Номер 225, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

225. Число 162 является членом геометрической прогрессии $\frac{2}{9}, \frac{2}{3}, 2, \dots$. Найдите номер этого члена.

Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$. Из условия задачи мы знаем первые члены прогрессии: $b_1 = \frac{2}{9}$, $b_2 = \frac{2}{3}$, $b_3 = 2$. Нам нужно найти номер $n$ члена прогрессии, который равен 162, то есть $b_n = 162$.

1. Найдём знаменатель геометрической прогрессии $q$.

Знаменатель прогрессии можно найти, разделив любой член прогрессии на предыдущий. Например, разделим второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2/3}{2/9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} = \frac{18}{6} = 3$.

2. Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Подставим в эту формулу известные нам значения: $b_n = 162$, $b_1 = \frac{2}{9}$ и $q = 3$.

$162 = \frac{2}{9} \cdot 3^{n-1}$

3. Решим полученное уравнение относительно $n$.

Выразим $3^{n-1}$ из уравнения. Для этого умножим обе части уравнения на $\frac{9}{2}$:

$162 \cdot \frac{9}{2} = 3^{n-1}$

$81 \cdot 9 = 3^{n-1}$

$729 = 3^{n-1}$

Теперь представим число 729 как степень с основанием 3. Известно, что $729 = 3^6$.

Подставим это значение в уравнение:

$3^6 = 3^{n-1}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$6 = n - 1$

Отсюда находим $n$:

$n = 6 + 1$

$n = 7$

Таким образом, число 162 является седьмым членом данной геометрической прогрессии.

Ответ: 7