Страница 62 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

139. Из двух городов, расстояние между которыми равно 240 км, отправились навстречу друг другу два автомобиля и встретились на середине пути, причём один из них выехал на 1 ч раньше другого. Если бы автомобили выехали одновременно, то они встретились бы через 2 ч 24 мин. Найдите скорость каждого автомобиля.

Пусть $v_1$ — скорость первого автомобиля (в км/ч) и $v_2$ — скорость второго автомобиля (в км/ч).

1. Условие при одновременном выезде.

Если автомобили выехали одновременно, они встретились бы через 2 часа 24 минуты. Переведем время в часы: $2 \text{ ч } 24 \text{ мин } = 2 + \frac{24}{60} \text{ ч } = 2 + 0.4 \text{ ч } = 2.4 \text{ ч}$. При движении навстречу друг другу их скорости складываются (скорость сближения). За 2.4 часа они вместе преодолели расстояние в 240 км. Составим первое уравнение: $(v_1 + v_2) \cdot 2.4 = 240$ $v_1 + v_2 = \frac{240}{2.4}$ $v_1 + v_2 = 100$

2. Условие, когда один выехал раньше.

В этом случае автомобили встретились на середине пути, то есть каждый из них проехал по $240 / 2 = 120$ км. Один из автомобилей выехал на 1 час раньше другого. Это означает, что время, затраченное одним автомобилем на путь в 120 км, на 1 час больше, чем время другого. Пусть первый автомобиль был в пути $t_1$ часов, а второй — $t_2$ часов. $t_1 = \frac{120}{v_1}$ $t_2 = \frac{120}{v_2}$ Разница во времени составляет 1 час. Предположим, что первый автомобиль медленнее второго ($v_1 < v_2$), тогда он затратил на путь больше времени и выехал раньше. Получаем второе уравнение: $t_1 - t_2 = 1$ $\frac{120}{v_1} - \frac{120}{v_2} = 1$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений: $\begin{cases} v_1 + v_2 = 100 \\ \frac{120}{v_1} - \frac{120}{v_2} = 1 \end{cases}$ Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = 100 - v_1$ Подставим это выражение во второе уравнение: $\frac{120}{v_1} - \frac{120}{100 - v_1} = 1$ Приведем к общему знаменателю: $\frac{120(100 - v_1) - 120v_1}{v_1(100 - v_1)} = 1$ $\frac{12000 - 120v_1 - 120v_1}{100v_1 - v_1^2} = 1$ $12000 - 240v_1 = 100v_1 - v_1^2$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $v_1^2 - 100v_1 - 240v_1 + 12000 = 0$ $v_1^2 - 340v_1 + 12000 = 0$ Решим это уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-340)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12000 = 115600 - 48000 = 67600$ $\sqrt{D} = \sqrt{67600} = 260$ Найдем корни уравнения: $v_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{340 + 260}{2} = \frac{600}{2} = 300$ $v_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{340 - 260}{2} = \frac{80}{2} = 40$

4. Анализ корней и нахождение скоростей.

Рассмотрим оба варианта для $v_1$:

1) Если $v_1 = 300$ км/ч, то $v_2 = 100 - v_1 = 100 - 300 = -200$ км/ч. Этот корень не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной.

2) Если $v_1 = 40$ км/ч, то $v_2 = 100 - v_1 = 100 - 40 = 60$ км/ч. Это решение является верным.

Проверим: время первого автомобиля $120/40 = 3$ часа. Время второго $120/60 = 2$ часа. Разница во времени $3-2=1$ час, что соответствует условию задачи.

Ответ: скорость одного автомобиля 40 км/ч, скорость другого автомобиля — 60 км/ч.

140. Две бригады, работая одновременно, могут отремонтировать дорогу за 6 ч. Если же сначала первая бригада самостоятельно отремонтирует $ \frac{3}{5} $ дороги, а потом вторая — оставшуюся часть дороги, то весь ремонт будет выполнен за 12 ч. За сколько часов может отремонтировать дорогу каждая бригада, работая самостоятельно?

Пусть время, за которое первая бригада может самостоятельно отремонтировать всю дорогу, равно $t_1$ часов, а время для второй бригады — $t_2$ часов. Тогда их производительности (часть работы в час) равны $\frac{1}{t_1}$ и $\frac{1}{t_2}$ соответственно. Примем всю работу по ремонту дороги за 1 единицу.

Согласно первому условию, работая вместе, две бригады выполняют работу за 6 часов. Их общая производительность равна сумме их индивидуальных производительностей. Составим первое уравнение:

$(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) \cdot 6 = 1$

Отсюда следует:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6}$

Согласно второму условию, сначала первая бригада выполняет $\frac{3}{5}$ всей работы. Время, затраченное на это, составляет $T_1 = \frac{3/5}{1/t_1} = \frac{3}{5}t_1$ часов. Затем вторая бригада выполняет оставшуюся часть работы, которая равна $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$. Время, затраченное второй бригадой, составляет $T_2 = \frac{2/5}{1/t_2} = \frac{2}{5}t_2$ часов. Общее время выполнения работы по второму сценарию составляет 12 часов. Составим второе уравнение:

$\frac{3}{5}t_1 + \frac{2}{5}t_2 = 12$

Для удобства умножим обе части этого уравнения на 5:

$3t_1 + 2t_2 = 60$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6} \\ 3t_1 + 2t_2 = 60 \end{cases}$

Выразим $t_2$ из второго уравнения:

$2t_2 = 60 - 3t_1 \implies t_2 = \frac{60 - 3t_1}{2}$

Подставим полученное выражение для $t_2$ в первое уравнение системы:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{\frac{60 - 3t_1}{2}} = \frac{1}{6}$

$\frac{1}{t_1} + \frac{2}{60 - 3t_1} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $t_1(60 - 3t_1)$:

$\frac{60 - 3t_1 + 2t_1}{t_1(60 - 3t_1)} = \frac{1}{6}$

$\frac{60 - t_1}{60t_1 - 3t_1^2} = \frac{1}{6}$

Используя правило пропорции, получаем:

$6(60 - t_1) = 60t_1 - 3t_1^2$

$360 - 6t_1 = 60t_1 - 3t_1^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3t_1^2 - 60t_1 - 6t_1 + 360 = 0$

$3t_1^2 - 66t_1 + 360 = 0$

Разделим все уравнение на 3:

$t_1^2 - 22t_1 + 120 = 0$

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 22, а произведение — 120. Корнями являются числа 10 и 12.

Следовательно, у нас есть два возможных значения для $t_1$:

1. Если $t_1 = 10$ часов, то найдем соответствующее значение $t_2$:

$t_2 = \frac{60 - 3 \cdot 10}{2} = \frac{60 - 30}{2} = \frac{30}{2} = 15$ часов.

2. Если $t_1 = 12$ часов, то найдем соответствующее значение $t_2$:

$t_2 = \frac{60 - 3 \cdot 12}{2} = \frac{60 - 36}{2} = \frac{24}{2} = 12$ часов.

Оба набора значений удовлетворяют условиям задачи. Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: Первая бригада может отремонтировать дорогу за 10 часов, а вторая — за 15 часов. Либо обе бригады могут отремонтировать дорогу за 12 часов каждая.

141. Если открыть одновременно две трубы, то бассейн будет наполнен водой за 7 ч 12 мин. Когда сначала открыли на 8 ч первую трубу, а потом открыли вторую, то бассейн был заполнен через 4 ч после открытия второй трубы. За сколько часов можно наполнить бассейн через каждую трубу?

Пусть $x$ — время в часах, за которое первая труба может наполнить бассейн, работая отдельно, а $y$ — время в часах, за которое вторая труба может наполнить бассейн, работая отдельно.

Тогда производительность (скорость наполнения) первой трубы равна $1/x$ бассейна в час, а производительность второй трубы — $1/y$ бассейна в час. Их совместная производительность составляет $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ бассейна в час.

1. Составление первого уравнения.

Из первого условия задачи известно, что при одновременной работе двух труб бассейн наполняется за 7 часов 12 минут. Переведем это время в часы:
$7 \text{ ч } 12 \text{ мин} = 7 + \frac{12}{60} \text{ ч} = 7 + \frac{1}{5} \text{ ч} = \frac{35}{5} + \frac{1}{5} = \frac{36}{5} \text{ ч}$.

Так как работа (наполнение одного бассейна) равна произведению производительности на время, получаем первое уравнение:
$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot \frac{36}{5} = 1$
Отсюда, $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{36}$.

2. Составление второго уравнения.

Из второго условия задачи, сначала первая труба работала 8 часов, а затем открыли вторую, и бассейн был заполнен через 4 часа. Это означает, что первая труба работала в общей сложности $8 + 4 = 12$ часов, а вторая труба работала 4 часа. Вместе они заполнили весь бассейн (выполнили 1 единицу работы). Составим второе уравнение, сложив объемы работы, выполненные каждой трубой:
$\frac{1}{x} \cdot 12 + \frac{1}{y} \cdot 4 = 1$
$\frac{12}{x} + \frac{4}{y} = 1$.

3. Решение системы уравнений.

Получаем систему из двух уравнений:
$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{36} \\ \frac{12}{x} + \frac{4}{y} = 1 \end{cases}$

Для удобства решения введем замены: пусть $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$. Система примет вид:
$\begin{cases} u + v = \frac{5}{36} \\ 12u + 4v = 1 \end{cases}$

Выразим $v$ из первого уравнения: $v = \frac{5}{36} - u$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$12u + 4(\frac{5}{36} - u) = 1$
$12u + \frac{20}{36} - 4u = 1$
$8u + \frac{5}{9} = 1$
$8u = 1 - \frac{5}{9}$
$8u = \frac{4}{9}$
$u = \frac{4}{9 \cdot 8} = \frac{1}{18}$

Теперь найдем $v$:
$v = \frac{5}{36} - u = \frac{5}{36} - \frac{1}{18} = \frac{5}{36} - \frac{2}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

Выполним обратную замену:
Если $u = \frac{1}{x} = \frac{1}{18}$, то $x = 18$.
Если $v = \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$, то $y = 12$.

Таким образом, первая труба наполняет бассейн за 18 часов, а вторая — за 12 часов.

Ответ: первая труба может наполнить бассейн за 18 часов, а вторая труба — за 12 часов.

142. Из города $A$ в город $B$, расстояние между которыми равно 300 км, выехал грузовик со скоростью 40 км/ч. Через 1 ч после этого из города $A$ в город $B$ выехал легковой автомобиль, который догнал грузовик, и водителю грузовика было передано распоряжение вернуться в $A$. После этого легковой автомобиль продолжил двигаться с той же скоростью и прибыл в $B$ одновременно с возвращением грузовика в $A$. Найдите скорость легкового автомобиля.

Пусть $S$ — расстояние между городами А и В, $v_г$ — скорость грузовика, $v_л$ — искомая скорость легкового автомобиля.
По условию задачи:
$S = 300$ км,
$v_г = 40$ км/ч.

1. Этап 1: Движение до встречи.
Грузовик выехал из города А на 1 час раньше легкового автомобиля. За этот час он проехал расстояние:
$S_{форы} = v_г \cdot 1\text{ ч} = 40 \text{ км/ч} \cdot 1\text{ ч} = 40$ км.
Когда легковой автомобиль выехал из А, грузовик был уже на расстоянии 40 км от него. Легковой автомобиль начал догонять грузовик. Скорость сближения равна разности их скоростей: $v_{сбл} = v_л - v_г = v_л - 40$ км/ч. (Очевидно, что $v_л > 40$ км/ч, иначе догнать грузовик было бы невозможно).
Время, которое потребовалось легковому автомобилю, чтобы догнать грузовик с момента своего выезда:
$t_{встречи} = \frac{S_{форы}}{v_{сбл}} = \frac{40}{v_л - 40}$ ч.

2. Место встречи.
Найдем расстояние от города А до места встречи. Это расстояние проехал легковой автомобиль за время $t_{встречи}$:
$S_{встречи} = v_л \cdot t_{встречи} = v_л \cdot \frac{40}{v_л - 40} = \frac{40v_л}{v_л - 40}$ км.

3. Этап 2: Движение после встречи.
После встречи грузовик развернулся и поехал обратно в город А. Расстояние, которое он должен был проехать, равно $S_{встречи}$. Время его возвращения:
$t_{возврата\_г} = \frac{S_{встречи}}{v_г} = \frac{S_{встречи}}{40}$ ч.
Легковой автомобиль продолжил движение в город В. Расстояние, которое ему осталось проехать:
$S_{ост\_л} = S - S_{встречи} = 300 - S_{встречи}$ км.
Время его пути до города В:
$t_{прибытия\_л} = \frac{S_{ост\_л}}{v_л} = \frac{300 - S_{встречи}}{v_л}$ ч.

4. Составление и решение уравнения.
По условию, легковой автомобиль прибыл в В одновременно с возвращением грузовика в А. Это значит, что время их движения после встречи одинаково:
$t_{возврата\_г} = t_{прибытия\_л}$
$\frac{S_{встречи}}{40} = \frac{300 - S_{встречи}}{v_л}$
Подставим в это уравнение выражение для $S_{встречи}$, которое мы нашли ранее:
$\frac{\frac{40v_л}{v_л - 40}}{40} = \frac{300 - \frac{40v_л}{v_л - 40}}{v_л}$
Упростим левую часть:
$\frac{40v_л}{40(v_л - 40)} = \frac{v_л}{v_л - 40}$
Теперь приравняем левую и правую части:
$\frac{v_л}{v_л - 40} = \frac{300 - \frac{40v_л}{v_л - 40}}{v_л}$
Домножим обе части на $v_л(v_л - 40)$, так как $v_л \neq 0$ и $v_л \neq 40$:
$v_л^2 = (v_л - 40) \cdot (300 - \frac{40v_л}{v_л - 40})$
$v_л^2 = 300(v_л - 40) - \frac{40v_л(v_л - 40)}{v_л - 40}$
$v_л^2 = 300v_л - 12000 - 40v_л$
$v_л^2 = 260v_л - 12000$
Получили квадратное уравнение:
$v_л^2 - 260v_л + 12000 = 0$
Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-260)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12000 = 67600 - 48000 = 19600$
$\sqrt{D} = \sqrt{19600} = 140$
Найдем корни уравнения:
$v_{л1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{260 - 140}{2} = \frac{120}{2} = 60$
$v_{л2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{260 + 140}{2} = \frac{400}{2} = 200$

5. Проверка.
Оба корня больше 40 км/ч, поэтому оба могут быть решением. Проверим каждый из них.
Случай 1: $v_л = 60$ км/ч.
Время до встречи: $t_{встречи} = \frac{40}{60 - 40} = 2$ ч.
Место встречи от А: $S_{встречи} = 60 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 120$ км.
Время возвращения грузовика: $t_{возврата\_г} = \frac{120 \text{ км}}{40 \text{ км/ч}} = 3$ ч.
Время прибытия легкового автомобиля: $t_{прибытия\_л} = \frac{300 - 120 \text{ км}}{60 \text{ км/ч}} = \frac{180}{60} = 3$ ч.
Время совпадает, следовательно, скорость 60 км/ч является верным решением.
Случай 2: $v_л = 200$ км/ч.
Время до встречи: $t_{встречи} = \frac{40}{200 - 40} = \frac{40}{160} = 0.25$ ч.
Место встречи от А: $S_{встречи} = 200 \text{ км/ч} \cdot 0.25 \text{ ч} = 50$ км.
Время возвращения грузовика: $t_{возврата\_г} = \frac{50 \text{ км}}{40 \text{ км/ч}} = 1.25$ ч.
Время прибытия легкового автомобиля: $t_{прибытия\_л} = \frac{300 - 50 \text{ км}}{200 \text{ км/ч}} = \frac{250}{200} = 1.25$ ч.
Время совпадает, следовательно, скорость 200 км/ч также является верным решением.
Задача имеет два решения.

Ответ: 60 км/ч или 200 км/ч.

143. Одновременно из одного села в одном направлении выехали два велосипедиста: первый со скоростью 12 км/ч, а второй — 15 км/ч. Через 4 ч из этого села в том же направлении выехал автомобиль. Найдите скорость автомобиля, если известно, что он догнал второго велосипедиста через 20 мин после того, как догнал первого.

Для решения задачи введем переменные:

• $v_1 = 12$ км/ч — скорость первого велосипедиста.
• $v_2 = 15$ км/ч — скорость второго велосипедиста.
• $x$ км/ч — искомая скорость автомобиля.
• $t_0 = 4$ ч — время, через которое после велосипедистов выехал автомобиль.

1. Определим, какое расстояние проехали велосипедисты к моменту выезда автомобиля. Автомобиль выехал через 4 часа после велосипедистов.

Расстояние, которое проехал первый велосипедист за 4 часа:

$S_1 = v_1 \cdot t_0 = 12 \cdot 4 = 48$ км.

Расстояние, которое проехал второй велосипедист за 4 часа:

$S_2 = v_2 \cdot t_0 = 15 \cdot 4 = 60$ км.

Эти расстояния представляют собой начальное отставание автомобиля от каждого из велосипедистов в момент его старта.

2. Составим уравнения движения для догоняющего автомобиля. Пусть $t_1$ — время, через которое автомобиль догонит первого велосипедиста (с момента своего выезда), и $t_2$ — время, через которое он догонит второго велосипедиста.

Скорость сближения автомобиля с первым велосипедистом равна $x - v_1 = x - 12$ км/ч. За время $t_1$ автомобиль должен сократить разрыв в 48 км. Следовательно:

$t_1 = \frac{S_1}{x - v_1} = \frac{48}{x - 12}$

Скорость сближения автомобиля со вторым велосипедистом равна $x - v_2 = x - 15$ км/ч. За время $t_2$ автомобиль должен сократить разрыв в 60 км. Следовательно:

$t_2 = \frac{S_2}{x - v_2} = \frac{60}{x - 15}$

3. Используем условие задачи. Известно, что автомобиль догнал второго велосипедиста через 20 минут после того, как догнал первого. Переведем 20 минут в часы:

20 мин $= \frac{20}{60}$ ч $= \frac{1}{3}$ ч.

Это означает, что время $t_2$ на $\frac{1}{3}$ часа больше, чем время $t_1$:

$t_2 - t_1 = \frac{1}{3}$

4. Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в это уравнение:

$\frac{60}{x - 15} - \frac{48}{x - 12} = \frac{1}{3}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{60(x - 12) - 48(x - 15)}{(x - 15)(x - 12)} = \frac{1}{3}$

$\frac{60x - 720 - 48x + 720}{x^2 - 12x - 15x + 180} = \frac{1}{3}$

$\frac{12x}{x^2 - 27x + 180} = \frac{1}{3}$

Используем свойство пропорции:

$3 \cdot 12x = 1 \cdot (x^2 - 27x + 180)$

$36x = x^2 - 27x + 180$

$x^2 - 27x - 36x + 180 = 0$

$x^2 - 63x + 180 = 0$

5. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-63)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 180 = 3969 - 720 = 3249$

$\sqrt{D} = \sqrt{3249} = 57$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{63 + 57}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{63 - 57}{2} = \frac{6}{2} = 3$

6. Проанализируем полученные решения. Скорость автомобиля $x$ должна быть больше скоростей велосипедистов, чтобы он мог их догнать. Скорость второго велосипедиста — 15 км/ч. Таким образом, должно выполняться условие $x > 15$.

Корень $x_2 = 3$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним.

Корень $x_1 = 60$ удовлетворяет условию $60 > 15$.

Следовательно, скорость автомобиля равна 60 км/ч.

Ответ: 60 км/ч.

144. По двум окружностям равных диаметров равномерно вращаются две точки. Одна из них выполняет полный оборот на 2,5 с быстрее, чем другая, и поэтому успевает сделать за 1 мин на 4 оборота больше. Сколько оборотов в минуту делает каждая точка?

Пусть $t_1$ — время в секундах, за которое первая (более быстрая) точка совершает один полный оборот, а $t_2$ — время в секундах для второй (более медленной) точки.

Согласно условию, первая точка выполняет полный оборот на 2,5 секунды быстрее, чем вторая. Математически это можно записать так:

$t_2 - t_1 = 2.5$

Отсюда можно выразить $t_2$:

$t_2 = t_1 + 2.5$

Теперь рассмотрим количество оборотов в минуту. Пусть $n_1$ — количество оборотов в минуту для первой точки, а $n_2$ — для второй.

По условию, за 1 минуту первая точка успевает сделать на 4 оборота больше, чем вторая:

$n_1 - n_2 = 4$

Количество оборотов в минуту ($n$) связано со временем одного оборота в секундах ($t$). В одной минуте 60 секунд. Таким образом, если точка делает один оборот за $t$ секунд, то за 60 секунд она сделает $60/t$ оборотов.

$n_1 = \frac{60}{t_1}$

$n_2 = \frac{60}{t_2}$

Подставим эти выражения в уравнение разности оборотов:

$\frac{60}{t_1} - \frac{60}{t_2} = 4$

Теперь подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $t_2$ ($t_2 = t_1 + 2.5$):

$\frac{60}{t_1} - \frac{60}{t_1 + 2.5} = 4$

Чтобы упростить уравнение, разделим все его части на 4:

$\frac{15}{t_1} - \frac{15}{t_1 + 2.5} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $t_1(t_1 + 2.5)$:

$\frac{15(t_1 + 2.5) - 15t_1}{t_1(t_1 + 2.5)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{15t_1 + 37.5 - 15t_1}{t_1^2 + 2.5t_1} = 1$

$\frac{37.5}{t_1^2 + 2.5t_1} = 1$

Отсюда следует, что знаменатель равен числителю:

$t_1^2 + 2.5t_1 = 37.5$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t_1^2 + 2.5t_1 - 37.5 = 0$

Для удобства расчетов умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$2t_1^2 + 5t_1 - 75 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-75) = 25 + 600 = 625$

$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 25}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 25}{4}$

$t_{1,1} = \frac{-5 + 25}{4} = \frac{20}{4} = 5$

$t_{1,2} = \frac{-5 - 25}{4} = \frac{-30}{4} = -7.5$

Так как время не может быть отрицательной величиной, единственное подходящее решение: $t_1 = 5$ секунд.

Теперь найдем время для второй точки:

$t_2 = t_1 + 2.5 = 5 + 2.5 = 7.5$ секунд.

Наконец, найдем количество оборотов в минуту для каждой точки, используя формулы $n_1 = 60/t_1$ и $n_2 = 60/t_2$.

Количество оборотов в минуту для первой точки:

$n_1 = \frac{60}{5} = 12$ оборотов/мин

Количество оборотов в минуту для второй точки:

$n_2 = \frac{60}{7.5} = \frac{600}{75} = 8$ оборотов/мин

Проверим результат: разница в количестве оборотов в минуту составляет $12 - 8 = 4$, что соответствует условию задачи.

Ответ: первая (быстрая) точка делает 12 оборотов в минуту, а вторая (медленная) точка делает 8 оборотов в минуту.