Номер 10, страница 75 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

10. Дано: $a < 0$ и $b > 0$. Сравните:

1) $a - b$ и $0$;

2) $b - a$ и $-b$;

3) $3a - 2b$ и $b$;

4) $\frac{1}{a - 5b}$ и $\frac{1}{b}$.

1) $a - b$ и $0$;

По условию дано, что $a < 0$ (a — отрицательное число) и $b > 0$ (b — положительное число).
Если $b > 0$, то число, ему противоположное, будет отрицательным: $-b < 0$.
Рассмотрим выражение $a - b$. Это то же самое, что и сумма $a + (-b)$.
Мы складываем два отрицательных числа: $a$ и $-b$. Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна.
Следовательно, $a - b < 0$.
Ответ: $a - b < 0$.

2) $b - a$ и $-b$;

По условию $a < 0$ и $b > 0$.
Если $a < 0$, то число, ему противоположное, будет положительным: $-a > 0$.
Рассмотрим выражение $b - a$. Это то же самое, что и сумма $b + (-a)$.
Мы складываем два положительных числа: $b$ и $-a$. Сумма двух положительных чисел всегда положительна. Значит, $b - a > 0$.
Теперь сравним полученное положительное число $b - a$ с числом $-b$. Так как $b > 0$, то $-b < 0$.
Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.
Следовательно, $b - a > -b$.
Ответ: $b - a > -b$.

3) $3a - 2b$ и $b$;

Чтобы сравнить два выражения, найдём их разность: $(3a - 2b) - b$.
$(3a - 2b) - b = 3a - 3b = 3(a - b)$.
В пункте 1) мы уже установили, что разность $a - b$ отрицательна, то есть $a - b < 0$.
Произведение положительного числа (3) на отрицательное число $(a-b)$ является отрицательным числом.
Значит, $3(a - b) < 0$.
Поскольку разность $(3a - 2b) - b$ отрицательна, это означает, что уменьшаемое ($3a - 2b$) меньше вычитаемого ($b$).
Следовательно, $3a - 2b < b$.
Ответ: $3a - 2b < b$.

4) $\frac{1}{a - 5b}$ и $\frac{1}{b}$.

Оценим знаки выражений в знаменателях дробей.
Знаменатель первой дроби: $a - 5b$. По условию $a < 0$. Так как $b > 0$, то $5b > 0$, а $-5b < 0$. Сумма двух отрицательных чисел ($a$ и $-5b$) есть число отрицательное. Таким образом, $a - 5b < 0$.
Знаменатель второй дроби: $b$. По условию $b > 0$.
Теперь определим знаки самих дробей.
Первая дробь $\frac{1}{a - 5b}$ имеет положительный числитель и отрицательный знаменатель, следовательно, значение всей дроби отрицательно: $\frac{1}{a - 5b} < 0$.
Вторая дробь $\frac{1}{b}$ имеет положительный числитель и положительный знаменатель, следовательно, значение всей дроби положительно: $\frac{1}{b} > 0$.
Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
Следовательно, $\frac{1}{a - 5b} < \frac{1}{b}$.
Ответ: $\frac{1}{a - 5b} < \frac{1}{b}$.