Страница 61 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + 3xy - 10y^2 = 0, \\ x^2 + 2xy - y^2 = 28; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x^2 + xy - 3y^2 = 3, \\ x^2 - 4xy - 3y^2 = 9. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + 3xy - 10y^2 = 0, \\ x^2 + 2xy - y^2 = 28. \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + 3xy - 10y^2 = 0$ является однородным уравнением второй степени. Его можно решить как квадратное уравнение относительно переменной $x$.

Рассчитаем дискриминант: $D = (3y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10y^2) = 9y^2 + 40y^2 = 49y^2 = (7y)^2$.

Найдем корни для $x$: $x = \frac{-3y \pm \sqrt{(7y)^2}}{2} = \frac{-3y \pm 7y}{2}$.

Это дает нам два возможных случая:

1. $x_1 = \frac{-3y + 7y}{2} = \frac{4y}{2} = 2y$.

2. $x_2 = \frac{-3y - 7y}{2} = \frac{-10y}{2} = -5y$.

Теперь подставим эти выражения для $x$ во второе уравнение системы $x^2 + 2xy - y^2 = 28$.

Рассмотрим случай 1: $x = 2y$

$(2y)^2 + 2(2y)y - y^2 = 28$
$4y^2 + 4y^2 - y^2 = 28$
$7y^2 = 28$
$y^2 = 4$
Отсюда $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2y_1 = 2 \cdot 2 = 4$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 2y_2 = 2 \cdot (-2) = -4$.

Таким образом, мы получили две пары решений: $(4, 2)$ и $(-4, -2)$.

Рассмотрим случай 2: $x = -5y$

$(-5y)^2 + 2(-5y)y - y^2 = 28$
$25y^2 - 10y^2 - y^2 = 28$
$14y^2 = 28$
$y^2 = 2$
Отсюда $y_3 = \sqrt{2}$ и $y_4 = -\sqrt{2}$.

Если $y_3 = \sqrt{2}$, то $x_3 = -5y_3 = -5\sqrt{2}$.

Если $y_4 = -\sqrt{2}$, то $x_4 = -5y_4 = -5(-\sqrt{2}) = 5\sqrt{2}$.

Таким образом, мы получили еще две пары решений: $(-5\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(5\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

Ответ: $(4, 2)$, $(-4, -2)$, $(-5\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $(5\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 + xy - 3y^2 = 3, \\ x^2 - 4xy - 3y^2 = 9. \end{cases} $

Для решения этой системы приведем оба уравнения к одному свободному члену. Умножим первое уравнение на 3:

$3 \cdot (2x^2 + xy - 3y^2) = 3 \cdot 3$
$6x^2 + 3xy - 9y^2 = 9$

Теперь у нас есть два уравнения, правые части которых равны 9. Приравняем их левые части:

$6x^2 + 3xy - 9y^2 = x^2 - 4xy - 3y^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить однородное уравнение:

$5x^2 + 7xy - 6y^2 = 0$

Решим это уравнение как квадратное относительно $x$.

Дискриминант: $D = (7y)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6y^2) = 49y^2 + 120y^2 = 169y^2 = (13y)^2$.

Корни для $x$: $x = \frac{-7y \pm \sqrt{(13y)^2}}{2 \cdot 5} = \frac{-7y \pm 13y}{10}$.

Получаем два случая:

1. $x_1 = \frac{-7y + 13y}{10} = \frac{6y}{10} = \frac{3}{5}y$.

2. $x_2 = \frac{-7y - 13y}{10} = \frac{-20y}{10} = -2y$.

Подставим полученные выражения в любое из исходных уравнений. Используем второе: $x^2 - 4xy - 3y^2 = 9$.

Рассмотрим случай 1: $x = \frac{3}{5}y$

$(\frac{3}{5}y)^2 - 4(\frac{3}{5}y)y - 3y^2 = 9$
$\frac{9}{25}y^2 - \frac{12}{5}y^2 - 3y^2 = 9$
Умножим на 25: $9y^2 - 60y^2 - 75y^2 = 225$
$-126y^2 = 225$
$y^2 = -\frac{225}{126}$

В этом случае действительных решений нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Рассмотрим случай 2: $x = -2y$

$(-2y)^2 - 4(-2y)y - 3y^2 = 9$
$4y^2 + 8y^2 - 3y^2 = 9$
$9y^2 = 9$
$y^2 = 1$
Отсюда $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = -2y_1 = -2 \cdot 1 = -2$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = -2y_2 = -2 \cdot (-1) = 2$.

Мы получили две пары решений: $(-2, 1)$ и $(2, -1)$.

Ответ: $(-2, 1)$, $(2, -1)$.

134. Сколько решений в зависимости от значения $a$ имеет система уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x - a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a^2, \\ |y| = 5? \end{cases}$

1) Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = x - a \end{cases}$

Данная система описывает пересечение окружности с центром в начале координат и радиусом 2, и прямой с угловым коэффициентом 1. Количество решений системы равно количеству точек пересечения. Решим систему аналитически, методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (x - a)^2 = 4$

$x^2 + x^2 - 2ax + a^2 = 4$

$2x^2 - 2ax + (a^2 - 4) = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $x$. Количество решений системы зависит от количества корней этого уравнения, которое, в свою очередь, определяется знаком дискриминанта $D$.

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 4) = 4a^2 - 8(a^2 - 4) = 4a^2 - 8a^2 + 32 = 32 - 4a^2$.

Рассмотрим три случая:

1. Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, система не имеет решений.

$32 - 4a^2 < 0 \implies 4a^2 > 32 \implies a^2 > 8 \implies |a| > \sqrt{8} \implies |a| > 2\sqrt{2}$.

Таким образом, при $a \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$ решений нет.

2. Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень, следовательно, система имеет одно решение.

$32 - 4a^2 = 0 \implies a^2 = 8 \implies a = \pm \sqrt{8} \implies a = \pm 2\sqrt{2}$.

Таким образом, при $a = 2\sqrt{2}$ и $a = -2\sqrt{2}$ система имеет одно решение.

3. Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, система имеет два решения.

$32 - 4a^2 > 0 \implies 4a^2 < 32 \implies a^2 < 8 \implies |a| < \sqrt{8} \implies |a| < 2\sqrt{2}$.

Таким образом, при $a \in (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$ система имеет два решения.

Ответ: если $|a| < 2\sqrt{2}$, то система имеет два решения; если $|a| = 2\sqrt{2}$, то система имеет одно решение; если $|a| > 2\sqrt{2}$, то система не имеет решений.

2) Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = a^2 \\ |y| = 5 \end{cases}$

Первое уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом $R = |a|$. Второе уравнение $|y| = 5$ эквивалентно двум горизонтальным прямым: $y=5$ и $y=-5$.

Подставим значение $y^2 = (\pm 5)^2 = 25$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + 25 = a^2$

$x^2 = a^2 - 25$

Количество решений этой системы зависит от количества действительных корней уравнения для $x$.

1. Если $a^2 - 25 < 0$, то уравнение для $x$ не имеет действительных корней.

$a^2 < 25 \implies |a| < 5$.

В этом случае система не имеет решений.

2. Если $a^2 - 25 = 0$, то уравнение $x^2=0$ имеет один корень $x=0$.

$a^2 = 25 \implies a = \pm 5$.

При $x=0$ из второго уравнения системы $|y|=5$ получаем два значения: $y=5$ и $y=-5$. Таким образом, система имеет два решения: $(0, 5)$ и $(0, -5)$.

3. Если $a^2 - 25 > 0$, то уравнение $x^2 = a^2 - 25$ имеет два различных действительных корня: $x = \sqrt{a^2 - 25}$ и $x = -\sqrt{a^2 - 25}$.

$a^2 > 25 \implies |a| > 5$.

Для каждого из этих двух значений $x$ существуют два значения $y$ ($y=5$ и $y=-5$). Следовательно, система имеет четыре решения:

$(\sqrt{a^2 - 25}, 5)$, $(-\sqrt{a^2 - 25}, 5)$, $(\sqrt{a^2 - 25}, -5)$, $(-\sqrt{a^2 - 25}, -5)$.

Ответ: если $|a| < 5$, то система не имеет решений; если $|a| = 5$, то система имеет два решения; если $|a| > 5$, то система имеет четыре решения.

135. Для перевозки 15 т груза вместо автомобиля определённой грузоподъёмности взяли другой автомобиль, грузоподъёмность которого на 2 т больше, чем первого. Поэтому для перевозки груза понадобилось на 2 рейса меньше, чем планировалось. Какова грузоподъёмность автомобиля, который перевёз груз?

Пусть $x$ (т) — грузоподъёмность первого автомобиля, который планировалось использовать. Тогда количество рейсов, которое ему понадобилось бы для перевозки 15 т груза, составляет $\frac{15}{x}$.

Взяли другой автомобиль, грузоподъёмность которого на 2 т больше, то есть она равна $(x+2)$ т. Этому автомобилю для перевозки 15 т груза понадобилось $\frac{15}{x+2}$ рейсов.

По условию задачи, количество рейсов второго автомобиля было на 2 меньше, чем у первого. На основании этого составим уравнение:

$\frac{15}{x} - \frac{15}{x+2} = 2$

Для решения приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x+2)$. Учитываем, что по смыслу задачи $x>0$.

$\frac{15(x+2) - 15x}{x(x+2)} = 2$

$\frac{15x + 30 - 15x}{x^2 + 2x} = 2$

$\frac{30}{x^2 + 2x} = 2$

Из пропорции следует:

$2(x^2 + 2x) = 30$

$x^2 + 2x = 15$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант или по теореме Виета.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -2$

$x_1 \cdot x_2 = -15$

Подбором находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Так как грузоподъёмность автомобиля ($x$) не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, грузоподъёмность первого автомобиля составляет 3 т.

Вопрос задачи — найти грузоподъёмность автомобиля, который перевёз груз. Это второй автомобиль, грузоподъёмность которого равна $x+2$.

$3 + 2 = 5$ (т).

Проверим решение:

Планируемое количество рейсов: $\frac{15}{3} = 5$ рейсов.

Фактическое количество рейсов: $\frac{15}{5} = 3$ рейса.

Разница составляет $5 - 3 = 2$ рейса, что соответствует условию.

Ответ: 5 т.

136. Два поезда отправились одновременно от станций A и B навстречу друг другу, и после встречи каждый продолжил движение в первоначальном направлении. Первый из них, скорость которого на 10 км/ч меньше скорости второго, прибыл на станцию B через 3 ч 36 мин после встречи, а второй на станцию A — через 2 ч 30 мин после встречи. Найдите скорость, с которой двигался каждый поезд. Через какое время после начала движения состоялась встреча?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_1$ – скорость первого поезда (км/ч).
• $v_2$ – скорость второго поезда (км/ч).
• $t$ – время от начала движения до встречи (ч).
• $t_1$ – время, которое первый поезд ехал после встречи до станции $B$.
• $t_2$ – время, которое второй поезд ехал после встречи до станции $A$.

Из условия задачи нам известно:

• $v_1 = v_2 - 10$
• $t_1 = 3$ ч $36$ мин $= 3 + \frac{36}{60} = 3.6$ ч
• $t_2 = 2$ ч $30$ мин $= 2 + \frac{30}{60} = 2.5$ ч

Пусть поезда встретились в точке $C$. Расстояние от станции $A$ до точки $C$ первый поезд проехал за время $t$, то есть $S_{AC} = v_1 \cdot t$. Это же расстояние второй поезд проехал после встречи за время $t_2$, то есть $S_{AC} = v_2 \cdot t_2$.

Расстояние от станции $B$ до точки $C$ второй поезд проехал за время $t$, то есть $S_{BC} = v_2 \cdot t$. Это же расстояние первый поезд проехал после встречи за время $t_1$, то есть $S_{BC} = v_1 \cdot t_1$.

Таким образом, мы имеем систему уравнений:

$v_1 \cdot t = v_2 \cdot t_2$

$v_2 \cdot t = v_1 \cdot t_1$

Найдите скорость, с которой двигался каждый поезд.

Разделим первое уравнение на второе:

$\frac{v_1 \cdot t}{v_2 \cdot t} = \frac{v_2 \cdot t_2}{v_1 \cdot t_1}$

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{v_2 \cdot t_2}{v_1 \cdot t_1}$

Перемножим крест-накрест:

$v_1^2 \cdot t_1 = v_2^2 \cdot t_2$

Отсюда получим соотношение квадратов скоростей:

$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{t_2}{t_1}$

Тогда соотношение скоростей равно:

$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{t_2}{t_1}}$

Подставим известные значения $t_1$ и $t_2$:

$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{2.5}{3.6}} = \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}$

Мы получили соотношение $v_1 = \frac{5}{6}v_2$. Теперь используем условие, что $v_1 = v_2 - 10$:

$\frac{5}{6}v_2 = v_2 - 10$

$v_2 - \frac{5}{6}v_2 = 10$

$\frac{1}{6}v_2 = 10$

$v_2 = 60$ км/ч

Теперь найдем скорость первого поезда:

$v_1 = v_2 - 10 = 60 - 10 = 50$ км/ч

Ответ: скорость первого поезда – 50 км/ч, скорость второго поезда – 60 км/ч.

Через какое время после начала движения состоялась встреча?

Для нахождения времени до встречи $t$, воспользуемся одним из уравнений нашей системы, например, $v_1 \cdot t = v_2 \cdot t_2$:

$t = \frac{v_2 \cdot t_2}{v_1}$

Подставим найденные скорости и известное время $t_2$:

$t = \frac{60 \cdot 2.5}{50} = \frac{6 \cdot 2.5}{5} = \frac{15}{5} = 3$ ч

Можно также получить общую формулу для времени встречи, перемножив два исходных уравнения системы:

$(v_1 t) \cdot (v_2 t) = (v_2 t_2) \cdot (v_1 t_1)$

$v_1 v_2 t^2 = v_1 v_2 t_1 t_2$

$t^2 = t_1 t_2 \implies t = \sqrt{t_1 t_2}$

Подставив значения, получим тот же результат:

$t = \sqrt{3.6 \cdot 2.5} = \sqrt{9} = 3$ ч

Ответ: встреча состоялась через 3 часа после начала движения.

137. От пристани A в направлении пристани B, расстояние между которыми равно 90 км, отправились одновременно два катера. Первый катер прибыл на пристань B на 1 ч 15 мин раньше второго. Найдите скорость каждого катера, если второй катер за 3 ч проходит на 30 км больше, чем первый за 1 ч, и скорость каждого катера не превышает 30 км/ч.

Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого катера, а $v_2$ км/ч — скорость второго катера.

Расстояние между пристанями A и B равно $S = 90$ км. Время, за которое первый катер проходит это расстояние, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{90}{v_1}$ ч. Время второго катера — $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{90}{v_2}$ ч.

По условию, первый катер прибыл на 1 ч 15 мин раньше второго. Переведем разницу во времени в часы: 1 ч 15 мин = $1 + \frac{15}{60} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ часа.

Так как первый катер прибыл раньше, его время в пути меньше. Значит, $t_2 - t_1 = \frac{5}{4}$. Составим первое уравнение:

$\frac{90}{v_2} - \frac{90}{v_1} = \frac{5}{4}$

Из второго условия известно, что второй катер за 3 часа проходит на 30 км больше, чем первый за 1 час. Расстояние, которое проходит второй катер за 3 часа, равно $3 \cdot v_2$ км. Расстояние, которое проходит первый катер за 1 час, равно $1 \cdot v_1$ км. Составим второе уравнение:

$3v_2 = v_1 + 30$

Получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} \frac{90}{v_2} - \frac{90}{v_1} = \frac{5}{4} \\ 3v_2 = v_1 + 30 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $v_1$:

$v_1 = 3v_2 - 30$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{90}{v_2} - \frac{90}{3v_2 - 30} = \frac{5}{4}$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$\frac{18}{v_2} - \frac{18}{3v_2 - 30} = \frac{1}{4}$

В знаменателе второго слагаемого вынесем 3 за скобки:

$\frac{18}{v_2} - \frac{18}{3(v_2 - 10)} = \frac{1}{4}$

$\frac{18}{v_2} - \frac{6}{v_2 - 10} = \frac{1}{4}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v_2(v_2 - 10)$:

$\frac{18(v_2 - 10) - 6v_2}{v_2(v_2 - 10)} = \frac{1}{4}$

$\frac{18v_2 - 180 - 6v_2}{v_2^2 - 10v_2} = \frac{1}{4}$

$\frac{12v_2 - 180}{v_2^2 - 10v_2} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$4(12v_2 - 180) = v_2^2 - 10v_2$

$48v_2 - 720 = v_2^2 - 10v_2$

$v_2^2 - 58v_2 + 720 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-58)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 720 = 3364 - 2880 = 484 = 22^2$

Найдем корни уравнения:

$v_{2,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 + 22}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$v_{2,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 - 22}{2} = \frac{36}{2} = 18$

По условию задачи, скорость каждого катера не превышает 30 км/ч. Корень $v_{2,1} = 40$ не удовлетворяет этому условию ($40 > 30$), поэтому он является посторонним.

Следовательно, скорость второго катера $v_2 = 18$ км/ч.

Теперь найдем скорость первого катера:

$v_1 = 3v_2 - 30 = 3 \cdot 18 - 30 = 54 - 30 = 24$

Скорость первого катера $v_1 = 24$ км/ч. Это значение также удовлетворяет условию, так как $24 \le 30$.

Ответ: скорость первого катера — 24 км/ч, скорость второго катера — 18 км/ч.

138. Теплоход проходит 60 км против течения реки и 54 км в стоячей воде за 4 ч 30 мин. На прохождение 162 км в стоячей воде теплоходу требуется на 3 ч больше, чем на прохождение 72 км против течения этой реки. Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения реки.

Пусть собственная скорость теплохода равна $x$ км/ч, а скорость течения реки — $y$ км/ч. Тогда скорость теплохода против течения реки составляет $(x - y)$ км/ч. Исходя из условия, $x > y > 0$.

Из первого условия задачи известно, что теплоход проходит 60 км против течения и 54 км в стоячей воде (где скорость равна собственной скорости) за 4 часа 30 минут (то есть за 4,5 часа). Составим первое уравнение, используя формулу времени $t = \frac{s}{v}$:

$\frac{60}{x - y} + \frac{54}{x} = 4.5$

Из второго условия известно, что на прохождение 162 км в стоячей воде теплоходу требуется на 3 часа больше, чем на прохождение 72 км против течения. Составим второе уравнение:

$\frac{162}{x} - \frac{72}{x - y} = 3$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} \frac{60}{x - y} + \frac{54}{x} = 4.5 \\ \frac{162}{x} - \frac{72}{x - y} = 3 \end{cases}$

Для решения системы выразим $\frac{1}{x-y}$ из второго уравнения:

$\frac{162}{x} - 3 = \frac{72}{x - y}$

$\frac{162 - 3x}{x} = \frac{72}{x - y}$

$\frac{1}{x - y} = \frac{162 - 3x}{72x}$

Теперь подставим полученное выражение в первое уравнение системы:

$60 \cdot \left(\frac{162 - 3x}{72x}\right) + \frac{54}{x} = 4.5$

Сократим дробь $\frac{60}{72}$ на 12, что даст $\frac{5}{6}$:

$\frac{5(162 - 3x)}{6x} + \frac{54}{x} = 4.5$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на $6x$ (мы знаем, что $x \neq 0$):

$5(162 - 3x) + 54 \cdot 6 = 4.5 \cdot 6x$

$810 - 15x + 324 = 27x$

$1134 = 27x + 15x$

$1134 = 42x$

$x = \frac{1134}{42}$

$x = 27$

Итак, собственная скорость теплохода составляет 27 км/ч.

Теперь найдем скорость течения $y$, подставив значение $x=27$ во второе уравнение исходной системы:

$\frac{162}{27} - \frac{72}{27 - y} = 3$

$6 - \frac{72}{27 - y} = 3$

$6 - 3 = \frac{72}{27 - y}$

$3 = \frac{72}{27 - y}$

$3(27 - y) = 72$

$27 - y = \frac{72}{3}$

$27 - y = 24$

$y = 27 - 24$

$y = 3$

Следовательно, скорость течения реки равна 3 км/ч.

Выполним проверку, подставив найденные значения скоростей в первое уравнение:

$\frac{60}{27 - 3} + \frac{54}{27} = \frac{60}{24} + 2 = 2.5 + 2 = 4.5$.

Равенство верное, значит, задача решена правильно.

Ответ: собственная скорость теплохода 27 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч.