Номер 243, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

243. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_4 = 48$, $b_6 = 12$.

Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии $S$ используется формула:

$S = \frac{b_1}{1-q}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула применима только при условии $|q| < 1$.

Нам даны четвертый и шестой члены прогрессии: $b_4 = 48$ и $b_6 = 12$.

Связь между членами геометрической прогрессии можно выразить формулой $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$. Воспользуемся ею, чтобы найти знаменатель $q$:

$b_6 = b_4 \cdot q^{6-4} = b_4 \cdot q^2$

Подставим известные значения в это соотношение:

$12 = 48 \cdot q^2$

Выразим $q^2$:

$q^2 = \frac{12}{48} = \frac{1}{4}$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для знаменателя $q$:

$q_1 = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

$q_2 = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2}$

Оба значения удовлетворяют условию $|q| < 1$, поэтому задача имеет два решения. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $q = \frac{1}{2}$

Найдем первый член прогрессии $b_1$, используя формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^3$

$48 = b_1 \cdot (\frac{1}{2})^3$

$48 = b_1 \cdot \frac{1}{8}$

$b_1 = 48 \cdot 8 = 384$

Теперь найдем сумму прогрессии:

$S_1 = \frac{b_1}{1-q} = \frac{384}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{384}{\frac{1}{2}} = 384 \cdot 2 = 768$

Случай 2: $q = -\frac{1}{2}$

Аналогично найдем первый член $b_1$ для этого значения $q$:

$b_4 = b_1 \cdot q^3$

$48 = b_1 \cdot (-\frac{1}{2})^3$

$48 = b_1 \cdot (-\frac{1}{8})$

$b_1 = 48 \cdot (-8) = -384$

Найдем сумму для этого случая:

$S_2 = \frac{b_1}{1-q} = \frac{-384}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{-384}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-384}{\frac{3}{2}} = -384 \cdot \frac{2}{3} = -128 \cdot 2 = -256$

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две прогрессии, суммы которых равны 768 и -256.

Ответ: 768 или -256.