Номер 138, страница 61 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

138. Теплоход проходит 60 км против течения реки и 54 км в стоячей воде за 4 ч 30 мин. На прохождение 162 км в стоячей воде теплоходу требуется на 3 ч больше, чем на прохождение 72 км против течения этой реки. Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения реки.

Пусть собственная скорость теплохода равна $x$ км/ч, а скорость течения реки — $y$ км/ч. Тогда скорость теплохода против течения реки составляет $(x - y)$ км/ч. Исходя из условия, $x > y > 0$.

Из первого условия задачи известно, что теплоход проходит 60 км против течения и 54 км в стоячей воде (где скорость равна собственной скорости) за 4 часа 30 минут (то есть за 4,5 часа). Составим первое уравнение, используя формулу времени $t = \frac{s}{v}$:

$\frac{60}{x - y} + \frac{54}{x} = 4.5$

Из второго условия известно, что на прохождение 162 км в стоячей воде теплоходу требуется на 3 часа больше, чем на прохождение 72 км против течения. Составим второе уравнение:

$\frac{162}{x} - \frac{72}{x - y} = 3$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} \frac{60}{x - y} + \frac{54}{x} = 4.5 \\ \frac{162}{x} - \frac{72}{x - y} = 3 \end{cases}$

Для решения системы выразим $\frac{1}{x-y}$ из второго уравнения:

$\frac{162}{x} - 3 = \frac{72}{x - y}$

$\frac{162 - 3x}{x} = \frac{72}{x - y}$

$\frac{1}{x - y} = \frac{162 - 3x}{72x}$

Теперь подставим полученное выражение в первое уравнение системы:

$60 \cdot \left(\frac{162 - 3x}{72x}\right) + \frac{54}{x} = 4.5$

Сократим дробь $\frac{60}{72}$ на 12, что даст $\frac{5}{6}$:

$\frac{5(162 - 3x)}{6x} + \frac{54}{x} = 4.5$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на $6x$ (мы знаем, что $x \neq 0$):

$5(162 - 3x) + 54 \cdot 6 = 4.5 \cdot 6x$

$810 - 15x + 324 = 27x$

$1134 = 27x + 15x$

$1134 = 42x$

$x = \frac{1134}{42}$

$x = 27$

Итак, собственная скорость теплохода составляет 27 км/ч.

Теперь найдем скорость течения $y$, подставив значение $x=27$ во второе уравнение исходной системы:

$\frac{162}{27} - \frac{72}{27 - y} = 3$

$6 - \frac{72}{27 - y} = 3$

$6 - 3 = \frac{72}{27 - y}$

$3 = \frac{72}{27 - y}$

$3(27 - y) = 72$

$27 - y = \frac{72}{3}$

$27 - y = 24$

$y = 27 - 24$

$y = 3$

Следовательно, скорость течения реки равна 3 км/ч.

Выполним проверку, подставив найденные значения скоростей в первое уравнение:

$\frac{60}{27 - 3} + \frac{54}{27} = \frac{60}{24} + 2 = 2.5 + 2 = 4.5$.

Равенство верное, значит, задача решена правильно.

Ответ: собственная скорость теплохода 27 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч.