Номер 227, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

227. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

1) $b_8 = 25b_6$ и $b_2 + b_4 = -520$;

2) $b_5 - b_2 = -54$ и $b_3 + b_4 + b_5 = -36$.

1)

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. По условию задачи имеем систему из двух уравнений:

$b_8 = 25b_6$

$b_2 + b_4 = -520$

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$.

Преобразуем первое уравнение, подставив в него формулу n-го члена:

$b_1 q^{8-1} = 25 \cdot (b_1 q^{6-1})$

$b_1 q^7 = 25 b_1 q^5$

Предположим, что $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$ (в противном случае второе условие $b_2 + b_4 = -520$ не могло бы выполняться). Тогда мы можем разделить обе части уравнения на $b_1 q^5$:

$q^2 = 25$

Из этого уравнения находим два возможных значения для знаменателя прогрессии: $q = 5$ или $q = -5$.

Теперь преобразуем второе уравнение системы:

$b_1 q^{2-1} + b_1 q^{4-1} = -520$

$b_1 q + b_1 q^3 = -520$

Вынесем $b_1 q$ за скобки:

$b_1 q(1 + q^2) = -520$

Отсюда можно выразить $b_1$: $b_1 = \frac{-520}{q(1 + q^2)}$.

Теперь найдем $b_1$ для каждого из найденных значений $q$.

Случай 1: $q = 5$.

$b_1 = \frac{-520}{5(1 + 5^2)} = \frac{-520}{5(1 + 25)} = \frac{-520}{5 \cdot 26} = \frac{-520}{130} = -4$.

Случай 2: $q = -5$.

$b_1 = \frac{-520}{-5(1 + (-5)^2)} = \frac{-520}{-5(1 + 25)} = \frac{-520}{-5 \cdot 26} = \frac{-520}{-130} = 4$.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две геометрические прогрессии.

Ответ: $b_1 = -4$, $q = 5$ или $b_1 = 4$, $q = -5$.

2)

По условию задачи имеем систему уравнений для геометрической прогрессии $(b_n)$:

$b_5 - b_2 = -54$

$b_3 + b_4 + b_5 = -36$

Запишем эту систему, используя формулу n-го члена $b_n = b_1 q^{n-1}$:

$\begin{cases} b_1 q^4 - b_1 q = -54 \\ b_1 q^2 + b_1 q^3 + b_1 q^4 = -36 \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} b_1 q (q^3 - 1) = -54 \\ b_1 q^2 (1 + q + q^2) = -36 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на второе (предполагая $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$):

$\frac{b_1 q (q^3 - 1)}{b_1 q^2 (1 + q + q^2)} = \frac{-54}{-36}$

Используем формулу разности кубов $q^3 - 1 = (q-1)(q^2+q+1)$ и сократим дробь в левой части:

$\frac{q(q-1)(q^2+q+1)}{q^2(q^2+q+1)} = \frac{54}{36}$

Так как выражение $q^2+q+1$ не равно нулю ни при каком действительном $q$, мы можем сократить на него, а также на $q$:

$\frac{q-1}{q} = \frac{3}{2}$

Решим полученное уравнение пропорции:

$2(q-1) = 3q$

$2q - 2 = 3q$

$q = -2$

Теперь, зная знаменатель $q$, найдем первый член $b_1$. Подставим $q = -2$ во второе уравнение исходной системы $b_1 q^2 (1 + q + q^2) = -36$:

$b_1 (-2)^2 (1 + (-2) + (-2)^2) = -36$

$b_1 \cdot 4 \cdot (1 - 2 + 4) = -36$

$b_1 \cdot 4 \cdot 3 = -36$

$12 b_1 = -36$

$b_1 = \frac{-36}{12} = -3$

Ответ: $b_1 = -3$, $q = -2$.