Номер 6, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Докажите, что:

1) $(a + 2b)\left(\frac{1}{2a} + \frac{1}{b}\right) \ge 4$, если $a > 0$ и $b > 0$;

2) $(a + 2)(b + 8)(c + 4) \ge 64\sqrt{abc}$, если $a \ge 0$, $b \ge 0$, $c \ge 0$.

1)

Для доказательства неравенства $(a+2b)(\frac{1}{2a} + \frac{1}{b}) \ge 4$ при $a > 0$ и $b > 0$, раскроем скобки в левой части выражения:

$(a+2b)(\frac{1}{2a} + \frac{1}{b}) = a \cdot \frac{1}{2a} + a \cdot \frac{1}{b} + 2b \cdot \frac{1}{2a} + 2b \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{2a} + \frac{a}{b} + \frac{2b}{2a} + \frac{2b}{b} = \frac{1}{2} + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2$.

Сгруппируем слагаемые:

$\frac{1}{2} + 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{5}{2} + (\frac{a}{b} + \frac{b}{a})$.

Теперь воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел. Для любых $x > 0$ и $y > 0$ справедливо $x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

В нашем случае, поскольку $a > 0$ и $b > 0$, числа $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$ также положительны. Применим к ним неравенство Коши:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2\sqrt{1} = 2$.

Подставим этот результат в наше выражение:

$\frac{5}{2} + (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) \ge \frac{5}{2} + 2 = 4.5$.

Таким образом, мы доказали, что $(a+2b)(\frac{1}{2a} + \frac{1}{b}) \ge 4.5$. Поскольку $4.5 \ge 4$, то исходное неравенство $(a+2b)(\frac{1}{2a} + \frac{1}{b}) \ge 4$ также верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2)

Для доказательства неравенства $(a+2)(b+8)(c+4) \ge 64\sqrt{abc}$ при $a \ge 0$, $b \ge 0$, $c \ge 0$, воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенством Коши) для каждой из скобок в левой части.

Неравенство о средних для двух неотрицательных чисел $x$ и $y$ имеет вид: $\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$, или $x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

Применим это неравенство последовательно к каждой из скобок, учитывая, что $a, b, c$ и константы 2, 8, 4 неотрицательны.

Для первой скобки: $a+2 \ge 2\sqrt{a \cdot 2} = 2\sqrt{2a}$.

Для второй скобки: $b+8 \ge 2\sqrt{b \cdot 8} = 2\sqrt{8b}$.

Для третьей скобки: $c+4 \ge 2\sqrt{c \cdot 4} = 2\sqrt{4c}$.

Так как все части полученных неравенств неотрицательны, мы можем их перемножить:

$(a+2)(b+8)(c+4) \ge (2\sqrt{2a})(2\sqrt{8b})(2\sqrt{4c})$.

Теперь упростим правую часть полученного неравенства:

$2\sqrt{2a} \cdot 2\sqrt{8b} \cdot 2\sqrt{4c} = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot \sqrt{2a \cdot 8b \cdot 4c} = 8\sqrt{64abc}$.

Извлекая корень из 64, получаем:

$8 \cdot \sqrt{64} \cdot \sqrt{abc} = 8 \cdot 8 \cdot \sqrt{abc} = 64\sqrt{abc}$.

Таким образом, мы получили, что $(a+2)(b+8)(c+4) \ge 64\sqrt{abc}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.