Номер 117, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

117. Найдите область определения функции:

1) $y=\sqrt{x^2 - 2x - 48};$

2) $y=\frac{2x - 1}{\sqrt{4x - 16x^2}};$

3) $y=\sqrt{x^2 - 5x - 14} - \frac{3}{x^2 - 25};$

4) $y=\frac{x + 3}{\sqrt{14 - 3x - 2x^2}} + \frac{x - 1}{2x^2 - 3x + 1}.$

1) $y = \sqrt{x^2 - 2x - 48}$
Область определения функции задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x^2 - 2x - 48 \ge 0$.
Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 48 = 0$.
Используем теорему Виета или формулу для корней. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 14}{2} = -6$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 14}{2} = 8$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 48$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), неравенство $x^2 - 2x - 48 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами интервала между корнями.
Таким образом, $x \le -6$ или $x \ge 8$.
Область определения функции: $(-\infty; -6] \cup [8; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -6] \cup [8; +\infty)$.

2) $y = \frac{2x - 1}{\sqrt{4x - 16x^2}}$
Область определения функции задается условием, что выражение под знаком квадратного корня, находящееся в знаменателе, должно быть строго положительным (неотрицательным из-за корня и не равным нулю из-за нахождения в знаменателе):
$4x - 16x^2 > 0$.
Решим это неравенство. Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:
$4x(1 - 4x) > 0$.
Найдем корни соответствующего уравнения $4x(1 - 4x) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $1 - 4x = 0 \implies x_2 = \frac{1}{4}$.
Ветви параболы $y = 4x - 16x^2$ направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен), поэтому неравенство $4x - 16x^2 > 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями.
Таким образом, $0 < x < \frac{1}{4}$.
Область определения функции: $(0; \frac{1}{4})$.
Ответ: $D(y) = (0; \frac{1}{4})$.

3) $y = \sqrt{x^2 - 5x - 14} - \frac{3}{x^2 - 25}$
Область определения этой функции является пересечением областей определения двух ее частей. Необходимо выполнение двух условий одновременно:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x^2 - 5x - 14 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.
$x_1 = \frac{5 - 9}{2} = -2$.
$x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; -2] \cup [7; +\infty)$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$x^2 - 25 \ne 0 \implies x^2 \ne 25 \implies x \ne 5$ и $x \ne -5$.
Теперь найдем пересечение полученных множеств: из множества $(-\infty; -2] \cup [7; +\infty)$ нужно исключить точки $-5$ и $5$.
Число $5$ не входит в это множество. Число $-5$ входит, поэтому его нужно исключить.
Итоговая область определения: $(-\infty; -5) \cup (-5; -2] \cup [7; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; -2] \cup [7; +\infty)$.

4) $y = \frac{x + 3}{\sqrt{14 - 3x - 2x^2}} + \frac{x - 1}{2x^2 - 3x + 1}$
Область определения функции является пересечением областей определения двух слагаемых. Необходимо выполнение двух условий одновременно:
1. Для первого слагаемого выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:
$14 - 3x - 2x^2 > 0$.
Умножим неравенство на -1 и сменим знак: $2x^2 + 3x - 14 < 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 14 = 0$.
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121 = 11^2$.
$x_1 = \frac{-3 - 11}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5$.
$x_2 = \frac{-3 + 11}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства $2x^2 + 3x - 14 < 0$ есть интервал между корнями: $x \in (-3.5; 2)$.
2. Для второго слагаемого знаменатель не должен быть равен нулю:
$2x^2 - 3x + 1 \ne 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 - 3x + 1 = 0$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
$x_1 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.
$x_2 = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Таким образом, $x \ne 0.5$ и $x \ne 1$.
Найдем пересечение множеств: из интервала $(-3.5; 2)$ нужно исключить точки $0.5$ и $1$. Обе точки лежат внутри этого интервала.
Итоговая область определения: $(-3.5; 0.5) \cup (0.5; 1) \cup (1; 2)$.
Ответ: $D(y) = (-3.5; 0.5) \cup (0.5; 1) \cup (1; 2)$.