Страница 69 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

192. Найдите номер члена арифметической прогрессии $(x_n)$, равного -2,6, если $x_1 = 8,2$, а разность прогрессии $d = -0,3$.

Для нахождения номера члена арифметической прогрессии $(x_n)$ воспользуемся формулой n-го члена: $x_n = x_1 + (n-1)d$, где $x_n$ – искомый член прогрессии, $x_1$ – первый член, $d$ – разность прогрессии, а $n$ – номер искомого члена.

По условию задачи нам даны следующие значения:
$x_n = -2,6$
$x_1 = 8,2$
$d = -0,3$

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти $n$:
$-2,6 = 8,2 + (n-1) \cdot (-0,3)$

Теперь решим это уравнение. Сначала перенесем 8,2 в левую часть:
$-2,6 - 8,2 = (n-1) \cdot (-0,3)$
$-10,8 = (n-1) \cdot (-0,3)$

Далее, разделим обе части уравнения на разность прогрессии $d = -0,3$:
$n - 1 = \frac{-10,8}{-0,3}$
$n - 1 = 36$

Наконец, найдем $n$:
$n = 36 + 1$
$n = 37$

Таким образом, член арифметической прогрессии, равный -2,6, является 37-м по счету.

Ответ: 37

193. Является ли число 18,5 членом арифметической прогрессии $(y_n)$, если $y_1=12$, а разность прогрессии $d=2,5$? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

Чтобы определить, является ли число 18,5 членом арифметической прогрессии $(y_n)$, необходимо проверить, существует ли такой натуральный номер $n$, для которого член прогрессии $y_n$ будет равен 18,5.

Формула n-го члена арифметической прогрессии выглядит следующим образом: $y_n = y_1 + (n - 1)d$ где $y_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию задачи нам даны:

• первый член прогрессии $y_1 = 12$;
• разность прогрессии $d = 2,5$.

Подставим эти значения, а также предполагаемое значение $y_n = 18,5$ в формулу, чтобы найти соответствующий номер члена $n$: $18,5 = 12 + (n - 1) \cdot 2,5$

Теперь решим полученное уравнение относительно $n$: $18,5 - 12 = (n - 1) \cdot 2,5$ $6,5 = (n - 1) \cdot 2,5$

Чтобы найти $(n - 1)$, разделим 6,5 на 2,5: $n - 1 = \frac{6,5}{2,5}$ $n - 1 = \frac{65}{25}$ $n - 1 = 2,6$

Теперь найдем $n$: $n = 2,6 + 1$ $n = 3,6$

Порядковый номер члена прогрессии $n$ по определению должен быть натуральным числом (т.е. $n \in \{1, 2, 3, \ldots\}$). Поскольку мы получили дробное значение $n = 3,6$, это означает, что число 18,5 не может быть членом данной арифметической прогрессии с целым номером.

Ответ: нет, число 18,5 не является членом данной арифметической прогрессии.

194. Дана арифметическая прогрессия $-3.6; -3.3; -3; \ldots$. Найдите номер первого положительного члена прогрессии.

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, где первый член $a_1 = -3,6$, второй член $a_2 = -3,3$ и так далее.

Для начала найдем разность арифметической прогрессии $d$. Разность вычисляется как разница между любым последующим и предыдущим членом прогрессии.

$d = a_2 - a_1 = -3,3 - (-3,6) = -3,3 + 3,6 = 0,3$.

Теперь воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$.

Нам необходимо найти номер $n$ первого положительного члена прогрессии. Это означает, что мы ищем наименьшее натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $a_n > 0$.

Подставим известные значения $a_1 = -3,6$ и $d = 0,3$ в неравенство:

$-3,6 + (n-1) \cdot 0,3 > 0$.

Теперь решим это неравенство относительно $n$:

$0,3(n-1) > 3,6$

Разделим обе части неравенства на 0,3:

$n-1 > \frac{3,6}{0,3}$

$n-1 > 12$

Прибавим 1 к обеим частям неравенства:

$n > 13$

Так как $n$ — это порядковый номер члена прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет условию $n > 13$, — это 14.

Таким образом, первый положительный член прогрессии имеет номер 14.

Ответ: 14

195. Найдите количество отрицательных членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = -20$, а разность прогрессии $d = 1,8$.

Для нахождения количества отрицательных членов арифметической прогрессии $(a_n)$ необходимо решить неравенство $a_n < 0$.

По условию задачи, первый член прогрессии $a_1 = -20$, а разность прогрессии $d = 1,8$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n - 1)d$

Подставим в формулу известные значения и составим неравенство:

$-20 + (n - 1) \cdot 1,8 < 0$

Решим это неравенство относительно $n$, где $n$ — натуральное число.

$(n - 1) \cdot 1,8 < 20$

Разделим обе части неравенства на 1,8:

$n - 1 < \frac{20}{1,8}$

$n - 1 < \frac{200}{18}$

$n - 1 < \frac{100}{9}$

$n - 1 < 11\frac{1}{9}$

Перенесем -1 в правую часть:

$n < 11\frac{1}{9} + 1$

$n < 12\frac{1}{9}$

Так как номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, то наибольшее натуральное число, удовлетворяющее этому неравенству, — это 12. Это означает, что члены прогрессии с 1-го по 12-й включительно будут отрицательными.

Таким образом, количество отрицательных членов прогрессии равно 12.

Ответ: 12

196. Между числами -3 и 11 вставьте шесть таких чисел, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию.

Пусть искомая арифметическая прогрессия обозначается как $(a_n)$. Согласно условию, нам нужно вставить шесть чисел между -3 и 11. Это означает, что число -3 является первым членом прогрессии, а число 11 — последним.

Первый член прогрессии: $a_1 = -3$.

Общее количество членов в прогрессии будет равно двум данным числам плюс шесть вставленных чисел: $2 + 6 = 8$. Таким образом, число 11 является восьмым членом прогрессии: $a_8 = 11$.

Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения для $n=8$:
$a_8 = a_1 + (8-1)d$
$11 = -3 + 7d$

Решим полученное уравнение относительно $d$:
$7d = 11 - (-3)$
$7d = 14$
$d = \frac{14}{7} = 2$

Теперь, зная первый член $a_1 = -3$ и разность $d=2$, мы можем найти шесть искомых чисел, которые являются членами прогрессии со второго по седьмой:
$a_2 = a_1 + d = -3 + 2 = -1$
$a_3 = a_2 + d = -1 + 2 = 1$
$a_4 = a_3 + d = 1 + 2 = 3$
$a_5 = a_4 + d = 3 + 2 = 5$
$a_6 = a_5 + d = 5 + 2 = 7$
$a_7 = a_6 + d = 7 + 2 = 9$

В результате получается следующая арифметическая прогрессия из восьми членов: -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11.

Ответ: -1, 1, 3, 5, 7, 9.

197. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

1) $a_5 + a_{13} = 38$ и $a_4 + a_8 = 29;$

2) $a_4 + a_{10} = 16$ и $a_2 \cdot a_6 = -12.$

1)

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Нам дана система из двух уравнений:

$a_5 + a_{13} = 38$

$a_4 + a_8 = 29$

Выразим каждый член прогрессии через $a_1$ и $d$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

$a_{13} = a_1 + (13-1)d = a_1 + 12d$

$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$

$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$

Подставим эти выражения в исходные уравнения:

$(a_1 + 4d) + (a_1 + 12d) = 38$

$(a_1 + 3d) + (a_1 + 7d) = 29$

Упростим полученную систему:

$2a_1 + 16d = 38$

$2a_1 + 10d = 29$

Разделим обе части первого уравнения на 2:

$a_1 + 8d = 19$

Теперь у нас есть система:

$\begin{cases} a_1 + 8d = 19 \\ 2a_1 + 10d = 29 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 2:

$(2a_1 + 10d) - 2(a_1 + 8d) = 29 - 2 \cdot 19$

$2a_1 + 10d - 2a_1 - 16d = 29 - 38$

$-6d = -9$

$d = \frac{-9}{-6} = \frac{3}{2} = 1.5$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d$ в уравнение $a_1 + 8d = 19$:

$a_1 + 8 \cdot 1.5 = 19$

$a_1 + 12 = 19$

$a_1 = 19 - 12 = 7$

Ответ: $a_1 = 7, d = 1.5$.

2)

Нам дана система из двух уравнений:

$a_4 + a_{10} = 16$

$a_2 \cdot a_6 = -12$

Используя формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$, выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$ и подставим в первое уравнение:

$(a_1 + 3d) + (a_1 + 9d) = 16$

$2a_1 + 12d = 16$

Разделим обе части уравнения на 2:

$a_1 + 6d = 8$

Отсюда выразим $a_1$:

$a_1 = 8 - 6d$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение $a_2 \cdot a_6 = -12$:

$(a_1 + d) \cdot (a_1 + 5d) = -12$

$((8 - 6d) + d) \cdot ((8 - 6d) + 5d) = -12$

$(8 - 5d)(8 - d) = -12$

Раскроем скобки:

$64 - 8d - 40d + 5d^2 = -12$

$5d^2 - 48d + 64 + 12 = 0$

$5d^2 - 48d + 76 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $d$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-48)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 76 = 2304 - 1520 = 784$

$\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$

Найдем два возможных значения для $d$:

$d_1 = \frac{48 + 28}{2 \cdot 5} = \frac{76}{10} = 7.6$

$d_2 = \frac{48 - 28}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$

Для каждого значения $d$ найдем соответствующее значение $a_1$ из формулы $a_1 = 8 - 6d$.

Случай 1: Если $d = 7.6$, то

$a_1 = 8 - 6 \cdot 7.6 = 8 - 45.6 = -37.6$

Случай 2: Если $d = 2$, то

$a_1 = 8 - 6 \cdot 2 = 8 - 12 = -4$

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $a_1 = -37.6, d = 7.6$ или $a_1 = -4, d = 2$.

198. Является ли арифметической прогрессией последовательность $(a_n)$, заданная формулой $n$-го члена:

1) $a_n = 7 - 3n$;

2) $a_n = 2n^2 + 1$;

3) $a_n = 0,8n$;

4) $a_n = 0,64n + 23$;

5) $a_n = \frac{n-1}{n+1}$;

6) $a_n = \frac{4n-3}{5}$?

В случае утвердительного ответа укажите первый член и разность прогрессии.

Для того чтобы определить, является ли последовательность $(a_n)$ арифметической прогрессией, необходимо найти разность между последующим и предыдущим членами $d = a_{n+1} - a_n$. Если эта разность является постоянной величиной (не зависит от $n$), то последовательность является арифметической прогрессией. В случае утвердительного ответа, первый член $a_1$ находится подстановкой $n=1$ в формулу, а разность $d$ равна полученной постоянной величине.

1) $a_n = 7 - 3n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$a_{n+1} = 7 - 3(n+1) = 7 - 3n - 3 = 4 - 3n$

Найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:

$d = (4 - 3n) - (7 - 3n) = 4 - 3n - 7 + 3n = -3$

Разность $d = -3$ является постоянной величиной, следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$:

$a_1 = 7 - 3 \cdot 1 = 4$

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = 4$, разность $d = -3$.

2) $a_n = 2n^2 + 1$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$a_{n+1} = 2(n+1)^2 + 1 = 2(n^2 + 2n + 1) + 1 = 2n^2 + 4n + 2 + 1 = 2n^2 + 4n + 3$

Найдем разность $a_{n+1} - a_n$:

$a_{n+1} - a_n = (2n^2 + 4n + 3) - (2n^2 + 1) = 2n^2 + 4n + 3 - 2n^2 - 1 = 4n + 2$

Разность зависит от $n$, следовательно, не является постоянной. Данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.

3) $a_n = 0,8n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$a_{n+1} = 0,8(n+1) = 0,8n + 0,8$

Найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:

$d = (0,8n + 0,8) - 0,8n = 0,8$

Разность $d = 0,8$ является постоянной величиной, следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$:

$a_1 = 0,8 \cdot 1 = 0,8$

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = 0,8$, разность $d = 0,8$.

4) $a_n = 0,64n + 23$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$a_{n+1} = 0,64(n+1) + 23 = 0,64n + 0,64 + 23$

Найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:

$d = (0,64n + 0,64 + 23) - (0,64n + 23) = 0,64$

Разность $d = 0,64$ является постоянной величиной, следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$:

$a_1 = 0,64 \cdot 1 + 23 = 23,64$

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = 23,64$, разность $d = 0,64$.

5) $a_n = \frac{n-1}{n+1}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$a_{n+1} = \frac{(n+1)-1}{(n+1)+1} = \frac{n}{n+2}$

Найдем разность $a_{n+1} - a_n$:

$a_{n+1} - a_n = \frac{n}{n+2} - \frac{n-1}{n+1} = \frac{n(n+1) - (n-1)(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{(n^2+n) - (n^2+2n-n-2)}{(n+1)(n+2)} = \frac{n^2+n-n^2-n+2}{(n+1)(n+2)} = \frac{2}{(n+1)(n+2)}$

Разность зависит от $n$, следовательно, не является постоянной. Данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.

6) $a_n = \frac{4n-3}{5}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$a_{n+1} = \frac{4(n+1)-3}{5} = \frac{4n+4-3}{5} = \frac{4n+1}{5}$

Найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:

$d = \frac{4n+1}{5} - \frac{4n-3}{5} = \frac{(4n+1) - (4n-3)}{5} = \frac{4n+1-4n+3}{5} = \frac{4}{5}$

Разность $d = \frac{4}{5}$ является постоянной величиной, следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$:

$a_1 = \frac{4 \cdot 1 - 3}{5} = \frac{1}{5} = 0,2$

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = \frac{1}{5}$ (или $0,2$), разность $d = \frac{4}{5}$ (или $0,8$).

199. В арифметической прогрессии каждый член прогрессии умножили на 3. Будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

Пусть дана исходная арифметическая прогрессия $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$. По определению арифметической прогрессии, для любого натурального числа $n$ выполняется равенство: $a_{n+1} = a_n + d$. Это эквивалентно тому, что разность между соседними членами постоянна: $a_{n+1} - a_n = d$.

По условию задачи, каждый член этой прогрессии умножили на 3. Получим новую последовательность $(b_n)$, где каждый член $b_n$ связан с соответствующим членом $a_n$ соотношением: $b_n = 3 \cdot a_n$.

Чтобы определить, является ли последовательность $(b_n)$ арифметической прогрессией, нужно проверить, является ли разность между ее соседними членами $b_{n+1}$ и $b_n$ постоянной величиной.

Выразим $b_{n+1}$ и $b_n$ через члены исходной прогрессии: $b_{n+1} = 3 \cdot a_{n+1}$ $b_n = 3 \cdot a_n$

Теперь найдем их разность: $b_{n+1} - b_n = 3 \cdot a_{n+1} - 3 \cdot a_n$

Вынесем общий множитель 3 за скобки: $b_{n+1} - b_n = 3 \cdot (a_{n+1} - a_n)$

Так как $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$, мы знаем, что $a_{n+1} - a_n = d$. Подставим это значение в полученное выражение: $b_{n+1} - b_n = 3 \cdot d$

Поскольку $d$ — это постоянное число (разность исходной прогрессии), то и произведение $3d$ также является постоянным числом. Это означает, что разность между любыми двумя последовательными членами новой последовательности $(b_n)$ постоянна и равна $3d$.

Следовательно, полученная последовательность является арифметической прогрессией, первый член которой равен $b_1 = 3a_1$, а разность равна $d' = 3d$.

Ответ: Да, полученная последовательность будет арифметической прогрессией.

200. При каком значении $a$ значения выражений $a^2 - 4a$, $2a - 5$ и $a - 4$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Для того чтобы три выражения являлись последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо и достаточно, чтобы средний член был равен среднему арифметическому двух других. Обозначим данные выражения как $b_1, b_2, b_3$:
$b_1 = a^2 - 4a$
$b_2 = 2a - 5$
$b_3 = a - 4$

Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, должно выполняться равенство $2b_2 = b_1 + b_3$. Подставим наши выражения в это равенство:
$2(2a - 5) = (a^2 - 4a) + (a - 4)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:
$4a - 10 = a^2 - 3a - 4$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$a^2 - 3a - 4 - 4a + 10 = 0$
$a^2 - 7a + 6 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 6. Таким образом, корнями уравнения являются:
$a_1 = 1$
$a_2 = 6$

Мы получили два значения $a$, при которых данные выражения образуют арифметическую прогрессию. Теперь найдем члены этой прогрессии для каждого из найденных значений $a$.

При $a = 1$:
Найдем значения членов прогрессии, подставив $a=1$ в каждое выражение:
$b_1 = 1^2 - 4(1) = 1 - 4 = -3$
$b_2 = 2(1) - 5 = 2 - 5 = -3$
$b_3 = 1 - 4 = -3$
Получаем последовательность: -3, -3, -3. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 0$.
Ответ: при $a = 1$ члены прогрессии: -3, -3, -3.

При $a = 6$:
Найдем значения членов прогрессии, подставив $a=6$ в каждое выражение:
$b_1 = 6^2 - 4(6) = 36 - 24 = 12$
$b_2 = 2(6) - 5 = 12 - 5 = 7$
$b_3 = 6 - 4 = 2$
Получаем последовательность: 12, 7, 2. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = -5$.
Ответ: при $a = 6$ члены прогрессии: 12, 7, 2.