Номер 132, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

132. Решите систему уравнений:

1) $$\begin{cases} 2x^2 + y^2 = 54 \\ xy = -10 \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} x - y + xy = -4 \\ xy(x - y) = -21 \end{cases}$$

3) $$\begin{cases} x^3 - y^3 = 26 \\ x^2 + xy + y^2 = 13 \end{cases}$$

4) $$\begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{15}{4} \\ 2x - 5y = 9 \end{cases}$$

5) $$\begin{cases} \frac{5}{3x - 2y} + \frac{2}{2x + y} = 21 \\ \frac{9}{3x - 2y} + \frac{8}{2x + y} = 40 \end{cases}$$

6) $$\begin{cases} \frac{2x + y}{x - 2y} + \frac{2(x - 2y)}{2x + y} = 3 \\ x^2 + 3xy - y^2 = 25 \end{cases}$$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^2 + y^2 = 54, \\ xy = -10; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = -\frac{10}{x}$ (при условии, что $x \neq 0$).

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2x^2 + \left(-\frac{10}{x}\right)^2 = 54$

$2x^2 + \frac{100}{x^2} = 54$

Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$2x^4 + 100 = 54x^2$

$2x^4 - 54x^2 + 100 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^4 - 27x^2 + 50 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$ (где $t \ge 0$).

$t^2 - 27t + 50 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Корни: $t_1 = 25$ и $t_2 = 2$.

Вернемся к замене:

1) $x^2 = 25 \implies x_1 = 5, x_2 = -5$.

Если $x_1 = 5$, то $y_1 = -\frac{10}{5} = -2$.

Если $x_2 = -5$, то $y_2 = -\frac{10}{-5} = 2$.

2) $x^2 = 2 \implies x_3 = \sqrt{2}, x_4 = -\sqrt{2}$.

Если $x_3 = \sqrt{2}$, то $y_3 = -\frac{10}{\sqrt{2}} = -\frac{10\sqrt{2}}{2} = -5\sqrt{2}$.

Если $x_4 = -\sqrt{2}$, то $y_4 = -\frac{10}{-\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$.

Таким образом, система имеет четыре пары решений.

Ответ: $(5, -2), (-5, 2), (\sqrt{2}, -5\sqrt{2}), (-\sqrt{2}, 5\sqrt{2})$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y + xy = -4, \\ xy(x - y) = -21; \end{cases} $

Введем новые переменные: пусть $a = x - y$ и $b = xy$.

Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} a + b = -4, \\ ab = -21; \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (a+b)z + ab = 0$.

$z^2 - (-4)z + (-21) = 0$

$z^2 + 4z - 21 = 0$

Находим корни: $z_1 = 3, z_2 = -7$.

Это дает нам две возможные системы для $a$ и $b$:

Случай 1: $a = 3, b = -7$.

$ \begin{cases} x - y = 3, \\ xy = -7; \end{cases} $

Из первого уравнения $x = y + 3$. Подставляем во второе: $(y+3)y = -7 \implies y^2 + 3y + 7 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = -19 < 0$. Действительных корней нет.

Случай 2: $a = -7, b = 3$.

$ \begin{cases} x - y = -7, \\ xy = 3; \end{cases} $

Из первого уравнения $x = y - 7$. Подставляем во второе: $(y-7)y = 3 \implies y^2 - 7y - 3 = 0$.

Решаем квадратное уравнение для $y$:

$y = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 12}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{61}}{2}$.

Если $y_1 = \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$, то $x_1 = y_1 - 7 = \frac{7 + \sqrt{61}}{2} - \frac{14}{2} = \frac{-7 + \sqrt{61}}{2}$.

Если $y_2 = \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$, то $x_2 = y_2 - 7 = \frac{7 - \sqrt{61}}{2} - \frac{14}{2} = \frac{-7 - \sqrt{61}}{2}$.

Ответ: $\left(\frac{-7 + \sqrt{61}}{2}, \frac{7 + \sqrt{61}}{2}\right), \left(\frac{-7 - \sqrt{61}}{2}, \frac{7 - \sqrt{61}}{2}\right)$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^3 - y^3 = 26, \\ x^2 + xy + y^2 = 13; \end{cases} $

Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.

Подставим в нее значения из системы:

$26 = (x - y) \cdot 13$

Отсюда находим, что $x - y = \frac{26}{13} = 2$.

Теперь решаем новую, более простую систему:

$ \begin{cases} x - y = 2, \\ x^2 + xy + y^2 = 13; \end{cases} $

Из первого уравнения $x = y + 2$. Подставим во второе:

$(y+2)^2 + (y+2)y + y^2 = 13$

$(y^2 + 4y + 4) + (y^2 + 2y) + y^2 = 13$

$3y^2 + 6y + 4 = 13$

$3y^2 + 6y - 9 = 0$

Разделим на 3: $y^2 + 2y - 3 = 0$.

Корни этого уравнения: $y_1 = 1, y_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 2 = 3$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = -3 + 2 = -1$.

Ответ: $(3, 1), (-1, -3)$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{15}{4}, \\ 2x - 5y = 9; \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение (при $x \neq 0, y \neq 0$):

$\frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{15}{4}$

$4(x^2 - y^2) = 15xy$

$4x^2 - 15xy - 4y^2 = 0$

Это однородное уравнение. Разделим его на $y^2$ (поскольку $y \neq 0$):

$4\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 15\left(\frac{x}{y}\right) - 4 = 0$

Пусть $t = \frac{x}{y}$. Получаем квадратное уравнение: $4t^2 - 15t - 4 = 0$.

$t = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4)}}{2 \cdot 4} = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 64}}{8} = \frac{15 \pm \sqrt{289}}{8} = \frac{15 \pm 17}{8}$.

$t_1 = \frac{15 + 17}{8} = 4$, $t_2 = \frac{15 - 17}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\frac{x}{y} = 4 \implies x = 4y$.

Подставим во второе уравнение системы: $2(4y) - 5y = 9 \implies 8y - 5y = 9 \implies 3y = 9 \implies y = 3$.

Тогда $x = 4 \cdot 3 = 12$. Получаем решение $(12, 3)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = -\frac{1}{4} \implies y = -4x$.

Подставим во второе уравнение: $2x - 5(-4x) = 9 \implies 2x + 20x = 9 \implies 22x = 9 \implies x = \frac{9}{22}$.

Тогда $y = -4 \cdot \frac{9}{22} = -\frac{36}{22} = -\frac{18}{11}$. Получаем решение $\left(\frac{9}{22}, -\frac{18}{11}\right)$.

Ответ: $(12, 3), \left(\frac{9}{22}, -\frac{18}{11}\right)$.

5)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{5}{3x - 2y} + \frac{2}{2x + y} = 21, \\ \frac{9}{3x - 2y} + \frac{8}{2x + y} = 40; \end{cases} $

Введем новые переменные: $a = \frac{1}{3x - 2y}$ и $b = \frac{1}{2x + y}$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} 5a + 2b = 21, \\ 9a + 8b = 40; \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 4, чтобы уравнять коэффициенты при $b$:

$20a + 8b = 84$

Вычтем из этого уравнения второе уравнение системы:

$(20a + 8b) - (9a + 8b) = 84 - 40$

$11a = 44 \implies a = 4$.

Подставим $a=4$ в первое уравнение $5a + 2b = 21$:

$5(4) + 2b = 21 \implies 20 + 2b = 21 \implies 2b = 1 \implies b = \frac{1}{2}$.

Вернемся к исходным переменным:

$a = \frac{1}{3x - 2y} = 4 \implies 3x - 2y = \frac{1}{4}$.

$b = \frac{1}{2x + y} = \frac{1}{2} \implies 2x + y = 2$.

Решим полученную систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 3x - 2y = \frac{1}{4}, \\ 2x + y = 2; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y = 2 - 2x$. Подставим в первое:

$3x - 2(2 - 2x) = \frac{1}{4}$

$3x - 4 + 4x = \frac{1}{4}$

$7x = 4 + \frac{1}{4} \implies 7x = \frac{17}{4} \implies x = \frac{17}{28}$.

Найдем $y$: $y = 2 - 2\left(\frac{17}{28}\right) = 2 - \frac{17}{14} = \frac{28 - 17}{14} = \frac{11}{14}$.

Ответ: $\left(\frac{17}{28}, \frac{11}{14}\right)$.

6)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{2x + y}{x - 2y} + \frac{2(x - 2y)}{2x + y} = 3, \\ x^2 + 3xy - y^2 = 25. \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение. Обозначим $t = \frac{2x + y}{x - 2y}$. Тогда $\frac{x - 2y}{2x + y} = \frac{1}{t}$.

Уравнение принимает вид (при $t \neq 0$):

$t + \frac{2}{t} = 3$

Умножим на $t$: $t^2 + 2 = 3t \implies t^2 - 3t + 2 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1, t_2 = 2$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $t = \frac{2x + y}{x - 2y} = 1$.

$2x + y = x - 2y \implies x = -3y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(-3y)^2 + 3(-3y)y - y^2 = 25$

$9y^2 - 9y^2 - y^2 = 25 \implies -y^2 = 25 \implies y^2 = -25$.

В этом случае действительных решений нет.

Случай 2: $t = \frac{2x + y}{x - 2y} = 2$.

$2x + y = 2(x - 2y) \implies 2x + y = 2x - 4y \implies y = -4y \implies 5y = 0 \implies y = 0$.

Подставим $y=0$ во второе уравнение системы:

$x^2 + 3x(0) - (0)^2 = 25 \implies x^2 = 25 \implies x = \pm 5$.

Получаем два решения: $(5, 0)$ и $(-5, 0)$.

Проверим, что при этих значениях знаменатели в первом уравнении не равны нулю. Для $(5, 0)$: $x-2y = 5 \neq 0$, $2x+y = 10 \neq 0$. Для $(-5, 0)$: $x-2y = -5 \neq 0$, $2x+y = -10 \neq 0$. Условия выполнены.

Ответ: $(5, 0), (-5, 0)$.