Номер 226, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

226. Последовательность $(b_n)$ задана формулой $n$-го члена

$b_n = \frac{4^{n+2}}{5}$

Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? В случае утвердительного ответа укажите её первый член и знаменатель.

Для того чтобы определить, является ли последовательность $(b_n)$ геометрической прогрессией, необходимо проверить, является ли отношение последующего члена к предыдущему постоянной величиной. Эта величина, если она постоянна, и будет знаменателем прогрессии $q$.

Формула n-го члена последовательности: $b_n = \frac{4^{n+2}}{5}$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив в формулу $n+1$ вместо $n$:

$b_{n+1} = \frac{4^{(n+1)+2}}{5} = \frac{4^{n+3}}{5}$.

Теперь найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\frac{4^{n+3}}{5}}{\frac{4^{n+2}}{5}} = \frac{4^{n+3}}{5} \cdot \frac{5}{4^{n+2}} = \frac{4^{n+3}}{4^{n+2}}$

Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$, получаем:

$\frac{4^{n+3}}{4^{n+2}} = 4^{(n+3) - (n+2)} = 4^{n+3-n-2} = 4^1 = 4$.

Так как отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ равно постоянному числу 4 (не зависит от $n$), то данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 4$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив $n=1$ в исходную формулу:

$b_1 = \frac{4^{1+2}}{5} = \frac{4^3}{5} = \frac{64}{5} = 12.8$.

Ответ: Да, последовательность является геометрической прогрессией. Ее первый член $b_1 = \frac{64}{5}$ (или 12.8), а знаменатель $q = 4$.