Номер 122, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

122. Найдите значения a, при которых выполняется при всех действительных значениях x неравенство:

1) $x^2 - 2(a+1)x + 2a^2 - a + 1 > 0;$

2) $-\frac{1}{2}x^2 - 2ax + 8a^2 - 4a \le 0;$

3) $ax^2 + 8x - a + 10 > 0;$

4) $(4-a^2)x^2 + 2(a-2)x + 1 \le 0.$

1) Данное неравенство $x^2 - 2(a + 1)x + 2a^2 - a + 1 > 0$ является квадратным относительно $x$. Графиком функции $y = x^2 - 2(a + 1)x + 2a^2 - a + 1$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Чтобы неравенство выполнялось для всех действительных значений $x$, парабола должна быть расположена полностью выше оси абсцисс, то есть не иметь с ней общих точек. Это эквивалентно тому, что дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения должен быть отрицательным. Вычислим дискриминант (удобнее использовать $D/4$):
$D/4 = (-(a + 1))^2 - 1 \cdot (2a^2 - a + 1) = (a + 1)^2 - (2a^2 - a + 1)$
$D/4 = (a^2 + 2a + 1) - (2a^2 - a + 1) = a^2 + 2a + 1 - 2a^2 + a - 1 = -a^2 + 3a$.
Теперь решим неравенство $D/4 < 0$:
$-a^2 + 3a < 0$
Умножим на -1 и изменим знак неравенства:
$a^2 - 3a > 0$
$a(a - 3) > 0$
Решением этого неравенства является объединение интервалов $a < 0$ и $a > 3$.
Ответ: $a \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

2) Рассмотрим неравенство $-\frac{1}{2}x^2 - 2ax + 8a^2 - 4a \le 0$. Это квадратичное неравенство. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{2}$, что меньше нуля. Следовательно, ветви параболы $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2ax + 8a^2 - 4a$ направлены вниз. Чтобы неравенство выполнялось для всех действительных $x$, парабола должна находиться полностью ниже оси абсцисс или касаться ее. Это означает, что соответствующее квадратное уравнение может иметь не более одного действительного корня, то есть его дискриминант $D$ должен быть неположительным ($D \le 0$). Для удобства вычислений умножим исходное неравенство на -2, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 + 4ax - 16a^2 + 8a \ge 0$. Условия для выполнения этого неравенства для всех $x$ (парабола с ветвями вверх не ниже оси Ох) приводят к тому же требованию для дискриминанта: $D \le 0$. Вычислим $D/4$ для уравнения $x^2 + 4ax - 16a^2 + 8a = 0$:
$D/4 = (2a)^2 - 1 \cdot (-16a^2 + 8a) = 4a^2 + 16a^2 - 8a = 20a^2 - 8a$.
Решим неравенство $D/4 \le 0$:
$20a^2 - 8a \le 0$
$4a(5a - 2) \le 0$
Корни уравнения $4a(5a - 2) = 0$ это $a=0$ и $a=2/5$. Поскольку парабола $y = 20a^2 - 8a$ имеет ветви вверх, неравенство выполняется между корнями (включая их).
Следовательно, $0 \le a \le 2/5$.
Ответ: $a \in [0, 2/5]$.

3) Рассмотрим неравенство $ax^2 + 8x - a + 10 > 0$. Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$, поэтому необходимо рассмотреть два случая.
Случай 1: $a = 0$.
Неравенство становится линейным: $0 \cdot x^2 + 8x - 0 + 10 > 0$, то есть $8x + 10 > 0$. $8x > -10 \implies x > -5/4$. Это неравенство выполняется не для всех действительных значений $x$, поэтому $a=0$ не является решением.
Случай 2: $a \ne 0$.
Неравенство является квадратным. Чтобы оно выполнялось для всех $x$, необходимо, чтобы парабола $y = ax^2 + 8x - a + 10$ была направлена ветвями вверх и не имела точек пересечения с осью абсцисс. Это требует одновременного выполнения двух условий:
1. Коэффициент при $x^2$ должен быть положительным: $a > 0$.
2. Дискриминант $D$ должен быть отрицательным: $D < 0$.
Вычислим $D/4$:
$D/4 = 4^2 - a(-a + 10) = 16 + a^2 - 10a = a^2 - 10a + 16$.
Решим неравенство $D/4 < 0$:
$a^2 - 10a + 16 < 0$
Найдем корни уравнения $a^2 - 10a + 16 = 0$. По теореме Виета, корни $a_1=2, a_2=8$. Неравенство $(a - 2)(a - 8) < 0$ выполняется на интервале между корнями: $2 < a < 8$. Этот интервал удовлетворяет первому условию $a > 0$.
Ответ: $a \in (2, 8)$.

4) Рассмотрим неравенство $(4 - a^2)x^2 + 2(a - 2)x + 1 \le 0$.
Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.
$4 - a^2 = 0 \implies a = 2$ или $a = -2$.
При $a = 2$, неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 + 2(2 - 2)x + 1 \le 0$, то есть $1 \le 0$. Это неверно. При $a = -2$, неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 + 2(-2 - 2)x + 1 \le 0$, то есть $-8x + 1 \le 0$, или $x \ge 1/8$. Это неравенство выполняется не для всех $x$. Значит, $a = \pm 2$ не являются решениями.
Случай 2: $a \ne \pm 2$.
Неравенство является квадратным. Чтобы оно выполнялось для всех $x$, парабола $y = (4 - a^2)x^2 + 2(a - 2)x + 1$ должна быть направлена ветвями вниз и находиться не выше оси абсцисс. Это требует одновременного выполнения двух условий:
1. $4 - a^2 < 0$.
2. $D \le 0$.
Решим первое условие: $4 - a^2 < 0 \implies a^2 > 4 \implies a < -2$ или $a > 2$. То есть $a \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
Вычислим $D/4$:
$D/4 = (a - 2)^2 - (4 - a^2) \cdot 1 = a^2 - 4a + 4 - 4 + a^2 = 2a^2 - 4a$.
Решим второе условие $D/4 \le 0$:
$2a^2 - 4a \le 0$
$2a(a - 2) \le 0$
Это неравенство выполняется для $a \in [0, 2]$.
Теперь необходимо найти пересечение множеств решений обоих условий: $((-\infty, -2) \cup (2, \infty)) \cap [0, 2]$. Данное пересечение является пустым множеством. Следовательно, нет таких значений $a$, при которых неравенство выполняется для всех $x$.
Ответ: таких значений $a$ не существует.