Номер 137, страница 61 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. От пристани A в направлении пристани B, расстояние между которыми равно 90 км, отправились одновременно два катера. Первый катер прибыл на пристань B на 1 ч 15 мин раньше второго. Найдите скорость каждого катера, если второй катер за 3 ч проходит на 30 км больше, чем первый за 1 ч, и скорость каждого катера не превышает 30 км/ч.

Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого катера, а $v_2$ км/ч — скорость второго катера.

Расстояние между пристанями A и B равно $S = 90$ км. Время, за которое первый катер проходит это расстояние, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{90}{v_1}$ ч. Время второго катера — $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{90}{v_2}$ ч.

По условию, первый катер прибыл на 1 ч 15 мин раньше второго. Переведем разницу во времени в часы: 1 ч 15 мин = $1 + \frac{15}{60} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ часа.

Так как первый катер прибыл раньше, его время в пути меньше. Значит, $t_2 - t_1 = \frac{5}{4}$. Составим первое уравнение:

$\frac{90}{v_2} - \frac{90}{v_1} = \frac{5}{4}$

Из второго условия известно, что второй катер за 3 часа проходит на 30 км больше, чем первый за 1 час. Расстояние, которое проходит второй катер за 3 часа, равно $3 \cdot v_2$ км. Расстояние, которое проходит первый катер за 1 час, равно $1 \cdot v_1$ км. Составим второе уравнение:

$3v_2 = v_1 + 30$

Получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} \frac{90}{v_2} - \frac{90}{v_1} = \frac{5}{4} \\ 3v_2 = v_1 + 30 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $v_1$:

$v_1 = 3v_2 - 30$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{90}{v_2} - \frac{90}{3v_2 - 30} = \frac{5}{4}$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$\frac{18}{v_2} - \frac{18}{3v_2 - 30} = \frac{1}{4}$

В знаменателе второго слагаемого вынесем 3 за скобки:

$\frac{18}{v_2} - \frac{18}{3(v_2 - 10)} = \frac{1}{4}$

$\frac{18}{v_2} - \frac{6}{v_2 - 10} = \frac{1}{4}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v_2(v_2 - 10)$:

$\frac{18(v_2 - 10) - 6v_2}{v_2(v_2 - 10)} = \frac{1}{4}$

$\frac{18v_2 - 180 - 6v_2}{v_2^2 - 10v_2} = \frac{1}{4}$

$\frac{12v_2 - 180}{v_2^2 - 10v_2} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$4(12v_2 - 180) = v_2^2 - 10v_2$

$48v_2 - 720 = v_2^2 - 10v_2$

$v_2^2 - 58v_2 + 720 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-58)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 720 = 3364 - 2880 = 484 = 22^2$

Найдем корни уравнения:

$v_{2,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 + 22}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$v_{2,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 - 22}{2} = \frac{36}{2} = 18$

По условию задачи, скорость каждого катера не превышает 30 км/ч. Корень $v_{2,1} = 40$ не удовлетворяет этому условию ($40 > 30$), поэтому он является посторонним.

Следовательно, скорость второго катера $v_2 = 18$ км/ч.

Теперь найдем скорость первого катера:

$v_1 = 3v_2 - 30 = 3 \cdot 18 - 30 = 54 - 30 = 24$

Скорость первого катера $v_1 = 24$ км/ч. Это значение также удовлетворяет условию, так как $24 \le 30$.

Ответ: скорость первого катера — 24 км/ч, скорость второго катера — 18 км/ч.