Страница 57 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

112. Пусть $x_1$ и $x_2$ — нули функции $y = -2x^2 - (2a-1)x + 3a + 2$. При каких значениях $a$ выполняется неравенство $x_1 < 2 < x_2$?

Пусть $f(x) = -2x^2 - (2a-1)x + 3a + 2$. Нули функции $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного уравнения $f(x) = 0$.

Графиком данной функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-2$ (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз.

Условие $x_1 < 2 < x_2$ означает, что число 2 находится между корнями $x_1$ и $x_2$. Для параболы, ветви которой направлены вниз, это условие будет выполняться тогда и только тогда, когда значение функции в точке $x=2$ будет положительным. То есть, необходимо, чтобы выполнялось неравенство $f(2) > 0$.

Данное условие является достаточным. Если для параболы с ветвями вниз существует точка, в которой значение функции положительно ($f(2) > 0$), то она обязательно пересечет ось абсцисс в двух различных точках ($D > 0$), и точка $x=2$ будет лежать между этими точками пересечения (корнями).

Найдем значение функции при $x=2$:
$f(2) = -2(2)^2 - (2a-1) \cdot 2 + 3a + 2$
$f(2) = -2 \cdot 4 - (4a - 2) + 3a + 2$
$f(2) = -8 - 4a + 2 + 3a + 2$
$f(2) = -a - 4$

Теперь решим неравенство $f(2) > 0$:
$-a - 4 > 0$
$-a > 4$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$a < -4$

Ответ: $a < -4$ (или $a \in (-\infty; -4)$).

113. Решите неравенство:

1) $x^2 + x - 30 < 0;$

2) $x^2 - 10x + 16 \ge 0;$

3) $-x^2 + 0.8x + 2.4 > 0;$

4) $-2x^2 + 7x - 6 < 0;$

5) $2x^2 - 50x \ge 0;$

6) $4x^2 - 49 < 0;$

7) $16x^2 - 8x + 1 > 0;$

8) $x^2 + 10x + 25 \ge 0;$

9) $2x^2 - 3x + 4 > 0;$

10) $9x^2 - 6x + 1 \le 0;$

11) $4x^2 - 20x + 25 < 0;$

12) $3x^2 - x + 2 \le 0.$

Для решения квадратных неравенств вида $ax^2+bx+c > 0$ (или $<, \geq, \leq$) используется метод интервалов. Алгоритм решения:

1. Найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2+bx+c = 0$.
2. Отметить найденные корни на числовой оси. Они разбивают ось на интервалы.
3. Определить знак выражения $ax^2+bx+c$ в каждом из полученных интервалов. Это можно сделать, подставив любое число из интервала в выражение, или по знаку коэффициента $a$ (если $a > 0$ — ветви параболы вверх, если $a < 0$ — ветви вниз).
4. Выбрать интервалы, удовлетворяющие знаку неравенства.

1) $x^2 + x - 30 < 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 + x - 30$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1>0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 + x - 30 = 0$.

Используем теорему Виета: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = -30$. Корни: $x_1 = -6$, $x_2 = 5$.

Парабола пересекает ось Ox в точках -6 и 5. Так как ветви направлены вверх, значения функции отрицательны между корнями.

Ответ: $x \in (-6; 5)$.

2) $x^2 - 10x + 16 \geq 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 10x + 16$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1>0$).

Найдем нули функции: $x^2 - 10x + 16 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 10$, $x_1 \cdot x_2 = 16$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 8$.

Парабола пересекает ось Ox в точках 2 и 8. Так как ветви направлены вверх, значения функции положительны или равны нулю вне интервала между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; 2] \cup [8; +\infty)$.

3) $-x^2 + 0,8x + 2,4 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 0,8x - 2,4 < 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 0,8x - 2,4$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$).

Найдем нули функции: $x^2 - 0,8x - 2,4 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-0,8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2,4) = 0,64 + 9,6 = 10,24$. $\sqrt{10,24} = 3,2$.

$x_1 = \frac{0,8 - 3,2}{2} = \frac{-2,4}{2} = -1,2$.

$x_2 = \frac{0,8 + 3,2}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Парабола пересекает ось Ox в точках -1,2 и 2. Неравенство $x^2 - 0,8x - 2,4 < 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $x \in (-1,2; 2)$.

4) $-2x^2 + 7x - 6 < 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак:

$2x^2 - 7x + 6 > 0$

Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - 7x + 6$. Ветви параболы направлены вверх ($a=2>0$).

Найдем нули функции: $2x^2 - 7x + 6 = 0$.

Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.

$x_1 = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$.

$x_2 = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Неравенство $2x^2 - 7x + 6 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; 1,5) \cup (2; +\infty)$.

5) $2x^2 - 50x \geq 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$2x(x - 25) \geq 0$

Найдем нули: $2x=0 \Rightarrow x_1=0$ и $x-25=0 \Rightarrow x_2=25$.

Ветви параболы $y = 2x^2 - 50x$ направлены вверх ($a=2>0$). Неотрицательные значения функция принимает при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [25; +\infty)$.

6) $4x^2 - 49 < 0$

Разложим на множители по формуле разности квадратов:

$(2x - 7)(2x + 7) < 0$

Найдем нули: $2x-7=0 \Rightarrow x_1=3,5$ и $2x+7=0 \Rightarrow x_2=-3,5$.

Ветви параболы $y = 4x^2 - 49$ направлены вверх ($a=4>0$). Отрицательные значения функция принимает между корнями.

Ответ: $x \in (-3,5; 3,5)$.

7) $16x^2 - 8x + 1 > 0$

Левая часть является полным квадратом:

$(4x - 1)^2 > 0$

Квадрат любого выражения всегда неотрицателен, то есть $(4x - 1)^2 \geq 0$ для любого $x$. Равенство нулю достигается при $4x - 1 = 0$, то есть при $x = 1/4$.

Следовательно, строгое неравенство $(4x - 1)^2 > 0$ выполняется для всех $x$, кроме $x = 1/4$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1/4) \cup (1/4; +\infty)$.

8) $x^2 + 10x + 25 \geq 0$

Левая часть является полным квадратом:

$(x + 5)^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Это неравенство верно для любого значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

9) $2x^2 - 3x + 4 > 0$

Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - 3x + 4$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=2>0$).

Найдем дискриминант уравнения $2x^2 - 3x + 4 = 0$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox. Поскольку ветви параболы направлены вверх, вся парабола находится выше оси Ox. Следовательно, выражение $2x^2 - 3x + 4$ всегда положительно.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

10) $9x^2 - 6x + 1 \leq 0$

Левая часть является полным квадратом:

$(3x - 1)^2 \leq 0$

Выражение $(3x - 1)^2$ как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Оно может быть только равно нулю.

$(3x - 1)^2 = 0$ при $3x - 1 = 0$, то есть $x = 1/3$.

Таким образом, неравенство выполняется только в одной точке.

Ответ: $x = 1/3$.

11) $4x^2 - 20x + 25 < 0$

Левая часть является полным квадратом:

$(2x - 5)^2 < 0$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, это неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

12) $3x^2 - x + 2 \leq 0$

Рассмотрим функцию $y = 3x^2 - x + 2$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=3>0$).

Найдем дискриминант уравнения $3x^2 - x + 2 = 0$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 - 24 = -23$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось Ox. Поскольку ветви направлены вверх, вся парабола расположена выше оси Ox, и, следовательно, выражение $3x^2 - x + 2$ всегда положительно. Неравенство $3x^2 - x + 2 \leq 0$ не имеет решений.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

114. Решите неравенство:

1) $x^2 \le 16$;

2) $x^2 > 5$;

3) $9x^2 \le 5x$;

4) $-4x^2 \ge -12x$;

5) $-7x^2 < -28$;

6) $0,4x^2 < -10x$.

1) $x^2 \le 16$

Перенесем 16 в левую часть неравенства, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:
$x^2 - 16 \le 0$
Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - 4)(x + 4) \le 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 4)(x + 4) = 0$. Корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -4]$, $[-4; 4]$ и $[4; \infty)$.
Чтобы определить знак выражения $(x - 4)(x + 4)$ на каждом интервале, можно рассмотреть график параболы $y = x^2 - 16$. Ветви этой параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Это означает, что значения функции отрицательны между корнями и положительны вне этого интервала.
Нам нужно найти, где выражение меньше или равно нулю. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решение неравенства: $-4 \le x \le 4$.
Ответ: $[-4; 4]$

2) $x^2 > 5$

Перенесем 5 в левую часть неравенства:
$x^2 - 5 > 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) > 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) = 0$. Корнями являются $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -\sqrt{5})$, $(-\sqrt{5}; \sqrt{5})$ и $(\sqrt{5}; \infty)$.
График функции $y = x^2 - 5$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны (больше нуля) вне интервала между корнями.
Нам нужно найти, где выражение строго больше нуля. Это происходит на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.
Следовательно, решение неравенства: $x < -\sqrt{5}$ или $x > \sqrt{5}$.
Ответ: $(-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; \infty)$

3) $9x^2 \le 5x$

Перенесем все члены в левую часть неравенства:
$9x^2 - 5x \le 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(9x - 5) \le 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $x(9x - 5) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 5/9$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 0]$, $[0; 5/9]$ и $[5/9; \infty)$.
График функции $y = 9x^2 - 5x$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции не положительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $0 \le x \le 5/9$.
Ответ: $[0; 5/9]$

4) $-4x^2 \ge -12x$

Перенесем все члены в одну часть:
$-4x^2 + 12x \ge 0$
Для удобства разделим обе части неравенства на -4. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - 3x \le 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 3) \le 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 3) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
График функции $y = x^2 - 3x$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции не положительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $0 \le x \le 3$.
Ответ: $[0; 3]$

5) $-7x^2 < -28$

Разделим обе части неравенства на -7. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 > 4$
Перенесем 4 в левую часть:
$x^2 - 4 > 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x - 2)(x + 2) > 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
График функции $y = x^2 - 4$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны (больше нуля) вне интервала между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x < -2$ или $x > 2$.
Ответ: $(-\infty; -2) \cup (2; \infty)$

6) $0,4x^2 < -10x$

Перенесем все члены в левую часть неравенства:
$0,4x^2 + 10x < 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(0,4x + 10) < 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $x(0,4x + 10) = 0$.
Первый корень: $x_1 = 0$.
Второй корень находим из уравнения $0,4x + 10 = 0$:
$0,4x = -10$
$x_2 = -10 / 0,4 = -100 / 4 = -25$
Корнями являются $x_1 = -25$ и $x_2 = 0$.
График функции $y = 0,4x^2 + 10x$ — это парабола с ветвями вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Значения функции отрицательны (меньше нуля) на интервале между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $-25 < x < 0$.
Ответ: $(-25; 0)$

115. Найдите множество решений неравенства:

1) $(2x - 1)(x + 3) \ge 4;$

2) $(x + 2)^2 < 13 - (x - 3)^2;$

3) $\frac{x^2 + x}{2} - \frac{8x - 1}{3} < -2;$

4) $\frac{x^2 - 4x}{8} + \frac{x - 3}{5} \ge \frac{1 - x}{6}.$

1)

Решим неравенство $(2x-1)(x+3) \geq 4$.

Сначала раскроем скобки в левой части:

$2x^2 + 6x - x - 3 \geq 4$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$2x^2 + 5x - 3 - 4 \geq 0$

$2x^2 + 5x - 7 \geq 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 5x - 7 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$.

Корни уравнения равны:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 9}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 9}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2 > 0$), ветви параболы $y=2x^2+5x-7$ направлены вверх. Неравенство $2x^2 + 5x - 7 \geq 0$ выполняется на промежутках, где график параболы находится выше или на оси абсцисс, то есть левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \leq -3.5$ или $x \geq 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3.5] \cup [1; +\infty)$.

2)

Решим неравенство $(x+2)^2 < 13 - (x-3)^2$.

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$x^2 + 4x + 4 < 13 - (x^2 - 6x + 9)$

$x^2 + 4x + 4 < 13 - x^2 + 6x - 9$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 4x + 4 - 13 + x^2 - 6x + 9 < 0$

$(x^2 + x^2) + (4x - 6x) + (4 - 13 + 9) < 0$

$2x^2 - 2x < 0$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x^2 - x < 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 1) < 0$

Корнями выражения $x(x-1)$ являются $x=0$ и $x=1$. Это парабола с ветвями вверх. Значения выражения отрицательны между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $0 < x < 1$.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

3)

Решим неравенство $\frac{x^2+x}{2} - \frac{8x-1}{3} < -2$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 6:

$6 \cdot \left(\frac{x^2+x}{2} - \frac{8x-1}{3}\right) < 6 \cdot (-2)$

$3(x^2+x) - 2(8x-1) < -12$

Раскроем скобки:

$3x^2 + 3x - 16x + 2 < -12$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:

$3x^2 - 13x + 2 + 12 < 0$

$3x^2 - 13x + 14 < 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - 13x + 14 = 0$.

Дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{13 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{13 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

Ветви параболы $y=3x^2 - 13x + 14$ направлены вверх ($a=3 > 0$). Неравенство $3x^2 - 13x + 14 < 0$ выполняется между корнями.

Следовательно, $2 < x < \frac{7}{3}$.

Ответ: $x \in (2; \frac{7}{3})$.

4)

Решим неравенство $\frac{x^2-4x}{8} + \frac{x-3}{5} \geq \frac{1-x}{6}$.

Найдем наименьший общий знаменатель для 8, 5 и 6. $НОК(8, 5, 6) = 120$. Умножим обе части неравенства на 120:

$120 \cdot \frac{x^2-4x}{8} + 120 \cdot \frac{x-3}{5} \geq 120 \cdot \frac{1-x}{6}$

$15(x^2-4x) + 24(x-3) \geq 20(1-x)$

Раскроем скобки:

$15x^2 - 60x + 24x - 72 \geq 20 - 20x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$15x^2 - 60x + 24x - 72 - 20 + 20x \geq 0$

$15x^2 - 16x - 92 \geq 0$

Найдем корни уравнения $15x^2 - 16x - 92 = 0$.

Дискриминант: $D = (-16)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-92) = 256 + 5520 = 5776$.

$\sqrt{D} = \sqrt{5776} = 76$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{16 - 76}{2 \cdot 15} = \frac{-60}{30} = -2$

$x_2 = \frac{16 + 76}{2 \cdot 15} = \frac{92}{30} = \frac{46}{15}$

Ветви параболы $y=15x^2 - 16x - 92$ направлены вверх ($a=15 > 0$). Неравенство $\geq 0$ выполняется при значениях $x$ левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, $x \leq -2$ или $x \geq \frac{46}{15}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [\frac{46}{15}; +\infty)$.

116. Найдите целые решения неравенства:

1) $2x^2 + 8x \le 0$;

2) $x^2 - 12 < 0$;

3) $-4x^2 + 13x - 3 \ge 0$;

4) $6x^2 - 7x + 2 \le 0$;

5) $-\frac{1}{3}x^2 - 2x + 9 > 0$;

6) $x^2 - 2,6x + 1,2 \le 0$.

1) $2x^2 + 8x \le 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, сначала приравняем левую часть к нулю и найдем корни уравнения $2x^2 + 8x = 0$.

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x + 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -4$.

Графиком функции $y = 2x^2 + 8x$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ (число 2) положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство $2x^2 + 8x \le 0$ выполняется для тех значений $x$, при которых график функции находится на оси абсцисс или ниже нее. Это происходит на отрезке между корнями.

Следовательно, решением неравенства является отрезок $[-4; 0]$.

Целые числа, которые принадлежат этому отрезку: -4, -3, -2, -1, 0.

Ответ: -4, -3, -2, -1, 0.

2) $x^2 - 12 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 12 = 0$:

$x^2 = 12$

$x = \pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$

Графиком функции $y = x^2 - 12$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1 > 0). Неравенство $x^2 - 12 < 0$ выполняется, когда парабола находится ниже оси абсцисс, то есть на интервале между корнями.

Решением неравенства является интервал $(-2\sqrt{3}; 2\sqrt{3})$.

Чтобы найти целые решения, оценим значения корней: $\sqrt{3} \approx 1,732$, значит $2\sqrt{3} \approx 3,464$. Таким образом, мы ищем целые числа в интервале $(-3,464; 3,464)$.

Целые числа, принадлежащие этому интервалу: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

3) $-4x^2 + 13x - 3 \ge 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$4x^2 - 13x + 3 \le 0$

Найдем корни уравнения $4x^2 - 13x + 3 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 169 - 48 = 121 = 11^2$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 11}{2 \cdot 4} = \frac{13 \pm 11}{8}$

$x_1 = \frac{13 - 11}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{13 + 11}{8} = \frac{24}{8} = 3$

График функции $y = 4x^2 - 13x + 3$ — парабола с ветвями вверх. Неравенство $4x^2 - 13x + 3 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Решением является отрезок $[\frac{1}{4}; 3]$ или $[0,25; 3]$.

Целые числа, принадлежащие этому отрезку: 1, 2, 3.

Ответ: 1, 2, 3.

4) $6x^2 - 7x + 2 \le 0$

Найдем корни уравнения $6x^2 - 7x + 2 = 0$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 49 - 48 = 1$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{7 \pm 1}{12}$

$x_1 = \frac{7 - 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{7 + 1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

График функции $y = 6x^2 - 7x + 2$ — парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется на отрезке между корнями.

Решением является отрезок $[\frac{1}{2}; \frac{2}{3}]$ или, в десятичных дробях, $[0,5; \approx 0,67]$.

На данном отрезке нет целых чисел.

Ответ: нет целых решений.

5) $-\frac{1}{3}x^2 - 2x + 9 > 0$

Умножим обе части неравенства на -3, чтобы избавиться от дроби и отрицательного коэффициента при $x^2$. При этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 + 6x - 27 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 27 = 0$. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -27, сумма корней равна -6. Корни: $x_1 = -9$ и $x_2 = 3$.

Либо через дискриминант:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 = 12^2$

$x = \frac{-6 \pm 12}{2}$

$x_1 = \frac{-6 - 12}{2} = -9$

$x_2 = \frac{-6 + 12}{2} = 3$

График функции $y = x^2 + 6x - 27$ — парабола с ветвями вверх. Неравенство $x^2 + 6x - 27 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Решением является интервал $(-9; 3)$.

Целые числа, принадлежащие этому интервалу: -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.

6) $x^2 - 2,6x + 1,2 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 2,6x + 1,2 = 0$.

$D = (-2,6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1,2 = 6,76 - 4,8 = 1,96 = (1,4)^2$

$x = \frac{2,6 \pm \sqrt{1,96}}{2} = \frac{2,6 \pm 1,4}{2}$

$x_1 = \frac{2,6 - 1,4}{2} = \frac{1,2}{2} = 0,6$

$x_2 = \frac{2,6 + 1,4}{2} = \frac{4}{2} = 2$

График функции $y = x^2 - 2,6x + 1,2$ — парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется на отрезке между корнями.

Решением является отрезок $[0,6; 2]$.

Целые числа, принадлежащие этому отрезку: 1, 2.

Ответ: 1, 2.

117. Найдите область определения функции:

1) $y=\sqrt{x^2 - 2x - 48};$

2) $y=\frac{2x - 1}{\sqrt{4x - 16x^2}};$

3) $y=\sqrt{x^2 - 5x - 14} - \frac{3}{x^2 - 25};$

4) $y=\frac{x + 3}{\sqrt{14 - 3x - 2x^2}} + \frac{x - 1}{2x^2 - 3x + 1}.$

1) $y = \sqrt{x^2 - 2x - 48}$
Область определения функции задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x^2 - 2x - 48 \ge 0$.
Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 48 = 0$.
Используем теорему Виета или формулу для корней. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 14}{2} = -6$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 14}{2} = 8$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 48$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), неравенство $x^2 - 2x - 48 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами интервала между корнями.
Таким образом, $x \le -6$ или $x \ge 8$.
Область определения функции: $(-\infty; -6] \cup [8; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -6] \cup [8; +\infty)$.

2) $y = \frac{2x - 1}{\sqrt{4x - 16x^2}}$
Область определения функции задается условием, что выражение под знаком квадратного корня, находящееся в знаменателе, должно быть строго положительным (неотрицательным из-за корня и не равным нулю из-за нахождения в знаменателе):
$4x - 16x^2 > 0$.
Решим это неравенство. Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:
$4x(1 - 4x) > 0$.
Найдем корни соответствующего уравнения $4x(1 - 4x) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $1 - 4x = 0 \implies x_2 = \frac{1}{4}$.
Ветви параболы $y = 4x - 16x^2$ направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен), поэтому неравенство $4x - 16x^2 > 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями.
Таким образом, $0 < x < \frac{1}{4}$.
Область определения функции: $(0; \frac{1}{4})$.
Ответ: $D(y) = (0; \frac{1}{4})$.

3) $y = \sqrt{x^2 - 5x - 14} - \frac{3}{x^2 - 25}$
Область определения этой функции является пересечением областей определения двух ее частей. Необходимо выполнение двух условий одновременно:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x^2 - 5x - 14 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.
$x_1 = \frac{5 - 9}{2} = -2$.
$x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; -2] \cup [7; +\infty)$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$x^2 - 25 \ne 0 \implies x^2 \ne 25 \implies x \ne 5$ и $x \ne -5$.
Теперь найдем пересечение полученных множеств: из множества $(-\infty; -2] \cup [7; +\infty)$ нужно исключить точки $-5$ и $5$.
Число $5$ не входит в это множество. Число $-5$ входит, поэтому его нужно исключить.
Итоговая область определения: $(-\infty; -5) \cup (-5; -2] \cup [7; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; -2] \cup [7; +\infty)$.

4) $y = \frac{x + 3}{\sqrt{14 - 3x - 2x^2}} + \frac{x - 1}{2x^2 - 3x + 1}$
Область определения функции является пересечением областей определения двух слагаемых. Необходимо выполнение двух условий одновременно:
1. Для первого слагаемого выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:
$14 - 3x - 2x^2 > 0$.
Умножим неравенство на -1 и сменим знак: $2x^2 + 3x - 14 < 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 14 = 0$.
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121 = 11^2$.
$x_1 = \frac{-3 - 11}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5$.
$x_2 = \frac{-3 + 11}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства $2x^2 + 3x - 14 < 0$ есть интервал между корнями: $x \in (-3.5; 2)$.
2. Для второго слагаемого знаменатель не должен быть равен нулю:
$2x^2 - 3x + 1 \ne 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 - 3x + 1 = 0$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
$x_1 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.
$x_2 = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Таким образом, $x \ne 0.5$ и $x \ne 1$.
Найдем пересечение множеств: из интервала $(-3.5; 2)$ нужно исключить точки $0.5$ и $1$. Обе точки лежат внутри этого интервала.
Итоговая область определения: $(-3.5; 0.5) \cup (0.5; 1) \cup (1; 2)$.
Ответ: $D(y) = (-3.5; 0.5) \cup (0.5; 1) \cup (1; 2)$.