Номер 125, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

125. Для каждого значения $a$ решите неравенство:

1) $x^2 - (a-2)x - 2a \ge 0;$

2) $x^2 - 3ax + 2a^2 - a - 1 < 0.$

1) $x^2 - (a - 2)x - 2a \ge 0$

Это квадратное неравенство относительно переменной $x$. Для его решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - (a - 2)x - 2a = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-(a-2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a) = (a-2)^2 + 8a = a^2 - 4a + 4 + 8a = a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2$.

Поскольку $D = (a+2)^2 \ge 0$ при любом значении параметра $a$, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{(a-2) \pm \sqrt{(a+2)^2}}{2} = \frac{a-2 \pm (a+2)}{2}$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = \frac{a-2 + a+2}{2} = \frac{2a}{2} = a$

$x_2 = \frac{a-2 - (a+2)}{2} = \frac{a-2 - a - 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, неравенство можно представить в виде $(x-a)(x+2) \ge 0$.

Графиком функции $y = (x-a)(x+2)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями (включая сами корни). Решение зависит от взаимного расположения корней $a$ и $-2$.

Рассмотрим три возможных случая:

1. Если $a < -2$. Тогда корни на числовой оси располагаются в порядке $a$, $-2$. Решением неравенства будет $x \in (-\infty, a] \cup [-2, +\infty)$.

2. Если $a = -2$. В этом случае корни совпадают: $x_1 = x_2 = -2$. Неравенство принимает вид $(x+2)^2 \ge 0$. Это неравенство справедливо для любого действительного числа $x$. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

3. Если $a > -2$. Тогда корни на числовой оси располагаются в порядке $-2$, $a$. Решением неравенства будет $x \in (-\infty, -2] \cup [a, +\infty)$.

Ответ: если $a < -2$, то $x \in (-\infty, a] \cup [-2, +\infty)$; если $a = -2$, то $x \in (-\infty, +\infty)$; если $a > -2$, то $x \in (-\infty, -2] \cup [a, +\infty)$.

2) $x^2 - 3ax + 2a^2 - a - 1 < 0$

Это квадратное неравенство относительно $x$. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3ax + (2a^2 - a - 1) = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2 - a - 1) = 9a^2 - 8a^2 + 4a + 4 = a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2$.

Поскольку $D = (a+2)^2 \ge 0$ при любом $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{3a \pm \sqrt{(a+2)^2}}{2} = \frac{3a \pm (a+2)}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{3a + (a+2)}{2} = \frac{4a+2}{2} = 2a+1$

$x_2 = \frac{3a - (a+2)}{2} = \frac{2a-2}{2} = a-1$

Неравенство можно переписать в виде $(x - (2a+1))(x - (a-1)) < 0$.

Графиком функции $y = (x - (2a+1))(x - (a-1))$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство выполняется, когда $x$ находится строго между корнями. Для определения интервала необходимо сравнить корни $2a+1$ и $a-1$.

Сравним $2a+1$ и $a-1$:

$2a+1 > a-1 \Leftrightarrow a > -2$

$2a+1 = a-1 \Leftrightarrow a = -2$

$2a+1 < a-1 \Leftrightarrow a < -2$

Рассмотрим три возможных случая:

1. Если $a < -2$. Тогда $2a+1 < a-1$. Меньший корень равен $2a+1$, больший — $a-1$. Решением неравенства является интервал $x \in (2a+1, a-1)$.

2. Если $a = -2$. Корни совпадают: $x_1 = x_2 = -3$. Неравенство принимает вид $(x+3)^2 < 0$. Это неравенство не имеет действительных решений.

3. Если $a > -2$. Тогда $2a+1 > a-1$. Меньший корень равен $a-1$, больший — $2a+1$. Решением неравенства является интервал $x \in (a-1, 2a+1)$.

Ответ: если $a < -2$, то $x \in (2a+1, a-1)$; если $a = -2$, то решений нет; если $a > -2$, то $x \in (a-1, 2a+1)$.