Номер 5, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Докажите, что:

1) $a^3 - b^3 \ge ab(b - a)$, если $a \ge b$;

2) $m^3 - 2m^2 + m - 2 \ge 0$, если $m \ge 2$.

1) $a^3 - b^3 \ge ab(b - a)$, если $a \ge b$

Для доказательства преобразуем данное неравенство. Перенесем все члены в левую часть:
$a^3 - b^3 - ab(b - a) \ge 0$
Раскроем скобки в третьем члене:
$a^3 - b^3 - ab^2 + a^2b \ge 0$
Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и сгруппируем оставшиеся члены:
$(a - b)(a^2 + ab + b^2) + (a^2b - ab^2) \ge 0$
Вынесем общий множитель $ab$ из второй скобки:
$(a - b)(a^2 + ab + b^2) + ab(a - b) \ge 0$
Теперь вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:
$(a - b)(a^2 + ab + b^2 + ab) \ge 0$
Приведем подобные члены во второй скобке:
$(a - b)(a^2 + 2ab + b^2) \ge 0$
Выражение во второй скобке является полным квадратом суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.
Получаем неравенство:
$(a - b)(a + b)^2 \ge 0$
Рассмотрим каждый множитель при условии, что $a \ge b$:
1. Множитель $(a - b)$. Так как по условию $a \ge b$, то разность $a - b \ge 0$. Этот множитель неотрицателен.
2. Множитель $(a + b)^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом, то есть $(a + b)^2 \ge 0$.
Произведение двух неотрицательных множителей также является неотрицательным. Следовательно, неравенство $(a - b)(a + b)^2 \ge 0$ верно при $a \ge b$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

2) $m^3 - 2m^2 + m - 2 \ge 0$, если $m \ge 2$

Для доказательства разложим левую часть неравенства на множители методом группировки:
$(m^3 - 2m^2) + (m - 2) \ge 0$
Вынесем общий множитель $m^2$ из первой скобки:
$m^2(m - 2) + 1(m - 2) \ge 0$
Вынесем общий множитель $(m - 2)$ за скобки:
$(m - 2)(m^2 + 1) \ge 0$
Рассмотрим каждый множитель при условии, что $m \ge 2$:
1. Множитель $(m - 2)$. Так как по условию $m \ge 2$, то разность $m - 2 \ge 0$. Этот множитель неотрицателен.
2. Множитель $(m^2 + 1)$. Поскольку $m^2 \ge 0$ для любого действительного $m$, то $m^2 + 1 \ge 1$. Этот множитель всегда положителен.
Произведение неотрицательного множителя $(m - 2)$ и положительного множителя $(m^2 + 1)$ является неотрицательным числом. Следовательно, неравенство $(m - 2)(m^2 + 1) \ge 0$ верно при $m \ge 2$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.