Номер 233, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

233. Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$ со знаменателем $q$, если:

1) $b_6 = 4$, $q = 2$;

2) $b_1 = \sqrt{3}$, $b_5 = 9\sqrt{3}$, $q > 0$;

3) $b_3 = 36$, $b_6 = \frac{1}{6}$.

1)

Дана геометрическая прогрессия ($b_n$), в которой шестой член $b_6 = 4$ и знаменатель $q = 2$.
Для нахождения суммы первых четырёх членов $S_4$ необходимо сначала найти первый член прогрессии $b_1$.
Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Выразим $b_1$ через известный шестой член $b_6$:
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$
Подставим известные значения:
$4 = b_1 \cdot 2^5$
$4 = b_1 \cdot 32$
$b_1 = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.
Теперь воспользуемся формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим $n=4$, $b_1 = \frac{1}{8}$ и $q = 2$:
$S_4 = \frac{\frac{1}{8}(2^4 - 1)}{2 - 1} = \frac{\frac{1}{8}(16 - 1)}{1} = \frac{1}{8} \cdot 15 = \frac{15}{8}$.

Ответ: $\frac{15}{8}$.

2)

Дано: $b_1 = \sqrt{3}$, $b_5 = 9\sqrt{3}$ и $q > 0$.
Сначала найдём знаменатель прогрессии $q$, используя формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Для $n=5$:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$
Подставим известные значения:
$9\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot q^4$
$q^4 = \frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 9$.
Так как по условию $q > 0$, то $q = \sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} = \sqrt{3}$.
Теперь, зная $b_1 = \sqrt{3}$ и $q = \sqrt{3}$, найдём сумму $S_4$ по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
$S_4 = \frac{\sqrt{3}((\sqrt{3})^4 - 1)}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3}(9 - 1)}{\sqrt{3} - 1} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} + 1)$:
$S_4 = \frac{8\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{8 \cdot (\sqrt{3})^2 + 8\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{8 \cdot 3 + 8\sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{24 + 8\sqrt{3}}{2} = 12 + 4\sqrt{3}$.

Ответ: $12 + 4\sqrt{3}$.

3)

Дано: $b_3 = 36$ и $b_6 = \frac{1}{6}$.
Сначала найдём знаменатель прогрессии $q$. Для этого воспользуемся формулой, связывающей любые два члена геометрической прогрессии: $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$.
$b_6 = b_3 \cdot q^{6-3} = b_3 \cdot q^3$
Подставим известные значения:
$\frac{1}{6} = 36 \cdot q^3$
$q^3 = \frac{1}{6 \cdot 36} = \frac{1}{216}$
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{216}} = \frac{1}{6}$.
Теперь найдём первый член $b_1$, используя $b_3 = b_1 \cdot q^2$:
$36 = b_1 \cdot (\frac{1}{6})^2 = b_1 \cdot \frac{1}{36}$
$b_1 = 36 \cdot 36 = 1296$.
Найдём сумму $S_4$ по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
$S_4 = \frac{1296((\frac{1}{6})^4 - 1)}{\frac{1}{6} - 1} = \frac{1296(\frac{1}{1296} - 1)}{-\frac{5}{6}} = \frac{1296(\frac{1-1296}{1296})}{-\frac{5}{6}} = \frac{-1295}{-\frac{5}{6}}$.
$S_4 = 1295 \cdot \frac{6}{5} = \frac{1295}{5} \cdot 6 = 259 \cdot 6 = 1554$.

Ответ: $1554$.