Номер 116, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

116. Найдите целые решения неравенства:

1) $2x^2 + 8x \le 0$;

2) $x^2 - 12 < 0$;

3) $-4x^2 + 13x - 3 \ge 0$;

4) $6x^2 - 7x + 2 \le 0$;

5) $-\frac{1}{3}x^2 - 2x + 9 > 0$;

6) $x^2 - 2,6x + 1,2 \le 0$.

1) $2x^2 + 8x \le 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, сначала приравняем левую часть к нулю и найдем корни уравнения $2x^2 + 8x = 0$.

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x + 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -4$.

Графиком функции $y = 2x^2 + 8x$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ (число 2) положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство $2x^2 + 8x \le 0$ выполняется для тех значений $x$, при которых график функции находится на оси абсцисс или ниже нее. Это происходит на отрезке между корнями.

Следовательно, решением неравенства является отрезок $[-4; 0]$.

Целые числа, которые принадлежат этому отрезку: -4, -3, -2, -1, 0.

Ответ: -4, -3, -2, -1, 0.

2) $x^2 - 12 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 12 = 0$:

$x^2 = 12$

$x = \pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$

Графиком функции $y = x^2 - 12$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1 > 0). Неравенство $x^2 - 12 < 0$ выполняется, когда парабола находится ниже оси абсцисс, то есть на интервале между корнями.

Решением неравенства является интервал $(-2\sqrt{3}; 2\sqrt{3})$.

Чтобы найти целые решения, оценим значения корней: $\sqrt{3} \approx 1,732$, значит $2\sqrt{3} \approx 3,464$. Таким образом, мы ищем целые числа в интервале $(-3,464; 3,464)$.

Целые числа, принадлежащие этому интервалу: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

3) $-4x^2 + 13x - 3 \ge 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$4x^2 - 13x + 3 \le 0$

Найдем корни уравнения $4x^2 - 13x + 3 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 169 - 48 = 121 = 11^2$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 11}{2 \cdot 4} = \frac{13 \pm 11}{8}$

$x_1 = \frac{13 - 11}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{13 + 11}{8} = \frac{24}{8} = 3$

График функции $y = 4x^2 - 13x + 3$ — парабола с ветвями вверх. Неравенство $4x^2 - 13x + 3 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Решением является отрезок $[\frac{1}{4}; 3]$ или $[0,25; 3]$.

Целые числа, принадлежащие этому отрезку: 1, 2, 3.

Ответ: 1, 2, 3.

4) $6x^2 - 7x + 2 \le 0$

Найдем корни уравнения $6x^2 - 7x + 2 = 0$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 49 - 48 = 1$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{7 \pm 1}{12}$

$x_1 = \frac{7 - 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{7 + 1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

График функции $y = 6x^2 - 7x + 2$ — парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется на отрезке между корнями.

Решением является отрезок $[\frac{1}{2}; \frac{2}{3}]$ или, в десятичных дробях, $[0,5; \approx 0,67]$.

На данном отрезке нет целых чисел.

Ответ: нет целых решений.

5) $-\frac{1}{3}x^2 - 2x + 9 > 0$

Умножим обе части неравенства на -3, чтобы избавиться от дроби и отрицательного коэффициента при $x^2$. При этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 + 6x - 27 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 27 = 0$. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -27, сумма корней равна -6. Корни: $x_1 = -9$ и $x_2 = 3$.

Либо через дискриминант:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 = 12^2$

$x = \frac{-6 \pm 12}{2}$

$x_1 = \frac{-6 - 12}{2} = -9$

$x_2 = \frac{-6 + 12}{2} = 3$

График функции $y = x^2 + 6x - 27$ — парабола с ветвями вверх. Неравенство $x^2 + 6x - 27 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Решением является интервал $(-9; 3)$.

Целые числа, принадлежащие этому интервалу: -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.

6) $x^2 - 2,6x + 1,2 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 2,6x + 1,2 = 0$.

$D = (-2,6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1,2 = 6,76 - 4,8 = 1,96 = (1,4)^2$

$x = \frac{2,6 \pm \sqrt{1,96}}{2} = \frac{2,6 \pm 1,4}{2}$

$x_1 = \frac{2,6 - 1,4}{2} = \frac{1,2}{2} = 0,6$

$x_2 = \frac{2,6 + 1,4}{2} = \frac{4}{2} = 2$

График функции $y = x^2 - 2,6x + 1,2$ — парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется на отрезке между корнями.

Решением является отрезок $[0,6; 2]$.

Целые числа, принадлежащие этому отрезку: 1, 2.

Ответ: 1, 2.