Номер 231, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

231. Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = 625$, а знаменатель $q = \frac{1}{5}$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — количество членов, сумму которых нужно найти.

По условию задачи нам даны следующие значения:

• Первый член прогрессии: $b_1 = 625$
• Знаменатель прогрессии: $q = \frac{1}{5}$
• Количество членов: $n = 4$

Подставим эти значения в формулу для нахождения суммы первых четырех членов $S_4$:

$S_4 = \frac{625 \cdot (1 - (\frac{1}{5})^4)}{1 - \frac{1}{5}}$

Выполним вычисления по шагам.

1. Вычислим четвертую степень знаменателя:

$q^4 = (\frac{1}{5})^4 = \frac{1^4}{5^4} = \frac{1}{625}$

2. Вычислим выражение в скобках в числителе:

$1 - q^4 = 1 - \frac{1}{625} = \frac{625}{625} - \frac{1}{625} = \frac{624}{625}$

3. Вычислим знаменатель основной дроби:

$1 - q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

4. Теперь подставим полученные значения обратно в формулу для $S_4$:

$S_4 = \frac{625 \cdot \frac{624}{625}}{\frac{4}{5}}$

В числителе $625$ и $625$ сокращаются:

$S_4 = \frac{624}{\frac{4}{5}}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю:

$S_4 = 624 \cdot \frac{5}{4} = \frac{624 \cdot 5}{4}$

Сократим 624 и 4:

$S_4 = 156 \cdot 5 = 780$

Ответ: 780