Номер 237, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

237. Разность четвёртого и второго членов геометрической прогрессии равна 30, а разность четвёртого и третьего членов равна 24. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

Пусть $b_n$ - искомая геометрическая прогрессия, где $b_1$ - её первый член, а $q$ - знаменатель.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Исходя из условия задачи, составим систему уравнений:

1. Разность четвёртого и второго членов равна 30: $b_4 - b_2 = 30$.

2. Разность четвёртого и третьего членов равна 24: $b_4 - b_3 = 24$.

Перепишем систему, используя формулу n-го члена:

$\begin{cases} b_1q^3 - b_1q = 30 \\ b_1q^3 - b_1q^2 = 24 \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки:

$\begin{cases} b_1q(q^2 - 1) = 30 \\ b_1q^2(q - 1) = 24 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на второе. Это возможно, так как из условия $b_4 - b_3 = 24 \neq 0$ следует, что $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$ и $q \neq 1$.

$\frac{b_1q(q^2 - 1)}{b_1q^2(q - 1)} = \frac{30}{24}$

Применим формулу разности квадратов $q^2 - 1 = (q - 1)(q + 1)$ и сократим дробь:

$\frac{b_1q(q - 1)(q + 1)}{b_1q^2(q - 1)} = \frac{5}{4}$

$\frac{q + 1}{q} = \frac{5}{4}$

Решим полученное уравнение, используя свойство пропорции:

$4(q + 1) = 5q$

$4q + 4 = 5q$

$q = 4$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q=4$ в любое из уравнений системы. Воспользуемся вторым уравнением $b_1q^2(q - 1) = 24$:

$b_1 \cdot 4^2(4 - 1) = 24$

$b_1 \cdot 16 \cdot 3 = 24$

$48b_1 = 24$

$b_1 = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$

Для нахождения суммы пяти первых членов прогрессии $S_5$ воспользуемся формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим наши значения $b_1 = \frac{1}{2}$, $q = 4$ и $n = 5$:

$S_5 = \frac{\frac{1}{2}(4^5 - 1)}{4 - 1} = \frac{\frac{1}{2}(1024 - 1)}{3} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 1023}{3} = \frac{1023}{6}$

$S_5 = 170.5$

Ответ: $170.5$