Страница 74 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Сравните числа $m$ и $n$, если:

1) $m - n = -2;$

2) $n - m = 0,8;$

3) $m = n + 0,7;$

4) $n = m - 10.$

1) Для сравнения двух чисел можно найти их разность. Если разность $m-n$ положительна, то $m>n$. Если разность отрицательна, то $m<n$. Если разность равна нулю, то $m=n$.
В данном случае дано равенство $m - n = -2$.
Разность $m-n$ является отрицательным числом, так как $-2 < 0$. Следовательно, $m < n$.
Ответ: $m < n$.

2) Дано равенство $n - m = 0,8$.
Разность $n-m$ является положительным числом, так как $0,8 > 0$. Это означает, что уменьшаемое $n$ больше вычитаемого $m$, то есть $n > m$. Это неравенство эквивалентно неравенству $m < n$.
Другой способ: умножим обе части равенства на $-1$:
$-(n - m) = -0,8$
$m - n = -0,8$
Разность $m-n$ отрицательна, следовательно, $m < n$.
Ответ: $m < n$.

3) Дано равенство $m = n + 0,7$.
Чтобы найти разность $m-n$, перенесем $n$ в левую часть равенства, изменив знак на противоположный:
$m - n = 0,7$.
Разность $m-n$ является положительным числом, так как $0,7 > 0$. Следовательно, $m > n$.
Ответ: $m > n$.

4) Дано равенство $n = m - 10$.
Чтобы найти разность $m-n$, выразим её из данного равенства. Перенесем $n$ в правую часть равенства, а $-10$ — в левую, изменив их знаки:
$10 = m - n$.
Разность $m-n$ равна $10$, что является положительным числом. Следовательно, $m > n$.
Ответ: $m > n$.

2. Точка $M(m)$ расположена на координатной прямой левее точки $K(1)$. Какое из утверждений верно:

1) $m > 1$;

2) $m = 1$;

3) $m < 1$;

4) числа $m$ и $1$ сравнить невозможно?

На координатной прямой любому числу соответствует точка. При этом, если число $a$ меньше числа $b$ ($a < b$), то точка с координатой $a$ будет лежать левее точки с координатой $b$.

В условии задачи сказано, что точка $M(m)$ расположена левее точки $K(1)$. Это означает, что координата точки $M$, то есть число $m$, меньше координаты точки $K$, то есть числа $1$.

Запишем это в виде математического неравенства: $m < 1$.

Теперь проанализируем предложенные варианты утверждений:

1) $m > 1$. Это утверждение означает, что точка $M$ расположена правее точки $K$, что противоречит условию задачи. Следовательно, это утверждение неверно.

2) $m = 1$. Это утверждение означает, что точки $M$ и $K$ совпадают, то есть находятся в одном и том же месте. Это также противоречит условию, в котором говорится, что одна точка находится "левее" другой. Следовательно, это утверждение неверно.

3) $m < 1$. Это утверждение полностью соответствует выводу, сделанному из условия задачи. Если точка $M(m)$ левее точки $K(1)$, то $m < 1$. Следовательно, это утверждение верно.

4) числа $m$ и $1$ сравнить невозможно?. Условие расположения точек на координатной прямой как раз и дает возможность однозначно сравнить их координаты. Следовательно, это утверждение неверно.

Таким образом, единственное верное утверждение — это третье.

Ответ: 3) $m < 1$

3. Докажите неравенство:

1) $(a - 6)(a + 4) < (a + 2)(a - 4)$;

2) $(a - 4)^2 - 3 > (a - 6)(a - 2)$;

3) $(3a - 2)(2a + 4) - (2a - 3)^2 \ge 4(5a - 4) - 1$.

1) $(a - 6)(a + 4) < (a + 2)(a - 4)$

Для доказательства неравенства раскроем скобки в обеих его частях и упростим полученные выражения.

Преобразуем левую часть:

$(a - 6)(a + 4) = a \cdot a + 4 \cdot a - 6 \cdot a - 6 \cdot 4 = a^2 - 2a - 24$.

Преобразуем правую часть:

$(a + 2)(a - 4) = a \cdot a - 4 \cdot a + 2 \cdot a - 2 \cdot 4 = a^2 - 2a - 8$.

Подставим полученные многочлены в исходное неравенство:

$a^2 - 2a - 24 < a^2 - 2a - 8$

Перенесем все члены из правой части в левую или сократим одинаковые слагаемые в обеих частях. Вычтем из обеих частей $a^2$ и прибавим $2a$:

$-24 < -8$

Полученное числовое неравенство является верным, так как $-24$ на числовой прямой находится левее, чем $-8$. Поскольку мы получили верное неравенство, не зависящее от переменной $a$, исходное неравенство справедливо для любого значения $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

2) $(a - 4)^2 - 3 > (a - 6)(a - 2)$

Выполним преобразования обеих частей неравенства.

В левой части используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a - 4)^2 - 3 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2) - 3 = (a^2 - 8a + 16) - 3 = a^2 - 8a + 13$.

В правой части раскроем скобки:

$(a - 6)(a - 2) = a \cdot a - 2 \cdot a - 6 \cdot a + (-6) \cdot (-2) = a^2 - 8a + 12$.

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$a^2 - 8a + 13 > a^2 - 8a + 12$

Сократим одинаковые члены в обеих частях. Вычтем $a^2$ из обеих частей и прибавим $8a$ к обеим частям:

$13 > 12$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $a$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

3) $(3a - 2)(2a + 4) - (2a - 3)^2 \geq 4(5a - 4) - 1$

Для доказательства этого неравенства также упростим обе его части.

Преобразуем левую часть. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(3a - 2)(2a + 4) = 6a^2 + 12a - 4a - 8 = 6a^2 + 8a - 8$.

$(2a - 3)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2 = 4a^2 - 12a + 9$.

Теперь выполним вычитание:

$(6a^2 + 8a - 8) - (4a^2 - 12a + 9) = 6a^2 + 8a - 8 - 4a^2 + 12a - 9 = 2a^2 + 20a - 17$.

Преобразуем правую часть:

$4(5a - 4) - 1 = 20a - 16 - 1 = 20a - 17$.

Подставим упрощенные выражения в неравенство:

$2a^2 + 20a - 17 \geq 20a - 17$

Вычтем из обеих частей выражение $20a - 17$:

$2a^2 \geq 0$

Разделим обе части на положительное число 2:

$a^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом, то есть большим или равным нулю. Таким образом, полученное неравенство верно для любого значения $a$, что и доказывает исходное неравенство.

Ответ: Неравенство доказано.

4. Докажите неравенство:

1) $a^2 - 10a + 26 > 0;$

2) $6y - 9y^2 - 2 < 0;$

3) $a(a - 2) > 6(a - 3);$

4) $x^2 - 4x + y^2 + 2y + 5 \ge 0;$

5) $x^2 - 4xy + 5y^2 + 2y + 2 > 0;$

6) $\frac{a^2 + 3}{\sqrt{a^2 + 2}} \ge 2.$

1) Докажем неравенство $a^2 - 10a + 26 > 0$.
Для доказательства выделим полный квадрат. Формула полного квадрата: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Представим выражение $a^2 - 10a$ как начало полного квадрата: $a^2 - 2 \cdot a \cdot 5$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $5^2 = 25$.
$a^2 - 10a + 26 = (a^2 - 10a + 25) - 25 + 26 = (a-5)^2 + 1$.
Выражение $(a-5)^2$ является квадратом числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(a-5)^2 \ge 0$ для любого значения $a$.
Следовательно, $(a-5)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.
Так как $1 > 0$, то и $(a-5)^2 + 1 > 0$. Таким образом, неравенство $a^2 - 10a + 26 > 0$ верно для всех действительных $a$.
Ответ: Неравенство доказано.

2) Докажем неравенство $6y - 9y^2 - 2 < 0$.
Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный: $-(6y - 9y^2 - 2) > 0 \cdot (-1)$, что равносильно $9y^2 - 6y + 2 > 0$.
Теперь докажем это новое неравенство, выделив полный квадрат. $9y^2 - 6y + 2 = (3y)^2 - 2 \cdot (3y) \cdot 1 + 1^2 - 1^2 + 2 = ((3y)^2 - 6y + 1) + 1 = (3y-1)^2 + 1$.
Выражение $(3y-1)^2$ всегда неотрицательно: $(3y-1)^2 \ge 0$.
Тогда $(3y-1)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.
Так как $1 > 0$, то неравенство $9y^2 - 6y + 2 > 0$ верно, а значит и исходное неравенство $6y - 9y^2 - 2 < 0$ также верно для всех действительных $y$.
Ответ: Неравенство доказано.

3) Докажем неравенство $a(a-2) > 6(a-3)$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства: $a^2 - 2a > 6a - 18$.
Перенесем все члены в левую часть: $a^2 - 2a - 6a + 18 > 0$.
Приведем подобные слагаемые: $a^2 - 8a + 18 > 0$.
Выделим полный квадрат в левой части: $a^2 - 8a + 18 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 16) - 16 + 18 = (a-4)^2 + 2$.
Так как $(a-4)^2 \ge 0$ для любого $a$, то $(a-4)^2 + 2 \ge 0 + 2 = 2$.
Поскольку $2 > 0$, то и $(a-4)^2 + 2 > 0$. Следовательно, исходное неравенство верно.
Ответ: Неравенство доказано.

4) Докажем неравенство $x^2 - 4x + y^2 + 2y + 5 \ge 0$.
Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$ и выделим полные квадраты для каждой переменной. $(x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) + 5 \ge 0$.
Для $x$: $x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x-2)^2 - 4$.
Для $y$: $y^2 + 2y = (y^2 + 2y + 1) - 1 = (y+1)^2 - 1$.
Подставим полученные выражения в неравенство: $((x-2)^2 - 4) + ((y+1)^2 - 1) + 5 \ge 0$.
$(x-2)^2 + (y+1)^2 - 4 - 1 + 5 \ge 0$.
$(x-2)^2 + (y+1)^2 \ge 0$.
Это неравенство верно, так как $(x-2)^2 \ge 0$ и $(y+1)^2 \ge 0$, а сумма двух неотрицательных чисел всегда неотрицательна.
Ответ: Неравенство доказано.

5) Докажем неравенство $x^2 - 4xy + 5y^2 + 2y + 2 > 0$.
Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат. Заметим, что $x^2 - 4xy$ может быть частью квадрата $(x-2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$.
Представим $5y^2$ как $4y^2 + y^2$: $(x^2 - 4xy + 4y^2) + y^2 + 2y + 2 > 0$.
Первые три члена образуют полный квадрат: $(x-2y)^2 + y^2 + 2y + 2 > 0$.
Теперь выделим полный квадрат для оставшихся членов с $y$: $(x-2y)^2 + (y^2 + 2y + 1) + 1 > 0$.
$(x-2y)^2 + (y+1)^2 + 1 > 0$.
Выражение $(x-2y)^2 \ge 0$ и $(y+1)^2 \ge 0$. Их сумма также неотрицательна. $(x-2y)^2 + (y+1)^2 + 1 \ge 0 + 0 + 1 = 1$.
Так как $1 > 0$, то неравенство верно.
Ответ: Неравенство доказано.

6) Докажем неравенство $\frac{a^2 + 3}{\sqrt{a^2 + 2}} \ge 2$.
Область определения неравенства – все действительные числа $a$, так как подкоренное выражение $a^2 + 2$ всегда положительно ($a^2 \ge 0 \implies a^2+2 \ge 2$). Знаменатель всегда положителен. Числитель $a^2+3$ также всегда положителен.
Так как обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства: $(\frac{a^2 + 3}{\sqrt{a^2 + 2}})^2 \ge 2^2$.
$\frac{(a^2 + 3)^2}{a^2 + 2} \ge 4$.
Умножим обе части на положительный знаменатель $a^2 + 2$: $(a^2 + 3)^2 \ge 4(a^2 + 2)$.
Раскроем скобки: $a^4 + 6a^2 + 9 \ge 4a^2 + 8$.
Перенесем все члены в левую часть: $a^4 + 6a^2 - 4a^2 + 9 - 8 \ge 0$.
$a^4 + 2a^2 + 1 \ge 0$.
Левая часть является полным квадратом: $(a^2 + 1)^2 \ge 0$.
Это неравенство верно для любого действительного $a$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Все преобразования были равносильными, следовательно, исходное неравенство также верно.
Ответ: Неравенство доказано.

5. Докажите, что:

1) $a^3 - b^3 \ge ab(b - a)$, если $a \ge b$;

2) $m^3 - 2m^2 + m - 2 \ge 0$, если $m \ge 2$.

1) $a^3 - b^3 \ge ab(b - a)$, если $a \ge b$

Для доказательства преобразуем данное неравенство. Перенесем все члены в левую часть:
$a^3 - b^3 - ab(b - a) \ge 0$
Раскроем скобки в третьем члене:
$a^3 - b^3 - ab^2 + a^2b \ge 0$
Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и сгруппируем оставшиеся члены:
$(a - b)(a^2 + ab + b^2) + (a^2b - ab^2) \ge 0$
Вынесем общий множитель $ab$ из второй скобки:
$(a - b)(a^2 + ab + b^2) + ab(a - b) \ge 0$
Теперь вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:
$(a - b)(a^2 + ab + b^2 + ab) \ge 0$
Приведем подобные члены во второй скобке:
$(a - b)(a^2 + 2ab + b^2) \ge 0$
Выражение во второй скобке является полным квадратом суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.
Получаем неравенство:
$(a - b)(a + b)^2 \ge 0$
Рассмотрим каждый множитель при условии, что $a \ge b$:
1. Множитель $(a - b)$. Так как по условию $a \ge b$, то разность $a - b \ge 0$. Этот множитель неотрицателен.
2. Множитель $(a + b)^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом, то есть $(a + b)^2 \ge 0$.
Произведение двух неотрицательных множителей также является неотрицательным. Следовательно, неравенство $(a - b)(a + b)^2 \ge 0$ верно при $a \ge b$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

2) $m^3 - 2m^2 + m - 2 \ge 0$, если $m \ge 2$

Для доказательства разложим левую часть неравенства на множители методом группировки:
$(m^3 - 2m^2) + (m - 2) \ge 0$
Вынесем общий множитель $m^2$ из первой скобки:
$m^2(m - 2) + 1(m - 2) \ge 0$
Вынесем общий множитель $(m - 2)$ за скобки:
$(m - 2)(m^2 + 1) \ge 0$
Рассмотрим каждый множитель при условии, что $m \ge 2$:
1. Множитель $(m - 2)$. Так как по условию $m \ge 2$, то разность $m - 2 \ge 0$. Этот множитель неотрицателен.
2. Множитель $(m^2 + 1)$. Поскольку $m^2 \ge 0$ для любого действительного $m$, то $m^2 + 1 \ge 1$. Этот множитель всегда положителен.
Произведение неотрицательного множителя $(m - 2)$ и положительного множителя $(m^2 + 1)$ является неотрицательным числом. Следовательно, неравенство $(m - 2)(m^2 + 1) \ge 0$ верно при $m \ge 2$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

6. Докажите, что:

1) $(a + 2b)\left(\frac{1}{2a} + \frac{1}{b}\right) \ge 4$, если $a > 0$ и $b > 0$;

2) $(a + 2)(b + 8)(c + 4) \ge 64\sqrt{abc}$, если $a \ge 0$, $b \ge 0$, $c \ge 0$.

1)

Для доказательства неравенства $(a+2b)(\frac{1}{2a} + \frac{1}{b}) \ge 4$ при $a > 0$ и $b > 0$, раскроем скобки в левой части выражения:

$(a+2b)(\frac{1}{2a} + \frac{1}{b}) = a \cdot \frac{1}{2a} + a \cdot \frac{1}{b} + 2b \cdot \frac{1}{2a} + 2b \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{2a} + \frac{a}{b} + \frac{2b}{2a} + \frac{2b}{b} = \frac{1}{2} + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2$.

Сгруппируем слагаемые:

$\frac{1}{2} + 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{5}{2} + (\frac{a}{b} + \frac{b}{a})$.

Теперь воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел. Для любых $x > 0$ и $y > 0$ справедливо $x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

В нашем случае, поскольку $a > 0$ и $b > 0$, числа $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$ также положительны. Применим к ним неравенство Коши:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2\sqrt{1} = 2$.

Подставим этот результат в наше выражение:

$\frac{5}{2} + (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) \ge \frac{5}{2} + 2 = 4.5$.

Таким образом, мы доказали, что $(a+2b)(\frac{1}{2a} + \frac{1}{b}) \ge 4.5$. Поскольку $4.5 \ge 4$, то исходное неравенство $(a+2b)(\frac{1}{2a} + \frac{1}{b}) \ge 4$ также верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2)

Для доказательства неравенства $(a+2)(b+8)(c+4) \ge 64\sqrt{abc}$ при $a \ge 0$, $b \ge 0$, $c \ge 0$, воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенством Коши) для каждой из скобок в левой части.

Неравенство о средних для двух неотрицательных чисел $x$ и $y$ имеет вид: $\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$, или $x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

Применим это неравенство последовательно к каждой из скобок, учитывая, что $a, b, c$ и константы 2, 8, 4 неотрицательны.

Для первой скобки: $a+2 \ge 2\sqrt{a \cdot 2} = 2\sqrt{2a}$.

Для второй скобки: $b+8 \ge 2\sqrt{b \cdot 8} = 2\sqrt{8b}$.

Для третьей скобки: $c+4 \ge 2\sqrt{c \cdot 4} = 2\sqrt{4c}$.

Так как все части полученных неравенств неотрицательны, мы можем их перемножить:

$(a+2)(b+8)(c+4) \ge (2\sqrt{2a})(2\sqrt{8b})(2\sqrt{4c})$.

Теперь упростим правую часть полученного неравенства:

$2\sqrt{2a} \cdot 2\sqrt{8b} \cdot 2\sqrt{4c} = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot \sqrt{2a \cdot 8b \cdot 4c} = 8\sqrt{64abc}$.

Извлекая корень из 64, получаем:

$8 \cdot \sqrt{64} \cdot \sqrt{abc} = 8 \cdot 8 \cdot \sqrt{abc} = 64\sqrt{abc}$.

Таким образом, мы получили, что $(a+2)(b+8)(c+4) \ge 64\sqrt{abc}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

7. Известно, что $m > n$. Сравните:

1) $m+3$ и $n+3$;

2) $m-4$ и $n-4$;

3) $2,3m$ и $2,3n$;

4) $-n$ и $-m$;

5) $-70m$ и $-70n$;

6) $-\frac{m}{15}$ и $-\frac{n}{15}$.

1) m + 3 и n + 3
Исходя из основного свойства неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.
Поскольку $m > n$, прибавим к обеим частям число 3:
$m + 3 > n + 3$.
Ответ: $m + 3 > n + 3$.

2) m – 4 и n – 4
Если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то получится верное неравенство.
Поскольку $m > n$, вычтем из обеих частей число 4:
$m - 4 > n - 4$.
Ответ: $m - 4 > n - 4$.

3) 2,3m и 2,3n
Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
Поскольку $m > n$ и $2,3 > 0$, умножим обе части на 2,3:
$2,3m > 2,3n$.
Ответ: $2,3m > 2,3n$.

4) –n и –m
Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.
Поскольку $m > n$, умножим обе части на -1 и поменяем знак ">" на "<":
$-m < -n$.
Это неравенство равносильно тому, что $-n > -m$.
Ответ: $-n > -m$.

5) –70m и –70n
Используем правило умножения неравенства на отрицательное число.
Поскольку $m > n$ и $-70 < 0$, умножим обе части на -70 и поменяем знак ">" на "<":
$-70m < -70n$.
Ответ: $-70m < -70n$.

6) $-\frac{m}{15}$ и $-\frac{n}{15}$
Данное сравнение можно рассматривать как умножение исходного неравенства на отрицательное число $-\frac{1}{15}$.
Поскольку $m > n$ и $-\frac{1}{15} < 0$, умножим обе части на $-\frac{1}{15}$ и поменяем знак ">" на "<":
$-\frac{m}{15} < -\frac{n}{15}$.
Ответ: $-\frac{m}{15} < -\frac{n}{15}$.