Номер 3, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Докажите неравенство:

1) $(a - 6)(a + 4) < (a + 2)(a - 4)$;

2) $(a - 4)^2 - 3 > (a - 6)(a - 2)$;

3) $(3a - 2)(2a + 4) - (2a - 3)^2 \ge 4(5a - 4) - 1$.

1) $(a - 6)(a + 4) < (a + 2)(a - 4)$

Для доказательства неравенства раскроем скобки в обеих его частях и упростим полученные выражения.

Преобразуем левую часть:

$(a - 6)(a + 4) = a \cdot a + 4 \cdot a - 6 \cdot a - 6 \cdot 4 = a^2 - 2a - 24$.

Преобразуем правую часть:

$(a + 2)(a - 4) = a \cdot a - 4 \cdot a + 2 \cdot a - 2 \cdot 4 = a^2 - 2a - 8$.

Подставим полученные многочлены в исходное неравенство:

$a^2 - 2a - 24 < a^2 - 2a - 8$

Перенесем все члены из правой части в левую или сократим одинаковые слагаемые в обеих частях. Вычтем из обеих частей $a^2$ и прибавим $2a$:

$-24 < -8$

Полученное числовое неравенство является верным, так как $-24$ на числовой прямой находится левее, чем $-8$. Поскольку мы получили верное неравенство, не зависящее от переменной $a$, исходное неравенство справедливо для любого значения $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

2) $(a - 4)^2 - 3 > (a - 6)(a - 2)$

Выполним преобразования обеих частей неравенства.

В левой части используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a - 4)^2 - 3 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2) - 3 = (a^2 - 8a + 16) - 3 = a^2 - 8a + 13$.

В правой части раскроем скобки:

$(a - 6)(a - 2) = a \cdot a - 2 \cdot a - 6 \cdot a + (-6) \cdot (-2) = a^2 - 8a + 12$.

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$a^2 - 8a + 13 > a^2 - 8a + 12$

Сократим одинаковые члены в обеих частях. Вычтем $a^2$ из обеих частей и прибавим $8a$ к обеим частям:

$13 > 12$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $a$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

3) $(3a - 2)(2a + 4) - (2a - 3)^2 \geq 4(5a - 4) - 1$

Для доказательства этого неравенства также упростим обе его части.

Преобразуем левую часть. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(3a - 2)(2a + 4) = 6a^2 + 12a - 4a - 8 = 6a^2 + 8a - 8$.

$(2a - 3)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2 = 4a^2 - 12a + 9$.

Теперь выполним вычитание:

$(6a^2 + 8a - 8) - (4a^2 - 12a + 9) = 6a^2 + 8a - 8 - 4a^2 + 12a - 9 = 2a^2 + 20a - 17$.

Преобразуем правую часть:

$4(5a - 4) - 1 = 20a - 16 - 1 = 20a - 17$.

Подставим упрощенные выражения в неравенство:

$2a^2 + 20a - 17 \geq 20a - 17$

Вычтем из обеих частей выражение $20a - 17$:

$2a^2 \geq 0$

Разделим обе части на положительное число 2:

$a^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом, то есть большим или равным нулю. Таким образом, полученное неравенство верно для любого значения $a$, что и доказывает исходное неравенство.

Ответ: Неравенство доказано.