для пятого члена, получим: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.

Теперь подставим известные значения $b_1=81$ и $b_5=625$ в формулу, чтобы найти знаменатель $q$:
$625 = 81 \cdot q^4$
$q^4 = \frac{625}{81}$

Так как $625 = 5^4$ и $81 = 3^4$, уравнение можно переписать в виде:
$q^4 = \frac{5^4}{3^4} = (\frac{5}{3})^4$

Это уравнение имеет два действительных корня, так как степень четная. Следовательно, знаменатель прогрессии может быть равен $q = \frac{5}{3}$ или $q = -\frac{5}{3}$. Рассмотрим оба возможных варианта.

Первый случай: $q = \frac{5}{3}$
В этом случае искомые числа будут:
$b_2 = b_1 \cdot q = 81 \cdot \frac{5}{3} = 27 \cdot 5 = 135$
$b_3 = b_2 \cdot q = 135 \cdot \frac{5}{3} = 45 \cdot 5 = 225$
$b_4 = b_3 \cdot q = 225 \cdot \frac{5}{3} = 75 \cdot 5 = 375$
Таким образом, первый набор чисел: 135, 225, 375.

Второй случай: $q = -\frac{5}{3}$
В этом случае искомые числа будут:
$b_2 = b_1 \cdot q = 81 \cdot (-\frac{5}{3}) = -27 \cdot 5 = -135$
$b_3 = b_2 \cdot q = (-135) \cdot (-\frac{5}{3}) = 45 \cdot 5 = 225$
$b_4 = b_3 \cdot q = 225 \cdot (-\frac{5}{3}) = -75 \cdot 5 = -375$
Таким образом, второй набор чисел: -135, 225, -375.

Следовательно, существуют два возможных набора чисел, удовлетворяющих условию задачи.
Ответ: 135, 225, 375 или -135, 225, -375.

229. При каком значении $x$ значения выражений $3x - 13$, $x - 3$ и $x - 5$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Для того чтобы три числа $b_1$, $b_2$ и $b_3$ были последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$. Это характеристическое свойство геометрической прогрессии.

В нашем случае даны три выражения, которые являются последовательными членами прогрессии:

$b_1 = 3x - 13$

$b_2 = x - 3$

$b_3 = x - 5$

Подставим их в формулу характеристического свойства, чтобы найти значение $x$:

$(x - 3)^2 = (3x - 13)(x - 5)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата разности, а в правой — правило умножения многочленов.

$x^2 - 6x + 9 = 3x^2 - 15x - 13x + 65$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$x^2 - 6x + 9 = 3x^2 - 28x + 65$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$0 = (3x^2 - x^2) + (-28x + 6x) + (65 - 9)$

$0 = 2x^2 - 22x + 56$

Разделим обе части уравнения на 2 для его упрощения:

$x^2 - 11x + 28 = 0$

Решим полученное приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, то есть 11, а их произведение равно свободному члену, то есть 28.

$x_1 + x_2 = 11$

$x_1 \cdot x_2 = 28$

Подбором находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 7$.

Таким образом, существуют два значения $x$, при которых данные выражения образуют геометрическую прогрессию. Теперь найдем члены этой прогрессии для каждого из найденных значений $x$.

1. При $x = 4$:

Подставим значение $x = 4$ в исходные выражения:

$b_1 = 3(4) - 13 = 12 - 13 = -1$

$b_2 = 4 - 3 = 1$

$b_3 = 4 - 5 = -1$

Получилась последовательность: –1, 1, –1. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{-1} = -1$.

2. При $x = 7$:

Подставим значение $x = 7$ в исходные выражения:

$b_1 = 3(7) - 13 = 21 - 13 = 8$

$b_2 = 7 - 3 = 4$

$b_3 = 7 - 5 = 2$

Получилась последовательность: 8, 4, 2. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Задача имеет два решения.

Ответ: при $x=4$ члены прогрессии равны -1, 1, -1; при $x=7$ члены прогрессии равны 8, 4, 2.

230. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Если к этим числам прибавить соответственно 1, 1 и 4, то образуется геометрическая прогрессия. Найдите данные числа.

Пусть три числа, образующие арифметическую прогрессию, это $a_1$, $a_2$ и $a_3$.

Для удобства представим эти числа как $a-d$, $a$, $a+d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию, сумма этих чисел равна 15. Составим уравнение:

$(a-d) + a + (a+d) = 15$

Упростим выражение:

$3a = 15$

$a = 5$

Таким образом, средний член арифметической прогрессии равен 5. Теперь искомые числа можно записать в виде: $5-d$, 5, $5+d$.

Далее, по условию, если к этим числам прибавить соответственно 1, 1 и 4, то получится геометрическая прогрессия. Выполним это:

• Первое число: $(5-d) + 1 = 6-d$
• Второе число: $5 + 1 = 6$
• Третье число: $(5+d) + 4 = 9+d$

Полученные числа $6-d$, 6 и $9+d$ образуют геометрическую прогрессию. Основное свойство геометрической прогрессии гласит, что квадрат среднего члена равен произведению двух крайних членов. Запишем это в виде уравнения:

$6^2 = (6-d)(9+d)$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $d$:

$36 = 54 + 6d - 9d - d^2$

$36 = 54 - 3d - d^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$d^2 + 3d + 36 - 54 = 0$

$d^2 + 3d - 18 = 0$

Найдем корни этого уравнения, например, с помощью теоремы Виета. Произведение корней равно -18, а их сумма равна -3. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и -6.

$d_1 = 3$

$d_2 = -6$

Теперь найдем исходные числа для каждого из двух возможных значений разности $d$.

1. Если $d = 3$:

Исходные числа: $5-3$, 5, $5+3$.

Получаем последовательность: 2, 5, 8.

Проверка: Сумма $2+5+8=15$. Прибавляем 1, 1, 4: получаем 3, 6, 12. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=2$.

2. Если $d = -6$:

Исходные числа: $5-(-6)$, 5, $5+(-6)$.

Получаем последовательность: 11, 5, -1.

Проверка: Сумма $11+5+(-1)=15$. Прибавляем 1, 1, 4: получаем 12, 6, 3. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=0.5$.

Оба набора чисел удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: 2, 5, 8 или 11, 5, -1.

231. Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = 625$, а знаменатель $q = \frac{1}{5}$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — количество членов, сумму которых нужно найти.

По условию задачи нам даны следующие значения:

• Первый член прогрессии: $b_1 = 625$
• Знаменатель прогрессии: $q = \frac{1}{5}$
• Количество членов: $n = 4$

Подставим эти значения в формулу для нахождения суммы первых четырех членов $S_4$:

$S_4 = \frac{625 \cdot (1 - (\frac{1}{5})^4)}{1 - \frac{1}{5}}$

Выполним вычисления по шагам.

1. Вычислим четвертую степень знаменателя:

$q^4 = (\frac{1}{5})^4 = \frac{1^4}{5^4} = \frac{1}{625}$

2. Вычислим выражение в скобках в числителе:

$1 - q^4 = 1 - \frac{1}{625} = \frac{625}{625} - \frac{1}{625} = \frac{624}{625}$

3. Вычислим знаменатель основной дроби:

$1 - q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

4. Теперь подставим полученные значения обратно в формулу для $S_4$:

$S_4 = \frac{625 \cdot \frac{624}{625}}{\frac{4}{5}}$

В числителе $625$ и $625$ сокращаются:

$S_4 = \frac{624}{\frac{4}{5}}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю:

$S_4 = 624 \cdot \frac{5}{4} = \frac{624 \cdot 5}{4}$

Сократим 624 и 4:

$S_4 = 156 \cdot 5 = 780$

Ответ: 780

232. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии 16, 24, 36, ... .

Дана геометрическая прогрессия, у которой известны первые три члена: 16, 24, 36, ... .

Первый член этой прогрессии $b_1 = 16$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$

Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Нам необходимо найти сумму шести первых членов, то есть $n=6$. Подставим известные значения в формулу:

$S_6 = \frac{16 \cdot ((\frac{3}{2})^6 - 1)}{\frac{3}{2} - 1}$

Выполним вычисления по шагам. Сначала вычислим значение выражения в скобках в числителе:

$(\frac{3}{2})^6 - 1 = \frac{3^6}{2^6} - 1 = \frac{729}{64} - 1 = \frac{729}{64} - \frac{64}{64} = \frac{665}{64}$

Теперь вычислим знаменатель основной дроби:

$\frac{3}{2} - 1 = \frac{3}{2} - \frac{2}{2} = \frac{1}{2}$

Подставим полученные значения обратно в формулу для суммы:

$S_6 = \frac{16 \cdot \frac{665}{64}}{\frac{1}{2}}$

Упростим числитель:

$16 \cdot \frac{665}{64} = \frac{16 \cdot 665}{64} = \frac{665}{4}$

Теперь выполним деление:

$S_6 = \frac{\frac{665}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{665}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{665 \cdot 2}{4} = \frac{665}{2} = 332.5$

Ответ: $332.5$

233. Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$ со знаменателем $q$, если:

1) $b_6 = 4$, $q = 2$;

2) $b_1 = \sqrt{3}$, $b_5 = 9\sqrt{3}$, $q > 0$;

3) $b_3 = 36$, $b_6 = \frac{1}{6}$.

1)

Дана геометрическая прогрессия ($b_n$), в которой шестой член $b_6 = 4$ и знаменатель $q = 2$.
Для нахождения суммы первых четырёх членов $S_4$ необходимо сначала найти первый член прогрессии $b_1$.
Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Выразим $b_1$ через известный шестой член $b_6$:
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$
Подставим известные значения:
$4 = b_1 \cdot 2^5$
$4 = b_1 \cdot 32$
$b_1 = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.
Теперь воспользуемся формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим $n=4$, $b_1 = \frac{1}{8}$ и $q = 2$:
$S_4 = \frac{\frac{1}{8}(2^4 - 1)}{2 - 1} = \frac{\frac{1}{8}(16 - 1)}{1} = \frac{1}{8} \cdot 15 = \frac{15}{8}$.

Ответ: $\frac{15}{8}$.

2)

Дано: $b_1 = \sqrt{3}$, $b_5 = 9\sqrt{3}$ и $q > 0$.
Сначала найдём знаменатель прогрессии $q$, используя формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Для $n=5$:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$
Подставим известные значения:
$9\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot q^4$
$q^4 = \frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 9$.
Так как по условию $q > 0$, то $q = \sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} = \sqrt{3}$.
Теперь, зная $b_1 = \sqrt{3}$ и $q = \sqrt{3}$, найдём сумму $S_4$ по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
$S_4 = \frac{\sqrt{3}((\sqrt{3})^4 - 1)}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3}(9 - 1)}{\sqrt{3} - 1} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} + 1)$:
$S_4 = \frac{8\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{8 \cdot (\sqrt{3})^2 + 8\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{8 \cdot 3 + 8\sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{24 + 8\sqrt{3}}{2} = 12 + 4\sqrt{3}$.

Ответ: $12 + 4\sqrt{3}$.

3)

Дано: $b_3 = 36$ и $b_6 = \frac{1}{6}$.
Сначала найдём знаменатель прогрессии $q$. Для этого воспользуемся формулой, связывающей любые два члена геометрической прогрессии: $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$.
$b_6 = b_3 \cdot q^{6-3} = b_3 \cdot q^3$
Подставим известные значения:
$\frac{1}{6} = 36 \cdot q^3$
$q^3 = \frac{1}{6 \cdot 36} = \frac{1}{216}$
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{216}} = \frac{1}{6}$.
Теперь найдём первый член $b_1$, используя $b_3 = b_1 \cdot q^2$:
$36 = b_1 \cdot (\frac{1}{6})^2 = b_1 \cdot \frac{1}{36}$
$b_1 = 36 \cdot 36 = 1296$.
Найдём сумму $S_4$ по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
$S_4 = \frac{1296((\frac{1}{6})^4 - 1)}{\frac{1}{6} - 1} = \frac{1296(\frac{1}{1296} - 1)}{-\frac{5}{6}} = \frac{1296(\frac{1-1296}{1296})}{-\frac{5}{6}} = \frac{-1295}{-\frac{5}{6}}$.
$S_4 = 1295 \cdot \frac{6}{5} = \frac{1295}{5} \cdot 6 = 259 \cdot 6 = 1554$.

Ответ: $1554$.