Страница 60 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

129. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} y = 4 - x, \\ x^2 + 3xy = 18; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x + y = -5, \\ xy = -14; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x - 5y = 3, \\ x^2 - 2xy - y^2 = -1; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 + xy - 3y = -1, \\ 4x - y = 3; \end{cases} $

5) $ \begin{cases} 3x - 2y = 9, \\ 4x^2 + 6y = 7; \end{cases} $

6) $ \begin{cases} 6x + y = 5, \\ (x - 3)(y + 5) = 2. \end{cases} $

1) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} y = 4 - x, \\ x^2 + 3xy = 18; \end{cases} $$ Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$x^2 + 3x(4 - x) = 18$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + 12x - 3x^2 = 18$
$-2x^2 + 12x - 18 = 0$
Разделим обе части уравнения на $-2$:
$x^2 - 6x + 9 = 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата разности:
$(x - 3)^2 = 0$
Отсюда находим $x$:
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 3$ в первое уравнение:
$y = 4 - 3 = 1$
Таким образом, решение системы - пара чисел $(3, 1)$.
Ответ: $(3, 1)$.

2) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = -5, \\ xy = -14; \end{cases} $$ Эта система является симметрической. Согласно обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.
Подставим значения из системы:
$t^2 - (-5)t + (-14) = 0$
$t^2 + 5t - 14 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 - 9}{2} = -7$
$t_2 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = 2$
Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(-7, 2)$ и $(2, -7)$.
Ответ: $(-7, 2), (2, -7)$.

3) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - 5y = 3, \\ x^2 - 2xy - y^2 = -1; \end{cases} $$ Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = 3 + 5y$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(3 + 5y)^2 - 2(3 + 5y)y - y^2 = -1$
Раскроем скобки:
$(9 + 30y + 25y^2) - (6y + 10y^2) - y^2 = -1$
$9 + 30y + 25y^2 - 6y - 10y^2 - y^2 = -1$
Приведем подобные слагаемые:
$14y^2 + 24y + 9 + 1 = 0$
$14y^2 + 24y + 10 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$7y^2 + 12y + 5 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 12^2 - 4 \cdot 7 \cdot 5 = 144 - 140 = 4$.
$y_1 = \frac{-12 - \sqrt{4}}{2 \cdot 7} = \frac{-12 - 2}{14} = \frac{-14}{14} = -1$
$y_2 = \frac{-12 + \sqrt{4}}{2 \cdot 7} = \frac{-12 + 2}{14} = \frac{-10}{14} = -\frac{5}{7}$
Найдем соответствующие значения $x$:
При $y_1 = -1$, $x_1 = 3 + 5(-1) = 3 - 5 = -2$.
При $y_2 = -\frac{5}{7}$, $x_2 = 3 + 5(-\frac{5}{7}) = 3 - \frac{25}{7} = \frac{21-25}{7} = -\frac{4}{7}$.
Ответ: $(-2, -1), (-\frac{4}{7}, -\frac{5}{7})$.

4) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + xy - 3y = -1, \\ 4x - y = 3; \end{cases} $$ Выразим $y$ из второго уравнения:
$y = 4x - 3$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + x(4x - 3) - 3(4x - 3) = -1$
Раскроем скобки:
$x^2 + 4x^2 - 3x - 12x + 9 = -1$
Приведем подобные слагаемые:
$5x^2 - 15x + 10 = 0$
Разделим уравнение на 5:
$x^2 - 3x + 2 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1, x_2 = 2$.
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = 1$, $y_1 = 4(1) - 3 = 1$.
При $x_2 = 2$, $y_2 = 4(2) - 3 = 8 - 3 = 5$.
Ответ: $(1, 1), (2, 5)$.

5) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x - 2y = 9, \\ 4x^2 + 6y = 7; \end{cases} $$ Выразим $y$ из первого уравнения.
$2y = 3x - 9 \Rightarrow y = \frac{3x - 9}{2}$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$4x^2 + 6(\frac{3x - 9}{2}) = 7$
$4x^2 + 3(3x - 9) = 7$
$4x^2 + 9x - 27 = 7$
$4x^2 + 9x - 34 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-34) = 81 + 544 = 625$.
$x_1 = \frac{-9 - \sqrt{625}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 - 25}{8} = \frac{-34}{8} = -\frac{17}{4}$
$x_2 = \frac{-9 + \sqrt{625}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 + 25}{8} = \frac{16}{8} = 2$
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = -\frac{17}{4}$, $y_1 = \frac{3(-\frac{17}{4}) - 9}{2} = \frac{-\frac{51}{4} - \frac{36}{4}}{2} = \frac{-\frac{87}{4}}{2} = -\frac{87}{8}$.
При $x_2 = 2$, $y_2 = \frac{3(2) - 9}{2} = \frac{6 - 9}{2} = -\frac{3}{2}$.
Ответ: $(-\frac{17}{4}, -\frac{87}{8}), (2, -\frac{3}{2})$.

6) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 6x + y = 5, \\ (x - 3)(y + 5) = 2; \end{cases} $$ Выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 5 - 6x$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(x - 3)( (5 - 6x) + 5 ) = 2$
$(x - 3)(10 - 6x) = 2$
Раскроем скобки:
$10x - 6x^2 - 30 + 18x = 2$
$-6x^2 + 28x - 30 - 2 = 0$
$-6x^2 + 28x - 32 = 0$
Разделим уравнение на -2:
$3x^2 - 14x + 16 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4$.
$x_1 = \frac{14 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{14 - 2}{6} = \frac{12}{6} = 2$
$x_2 = \frac{14 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{14 + 2}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = 2$, $y_1 = 5 - 6(2) = 5 - 12 = -7$.
При $x_2 = \frac{8}{3}$, $y_2 = 5 - 6(\frac{8}{3}) = 5 - 2 \cdot 8 = 5 - 16 = -11$.
Ответ: $(2, -7), (\frac{8}{3}, -11)$.

130. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:

1) прямой $y=1-5x$ и параболы $y=x^2+x-6$;

2) прямой $x-y-5=0$ и окружности $(x-3)^2+(y+1)^2=13$;

3) прямой $y=-3x+10$ и окружности $x^2+y^2=10$;

4) парабол $y=4x^2+4x+1$ и $y=-2x^2-4x-3$.

1) Чтобы найти точки пересечения, необходимо решить систему уравнений:
$ \begin{cases} y = 1 - 5x \\ y = x^2 + x - 6 \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны:
$1 - 5x = x^2 + x - 6$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 + x - 6 - 1 + 5x = 0$
$x^2 + 6x - 7 = 0$
Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-6$, а произведение равно $-7$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -7$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, подставив их в уравнение прямой $y = 1 - 5x$:
При $x_1 = 1$:
$y_1 = 1 - 5(1) = 1 - 5 = -4$
Первая точка пересечения: $(1; -4)$.
При $x_2 = -7$:
$y_2 = 1 - 5(-7) = 1 + 35 = 36$
Вторая точка пересечения: $(-7; 36)$.
Ответ: (1; -4) и (-7; 36).

2) Нужно решить систему уравнений:
$ \begin{cases} x - y - 5 = 0 \\ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 13 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$:
$y = x - 5$
Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:
$(x - 3)^2 + ((x - 5) + 1)^2 = 13$
$(x - 3)^2 + (x - 4)^2 = 13$
Раскроем скобки:
$(x^2 - 6x + 9) + (x^2 - 8x + 16) = 13$
$2x^2 - 14x + 25 = 13$
$2x^2 - 14x + 12 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$x^2 - 7x + 6 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.
Найдем соответствующие значения $y$, используя $y = x - 5$:
При $x_1 = 1$:
$y_1 = 1 - 5 = -4$
Первая точка пересечения: $(1; -4)$.
При $x_2 = 6$:
$y_2 = 6 - 5 = 1$
Вторая точка пересечения: $(6; 1)$.
Ответ: (1; -4) и (6; 1).

3) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} y = -3x + 10 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases} $
Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$x^2 + (-3x + 10)^2 = 10$
Раскроем скобки:
$x^2 + (9x^2 - 60x + 100) = 10$
$10x^2 - 60x + 100 - 10 = 0$
$10x^2 - 60x + 90 = 0$
Разделим уравнение на 10:
$x^2 - 6x + 9 = 0$
Это уравнение является полным квадратом:
$(x - 3)^2 = 0$
Уравнение имеет один корень: $x = 3$.
Найдем соответствующее значение $y$:
$y = -3(3) + 10 = -9 + 10 = 1$
Существует только одна точка пересечения, что означает, что прямая является касательной к окружности.
Ответ: (3; 1).

4) Чтобы найти точки пересечения двух парабол, решим систему уравнений:
$ \begin{cases} y = 4x^2 + 4x + 1 \\ y = -2x^2 - 4x - 3 \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений:
$4x^2 + 4x + 1 = -2x^2 - 4x - 3$
Перенесем все члены в левую часть:
$4x^2 + 2x^2 + 4x + 4x + 1 + 3 = 0$
$6x^2 + 8x + 4 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$3x^2 + 4x + 2 = 0$
Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = -8$
Так как дискриминант $D < 0$, у уравнения нет действительных корней. Это означает, что параболы не пересекаются.
Ответ: точек пересечения нет.

131. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 = 49, \\ x - y = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4x^2 - 4xy + y^2 = 9, \\ 3x^2 + 2xy - y^2 = 36; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - xy = -8, \\ y^2 - xy = 24; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 5x^2 + 3y^2 = 18, \\ 5x^2 - 3y^2 = 12; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 4xy - y = -40, \\ 5x - 4xy = 27; \end{cases}$

6) $\begin{cases} x^2 + 25y^2 = 29, \\ xy = 2. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 = 49 \\ x - y = 3 \end{cases} $

Первое уравнение является полным квадратом суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

Таким образом, $(x+y)^2 = 49$, откуда следует, что $x+y=7$ или $x+y=-7$.

Рассмотрим два случая:

Случай A:

$ \begin{cases} x+y = 7 \\ x-y = 3 \end{cases} $

Сложим два уравнения: $(x+y) + (x-y) = 7+3$, что дает $2x = 10$, и $x=5$.

Подставим $x=5$ во второе уравнение: $5-y=3$, откуда $y=2$.

Получаем решение $(5, 2)$.

Случай B:

$ \begin{cases} x+y = -7 \\ x-y = 3 \end{cases} $

Сложим два уравнения: $(x+y) + (x-y) = -7+3$, что дает $2x = -4$, и $x=-2$.

Подставим $x=-2$ во второе уравнение: $-2-y=3$, откуда $y=-5$.

Получаем решение $(-2, -5)$.

Ответ: $(5, 2); (-2, -5)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4x^2 - 4xy + y^2 = 9 \\ 3x^2 + 2xy - y^2 = 36 \end{cases} $

Первое уравнение является полным квадратом разности: $4x^2 - 4xy + y^2 = (2x-y)^2$.

Таким образом, $(2x-y)^2 = 9$, откуда следует, что $2x-y=3$ или $2x-y=-3$.

Выразим $y$: $y=2x-3$ или $y=2x+3$.

Случай A: $y=2x-3$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$3x^2 + 2x(2x-3) - (2x-3)^2 = 36$

$3x^2 + 4x^2 - 6x - (4x^2 - 12x + 9) = 36$

$3x^2 + 6x - 45 = 0$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 2(3) - 3 = 3$. Решение $(3, 3)$.

Если $x_2 = -5$, то $y_2 = 2(-5) - 3 = -13$. Решение $(-5, -13)$.

Случай B: $y=2x+3$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$3x^2 + 2x(2x+3) - (2x+3)^2 = 36$

$3x^2 + 4x^2 + 6x - (4x^2 + 12x + 9) = 36$

$3x^2 - 6x - 45 = 0$

$x^2 - 2x - 15 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_3 = 5$ и $x_4 = -3$.

Если $x_3 = 5$, то $y_3 = 2(5) + 3 = 13$. Решение $(5, 13)$.

Если $x_4 = -3$, то $y_4 = 2(-3) + 3 = -3$. Решение $(-3, -3)$.

Ответ: $(3, 3); (-5, -13); (5, 13); (-3, -3)$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - xy = -8 \\ y^2 - xy = 24 \end{cases} $

Сложим два уравнения: $(x^2 - xy) + (y^2 - xy) = -8 + 24$, что дает $x^2 - 2xy + y^2 = 16$.

Это выражение является полным квадратом: $(x-y)^2 = 16$. Отсюда $x-y=4$ или $x-y=-4$.

Вычтем первое уравнение из второго: $(y^2 - xy) - (x^2 - xy) = 24 - (-8)$, что дает $y^2 - x^2 = 32$.

Разложим на множители: $(y-x)(y+x) = 32$.

Рассмотрим два случая:

Случай A: $x-y=4$, что эквивалентно $y-x=-4$.

Подставим в уравнение $(y-x)(y+x) = 32$: $-4(y+x) = 32$, откуда $y+x=-8$.

Решим систему: $ \begin{cases} y-x = -4 \\ y+x = -8 \end{cases} $. Сложение уравнений дает $2y=-12$, т.е. $y=-6$. Тогда $x=-2$. Решение $(-2, -6)$.

Случай B: $x-y=-4$, что эквивалентно $y-x=4$.

Подставим в уравнение $(y-x)(y+x) = 32$: $4(y+x) = 32$, откуда $y+x=8$.

Решим систему: $ \begin{cases} y-x = 4 \\ y+x = 8 \end{cases} $. Сложение уравнений дает $2y=12$, т.е. $y=6$. Тогда $x=2$. Решение $(2, 6)$.

Ответ: $(-2, -6); (2, 6)$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5x^2 + 3y^2 = 18 \\ 5x^2 - 3y^2 = 12 \end{cases} $

Это система линейных уравнений относительно $x^2$ и $y^2$.

Сложим два уравнения: $(5x^2 + 3y^2) + (5x^2 - 3y^2) = 18 + 12$, что дает $10x^2 = 30$, откуда $x^2=3$.

Следовательно, $x = \sqrt{3}$ или $x = -\sqrt{3}$.

Вычтем второе уравнение из первого: $(5x^2 + 3y^2) - (5x^2 - 3y^2) = 18 - 12$, что дает $6y^2 = 6$, откуда $y^2=1$.

Следовательно, $y = 1$ или $y = -1$.

Комбинируя возможные значения $x$ и $y$, получаем четыре решения.

Ответ: $(\sqrt{3}, 1); (\sqrt{3}, -1); (-\sqrt{3}, 1); (-\sqrt{3}, -1)$.

5)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4xy - y = -40 \\ 5x - 4xy = 27 \end{cases} $

Сложим два уравнения: $(4xy - y) + (5x - 4xy) = -40 + 27$, что дает $5x-y=-13$.

Выразим $y$: $y = 5x+13$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$4x(5x+13) - (5x+13) = -40$

$20x^2 + 52x - 5x - 13 = -40$

$20x^2 + 47x + 27 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 47^2 - 4 \cdot 20 \cdot 27 = 2209 - 2160 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-47 \pm 7}{40}$.

$x_1 = \frac{-47+7}{40} = \frac{-40}{40} = -1$.

$x_2 = \frac{-47-7}{40} = \frac{-54}{40} = -\frac{27}{20}$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = -1$, то $y_1 = 5(-1) + 13 = 8$. Решение $(-1, 8)$.

Если $x_2 = -\frac{27}{20}$, то $y_2 = 5(-\frac{27}{20}) + 13 = -\frac{27}{4} + \frac{52}{4} = \frac{25}{4}$. Решение $(-\frac{27}{20}, \frac{25}{4})$.

Ответ: $(-1, 8); (-\frac{27}{20}, \frac{25}{4})$.

6)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 25y^2 = 29 \\ xy = 2 \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $2xy = 4$, а $10xy = 20$.

Преобразуем первое уравнение, добавляя и вычитая $10xy$, чтобы получить полные квадраты:

$x^2 + 10xy + 25y^2 = 29 + 10xy \Rightarrow (x+5y)^2 = 29 + 20 = 49$.

Отсюда $x+5y = 7$ или $x+5y = -7$.

$x^2 - 10xy + 25y^2 = 29 - 10xy \Rightarrow (x-5y)^2 = 29 - 20 = 9$.

Отсюда $x-5y = 3$ или $x-5y = -3$.

Теперь решим четыре системы линейных уравнений:

Случай A: $ \begin{cases} x+5y=7 \\ x-5y=3 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $2x=10$, $x=5$. Вычитая, получим $10y=4$, $y=2/5$. Решение $(5, 2/5)$.

Случай B: $ \begin{cases} x+5y=7 \\ x-5y=-3 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $2x=4$, $x=2$. Вычитая, получим $10y=10$, $y=1$. Решение $(2, 1)$.

Случай C: $ \begin{cases} x+5y=-7 \\ x-5y=3 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $2x=-4$, $x=-2$. Вычитая, получим $10y=-10$, $y=-1$. Решение $(-2, -1)$.

Случай D: $ \begin{cases} x+5y=-7 \\ x-5y=-3 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $2x=-10$, $x=-5$. Вычитая, получим $10y=-4$, $y=-2/5$. Решение $(-5, -2/5)$.

Ответ: $(5, 2/5); (2, 1); (-2, -1); (-5, -2/5)$.

132. Решите систему уравнений:

1) $$\begin{cases} 2x^2 + y^2 = 54 \\ xy = -10 \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} x - y + xy = -4 \\ xy(x - y) = -21 \end{cases}$$

3) $$\begin{cases} x^3 - y^3 = 26 \\ x^2 + xy + y^2 = 13 \end{cases}$$

4) $$\begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{15}{4} \\ 2x - 5y = 9 \end{cases}$$

5) $$\begin{cases} \frac{5}{3x - 2y} + \frac{2}{2x + y} = 21 \\ \frac{9}{3x - 2y} + \frac{8}{2x + y} = 40 \end{cases}$$

6) $$\begin{cases} \frac{2x + y}{x - 2y} + \frac{2(x - 2y)}{2x + y} = 3 \\ x^2 + 3xy - y^2 = 25 \end{cases}$$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^2 + y^2 = 54, \\ xy = -10; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = -\frac{10}{x}$ (при условии, что $x \neq 0$).

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2x^2 + \left(-\frac{10}{x}\right)^2 = 54$

$2x^2 + \frac{100}{x^2} = 54$

Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$2x^4 + 100 = 54x^2$

$2x^4 - 54x^2 + 100 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^4 - 27x^2 + 50 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$ (где $t \ge 0$).

$t^2 - 27t + 50 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Корни: $t_1 = 25$ и $t_2 = 2$.

Вернемся к замене:

1) $x^2 = 25 \implies x_1 = 5, x_2 = -5$.

Если $x_1 = 5$, то $y_1 = -\frac{10}{5} = -2$.

Если $x_2 = -5$, то $y_2 = -\frac{10}{-5} = 2$.

2) $x^2 = 2 \implies x_3 = \sqrt{2}, x_4 = -\sqrt{2}$.

Если $x_3 = \sqrt{2}$, то $y_3 = -\frac{10}{\sqrt{2}} = -\frac{10\sqrt{2}}{2} = -5\sqrt{2}$.

Если $x_4 = -\sqrt{2}$, то $y_4 = -\frac{10}{-\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$.

Таким образом, система имеет четыре пары решений.

Ответ: $(5, -2), (-5, 2), (\sqrt{2}, -5\sqrt{2}), (-\sqrt{2}, 5\sqrt{2})$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y + xy = -4, \\ xy(x - y) = -21; \end{cases} $

Введем новые переменные: пусть $a = x - y$ и $b = xy$.

Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} a + b = -4, \\ ab = -21; \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (a+b)z + ab = 0$.

$z^2 - (-4)z + (-21) = 0$

$z^2 + 4z - 21 = 0$

Находим корни: $z_1 = 3, z_2 = -7$.

Это дает нам две возможные системы для $a$ и $b$:

Случай 1: $a = 3, b = -7$.

$ \begin{cases} x - y = 3, \\ xy = -7; \end{cases} $

Из первого уравнения $x = y + 3$. Подставляем во второе: $(y+3)y = -7 \implies y^2 + 3y + 7 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = -19 < 0$. Действительных корней нет.

Случай 2: $a = -7, b = 3$.

$ \begin{cases} x - y = -7, \\ xy = 3; \end{cases} $

Из первого уравнения $x = y - 7$. Подставляем во второе: $(y-7)y = 3 \implies y^2 - 7y - 3 = 0$.

Решаем квадратное уравнение для $y$:

$y = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 12}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{61}}{2}$.

Если $y_1 = \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$, то $x_1 = y_1 - 7 = \frac{7 + \sqrt{61}}{2} - \frac{14}{2} = \frac{-7 + \sqrt{61}}{2}$.

Если $y_2 = \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$, то $x_2 = y_2 - 7 = \frac{7 - \sqrt{61}}{2} - \frac{14}{2} = \frac{-7 - \sqrt{61}}{2}$.

Ответ: $\left(\frac{-7 + \sqrt{61}}{2}, \frac{7 + \sqrt{61}}{2}\right), \left(\frac{-7 - \sqrt{61}}{2}, \frac{7 - \sqrt{61}}{2}\right)$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^3 - y^3 = 26, \\ x^2 + xy + y^2 = 13; \end{cases} $

Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.

Подставим в нее значения из системы:

$26 = (x - y) \cdot 13$

Отсюда находим, что $x - y = \frac{26}{13} = 2$.

Теперь решаем новую, более простую систему:

$ \begin{cases} x - y = 2, \\ x^2 + xy + y^2 = 13; \end{cases} $

Из первого уравнения $x = y + 2$. Подставим во второе:

$(y+2)^2 + (y+2)y + y^2 = 13$

$(y^2 + 4y + 4) + (y^2 + 2y) + y^2 = 13$

$3y^2 + 6y + 4 = 13$

$3y^2 + 6y - 9 = 0$

Разделим на 3: $y^2 + 2y - 3 = 0$.

Корни этого уравнения: $y_1 = 1, y_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 2 = 3$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = -3 + 2 = -1$.

Ответ: $(3, 1), (-1, -3)$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{15}{4}, \\ 2x - 5y = 9; \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение (при $x \neq 0, y \neq 0$):

$\frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{15}{4}$

$4(x^2 - y^2) = 15xy$

$4x^2 - 15xy - 4y^2 = 0$

Это однородное уравнение. Разделим его на $y^2$ (поскольку $y \neq 0$):

$4\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 15\left(\frac{x}{y}\right) - 4 = 0$

Пусть $t = \frac{x}{y}$. Получаем квадратное уравнение: $4t^2 - 15t - 4 = 0$.

$t = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4)}}{2 \cdot 4} = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 64}}{8} = \frac{15 \pm \sqrt{289}}{8} = \frac{15 \pm 17}{8}$.

$t_1 = \frac{15 + 17}{8} = 4$, $t_2 = \frac{15 - 17}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\frac{x}{y} = 4 \implies x = 4y$.

Подставим во второе уравнение системы: $2(4y) - 5y = 9 \implies 8y - 5y = 9 \implies 3y = 9 \implies y = 3$.

Тогда $x = 4 \cdot 3 = 12$. Получаем решение $(12, 3)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = -\frac{1}{4} \implies y = -4x$.

Подставим во второе уравнение: $2x - 5(-4x) = 9 \implies 2x + 20x = 9 \implies 22x = 9 \implies x = \frac{9}{22}$.

Тогда $y = -4 \cdot \frac{9}{22} = -\frac{36}{22} = -\frac{18}{11}$. Получаем решение $\left(\frac{9}{22}, -\frac{18}{11}\right)$.

Ответ: $(12, 3), \left(\frac{9}{22}, -\frac{18}{11}\right)$.

5)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{5}{3x - 2y} + \frac{2}{2x + y} = 21, \\ \frac{9}{3x - 2y} + \frac{8}{2x + y} = 40; \end{cases} $

Введем новые переменные: $a = \frac{1}{3x - 2y}$ и $b = \frac{1}{2x + y}$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} 5a + 2b = 21, \\ 9a + 8b = 40; \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 4, чтобы уравнять коэффициенты при $b$:

$20a + 8b = 84$

Вычтем из этого уравнения второе уравнение системы:

$(20a + 8b) - (9a + 8b) = 84 - 40$

$11a = 44 \implies a = 4$.

Подставим $a=4$ в первое уравнение $5a + 2b = 21$:

$5(4) + 2b = 21 \implies 20 + 2b = 21 \implies 2b = 1 \implies b = \frac{1}{2}$.

Вернемся к исходным переменным:

$a = \frac{1}{3x - 2y} = 4 \implies 3x - 2y = \frac{1}{4}$.

$b = \frac{1}{2x + y} = \frac{1}{2} \implies 2x + y = 2$.

Решим полученную систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 3x - 2y = \frac{1}{4}, \\ 2x + y = 2; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y = 2 - 2x$. Подставим в первое:

$3x - 2(2 - 2x) = \frac{1}{4}$

$3x - 4 + 4x = \frac{1}{4}$

$7x = 4 + \frac{1}{4} \implies 7x = \frac{17}{4} \implies x = \frac{17}{28}$.

Найдем $y$: $y = 2 - 2\left(\frac{17}{28}\right) = 2 - \frac{17}{14} = \frac{28 - 17}{14} = \frac{11}{14}$.

Ответ: $\left(\frac{17}{28}, \frac{11}{14}\right)$.

6)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{2x + y}{x - 2y} + \frac{2(x - 2y)}{2x + y} = 3, \\ x^2 + 3xy - y^2 = 25. \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение. Обозначим $t = \frac{2x + y}{x - 2y}$. Тогда $\frac{x - 2y}{2x + y} = \frac{1}{t}$.

Уравнение принимает вид (при $t \neq 0$):

$t + \frac{2}{t} = 3$

Умножим на $t$: $t^2 + 2 = 3t \implies t^2 - 3t + 2 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1, t_2 = 2$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $t = \frac{2x + y}{x - 2y} = 1$.

$2x + y = x - 2y \implies x = -3y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(-3y)^2 + 3(-3y)y - y^2 = 25$

$9y^2 - 9y^2 - y^2 = 25 \implies -y^2 = 25 \implies y^2 = -25$.

В этом случае действительных решений нет.

Случай 2: $t = \frac{2x + y}{x - 2y} = 2$.

$2x + y = 2(x - 2y) \implies 2x + y = 2x - 4y \implies y = -4y \implies 5y = 0 \implies y = 0$.

Подставим $y=0$ во второе уравнение системы:

$x^2 + 3x(0) - (0)^2 = 25 \implies x^2 = 25 \implies x = \pm 5$.

Получаем два решения: $(5, 0)$ и $(-5, 0)$.

Проверим, что при этих значениях знаменатели в первом уравнении не равны нулю. Для $(5, 0)$: $x-2y = 5 \neq 0$, $2x+y = 10 \neq 0$. Для $(-5, 0)$: $x-2y = -5 \neq 0$, $2x+y = -10 \neq 0$. Условия выполнены.

Ответ: $(5, 0), (-5, 0)$.