Страница 53 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

80. Постройте график функции:

1) $y = -2x^2$;

2) $y = \frac{1}{2}x^2$;

3) $y = 4x^2$.

Для построения графиков функций вида $y = ax^2$ необходимо определить ключевые характеристики параболы: направление ветвей, положение вершины и найти координаты нескольких точек.

1) $y = -2x^2$

Графиком данной функции является парабола с вершиной в начале координат, точке (0, 0). Коэффициент при $x^2$ равен -2.

Так как коэффициент $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Так как $|a| = |-2| = 2 > 1$, парабола будет "уже" (растянута вдоль оси OY в 2 раза) по сравнению с базовой параболой $y = x^2$ и отражена относительно оси OX.

Для построения найдем координаты нескольких точек. Функция является четной, поэтому ее график симметричен относительно оси OY.

• при $x = 0, y = -2 \cdot 0^2 = 0$; точка (0, 0)
• при $x = 1, y = -2 \cdot 1^2 = -2$; точка (1, -2)
• при $x = -1, y = -2 \cdot (-1)^2 = -2$; точка (-1, -2)
• при $x = 2, y = -2 \cdot 2^2 = -8$; точка (2, -8)
• при $x = -2, y = -2 \cdot (-2)^2 = -8$; точка (-2, -8)

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график функции.

Ответ: График функции $y = -2x^2$ — это парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вниз. Она проходит через точки (1, -2), (-1, -2), (2, -8), (-2, -8).

2) $y = \frac{1}{2}x^2$

Графиком данной функции является парабола с вершиной в начале координат (0, 0). Коэффициент при $x^2$ равен $\frac{1}{2}$.

Так как коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Так как $|a| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, парабола будет "шире" (сжата к оси OX в 2 раза) по сравнению с базовой параболой $y = x^2$.

Для построения найдем координаты нескольких точек. Функция является четной, поэтому ее график симметричен относительно оси OY.

• при $x = 0, y = \frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0$; точка (0, 0)
• при $x = 1, y = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = 0.5$; точка (1, 0.5)
• при $x = -1, y = \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 = 0.5$; точка (-1, 0.5)
• при $x = 2, y = \frac{1}{2} \cdot 2^2 = 2$; точка (2, 2)
• при $x = -2, y = \frac{1}{2} \cdot (-2)^2 = 2$; точка (-2, 2)

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график функции.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}x^2$ — это парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вверх. Она проходит через точки (2, 2) и (-2, 2).

3) $y = 4x^2$

Графиком данной функции является парабола с вершиной в начале координат (0, 0). Коэффициент при $x^2$ равен 4.

Так как коэффициент $a = 4 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Так как $|a| = |4| = 4 > 1$, парабола будет "уже" (растянута вдоль оси OY в 4 раза) по сравнению с базовой параболой $y = x^2$.

Для построения найдем координаты нескольких точек. Функция является четной, поэтому ее график симметричен относительно оси OY.

• при $x = 0, y = 4 \cdot 0^2 = 0$; точка (0, 0)
• при $x = 1, y = 4 \cdot 1^2 = 4$; точка (1, 4)
• при $x = -1, y = 4 \cdot (-1)^2 = 4$; точка (-1, 4)
• при $x = 0.5, y = 4 \cdot (0.5)^2 = 4 \cdot 0.25 = 1$; точка (0.5, 1)
• при $x = -0.5, y = 4 \cdot (-0.5)^2 = 1$; точка (-0.5, 1)

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график функции.

Ответ: График функции $y = 4x^2$ — это парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вверх. Она проходит через точки (1, 4) и (-1, 4).

81. Каковы координаты вершины параболы:

1) $y = x^2 - 10$;

2) $y = (x - 9)^2$;

3) $y = (x + 14)^2 - 13?$

Для нахождения координат вершины параболы, уравнение которой представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, нужно определить значения $h$ и $k$. Координаты вершины параболы в этом случае будут $(h, k)$.

1) $y = x^2 - 10$

Данное уравнение можно представить в стандартной вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$. Перепишем уравнение как $y = 1 \cdot (x - 0)^2 - 10$. Сравнивая это выражение с общей формой, получаем, что $h = 0$ и $k = -10$. Следовательно, координаты вершины параболы: $(0, -10)$.
Ответ: $(0, -10)$

2) $y = (x - 9)^2$

Это уравнение также можно представить в вершинной форме. Перепишем его как $y = 1 \cdot (x - 9)^2 + 0$. Сравнивая с общей формой $y = a(x - h)^2 + k$, находим, что $h = 9$ и $k = 0$. Таким образом, координаты вершины параболы: $(9, 0)$.
Ответ: $(9, 0)$

3) $y = (x + 14)^2 - 13$

Уравнение уже дано в вершинной форме. Важно обратить внимание на знак в скобках. Общая форма: $y = a(x - h)^2 + k$. Наше уравнение: $y = (x + 14)^2 - 13$. Его можно переписать как $y = (x - (-14))^2 - 13$. Отсюда видно, что $h = -14$ и $k = -13$. Следовательно, координаты вершины параболы: $(-14, -13)$.
Ответ: $(-14, -13)$

82. На рисунке 8 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = f(x) + 1$;2) $y = f(x - 1)$;3) $y = 2 - f(x)$.

Рис. 8

a

б

Для графика а)

Исходный график, обозначенный как 'а', является графиком функции $y=f(x)$. Это ветвь параболы, симметричной относительно горизонтальной оси, с вершиной в точке $(-1, 0)$. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; -1]$. Область значений: $E(f) = (-\infty; 0]$. Для построения будем использовать ключевые точки, которые легко считываются с графика: $(-1, 0)$, $(-2, -1)$, $(-5, -2)$.

1) y = f(x) + 1;

Чтобы построить график функции $y = f(x) + 1$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) исходного графика $y = f(x)$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (оси OY). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика перейдет в точку $(x, y+1)$.

• Точка $(-1, 0)$ перейдет в точку $(-1, 0+1) = (-1, 1)$.
• Точка $(-2, -1)$ перейдет в точку $(-2, -1+1) = (-2, 0)$.
• Точка $(-5, -2)$ перейдет в точку $(-5, -2+1) = (-5, -1)$.

Область определения не изменится, $D(y) = (-\infty; -1]$. Область значений сместится на 1 вверх, $E(y) = (-\infty; 1]$.

Ответ: График функции $y = f(x) + 1$ получается смещением исходного графика на 1 единицу вверх.

2) y = f(x - 1);

Чтобы построить график функции $y = f(x - 1)$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) исходного графика $y = f(x)$ на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс (оси OX). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика перейдет в точку $(x+1, y)$.

• Точка $(-1, 0)$ перейдет в точку $(-1+1, 0) = (0, 0)$.
• Точка $(-2, -1)$ перейдет в точку $(-2+1, -1) = (-1, -1)$.
• Точка $(-5, -2)$ перейдет в точку $(-5+1, -2) = (-4, -2)$.

Область определения сместится на 1 вправо, $D(y) = (-\infty; 0]$. Область значений не изменится, $E(y) = (-\infty; 0]$.

Ответ: График функции $y = f(x - 1)$ получается смещением исходного графика на 1 единицу вправо.

3) y = 2 - f(x).

Построение графика функции $y = 2 - f(x)$ или, что то же самое, $y = -f(x) + 2$, выполняется в два этапа:

1. Сначала строим график функции $y_1 = -f(x)$. Это преобразование соответствует симметричному отражению исходного графика $y=f(x)$ относительно оси абсцисс (оси OX). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика перейдет в точку $(x, -y)$.
   • Точка $(-1, 0)$ перейдет в точку $(-1, -0) = (-1, 0)$.
   • Точка $(-2, -1)$ перейдет в точку $(-2, -(-1)) = (-2, 1)$.
   • Точка $(-5, -2)$ перейдет в точку $(-5, -(-2)) = (-5, 2)$.
2. Затем строим график функции $y = y_1 + 2 = -f(x) + 2$. Для этого сдвигаем график $y_1 = -f(x)$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат. Каждая точка $(x, -y)$ графика $y_1$ перейдет в точку $(x, -y+2)$.
   • Точка $(-1, 0)$ перейдет в точку $(-1, 0+2) = (-1, 2)$.
   • Точка $(-2, 1)$ перейдет в точку $(-2, 1+2) = (-2, 3)$.
   • Точка $(-5, 2)$ перейдет в точку $(-5, 2+2) = (-5, 4)$.

Область определения не изменится, $D(y) = (-\infty; -1]$. Область значений после отражения станет $[0; +\infty)$, а после сдвига — $[2; +\infty)$.

Ответ: График функции $y = 2 - f(x)$ получается путем симметричного отражения исходного графика относительно оси OX с последующим смещением на 2 единицы вверх.

Для графика б)

Исходный график, обозначенный как 'б', является графиком функции $y=f(x)$. Это гипербола с вертикальной асимптотой $x=0$ и горизонтальной асимптотой $y=1$. Для построения будем использовать ключевые точки, которые легко считываются с графика: $(1, 2)$, $(-1, 0)$, $(2, 1.5)$, $(-2, 0.5)$.

1) y = f(x) + 1;

Чтобы построить график функции $y = f(x) + 1$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) исходного графика $y = f(x)$ на 1 единицу вверх вдоль оси OY. Каждая точка $(x, y)$ исходного графика перейдет в точку $(x, y+1)$.

• Вертикальная асимптота $x=0$ останется без изменений.
• Горизонтальная асимптота $y=1$ сместится на 1 вверх и станет $y=2$.
• Точка $(1, 2)$ перейдет в точку $(1, 3)$.
• Точка $(-1, 0)$ перейдет в точку $(-1, 1)$.

Ответ: График функции $y = f(x) + 1$ получается смещением исходного графика на 1 единицу вверх. Новая горизонтальная асимптота: $y=2$.

2) y = f(x - 1);

Чтобы построить график функции $y = f(x - 1)$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) исходного графика $y = f(x)$ на 1 единицу вправо вдоль оси OX. Каждая точка $(x, y)$ исходного графика перейдет в точку $(x+1, y)$.

• Вертикальная асимптота $x=0$ сместится на 1 вправо и станет $x=1$.
• Горизонтальная асимптота $y=1$ останется без изменений.
• Точка $(1, 2)$ перейдет в точку $(2, 2)$.
• Точка $(-1, 0)$ перейдет в точку $(0, 0)$.

Ответ: График функции $y = f(x - 1)$ получается смещением исходного графика на 1 единицу вправо. Новая вертикальная асимптота: $x=1$.

3) y = 2 - f(x).

Построение графика функции $y = 2 - f(x)$ или $y = -f(x) + 2$ выполняется в два этапа:

1. Сначала строим график функции $y_1 = -f(x)$. Это преобразование соответствует симметричному отражению исходного графика $y=f(x)$ относительно оси OX. Каждая точка $(x, y)$ исходного графика перейдет в точку $(x, -y)$.
   • Вертикальная асимптота $x=0$ останется без изменений.
   • Горизонтальная асимптота $y=1$ отразится симметрично относительно оси OX и станет $y=-1$.
   • Точка $(1, 2)$ перейдет в точку $(1, -2)$.
   • Точка $(-1, 0)$ перейдет в точку $(-1, 0)$.
2. Затем строим график функции $y = y_1 + 2 = -f(x) + 2$. Для этого сдвигаем график $y_1 = -f(x)$ на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Каждая точка $(x, -y)$ графика $y_1$ перейдет в точку $(x, -y+2)$.
   • Вертикальная асимптота $x=0$ останется без изменений.
   • Горизонтальная асимптота $y=-1$ сместится на 2 вверх и станет $y=1$.
   • Точка $(1, -2)$ перейдет в точку $(1, 0)$.
   • Точка $(-1, 0)$ перейдет в точку $(-1, 2)$.

Ответ: График функции $y = 2 - f(x)$ получается путем симметричного отражения исходного графика относительно оси OX с последующим смещением на 2 единицы вверх. Горизонтальная асимптота итогового графика совпадает с исходной: $y=1$.

83. Постройте график функции $y = x^2$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = x^2 + 2$;

2) $y = (x - 1)^2$;

3) $y = (x + 2)^2 + 2$.

Для построения графиков заданных функций сначала построим базовый график функции $y = x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке (0, 0).

Составим таблицу значений для построения параболы $y = x^2$:

• при $x = 0, y = 0^2 = 0$ → точка (0, 0)
• при $x = 1, y = 1^2 = 1$ → точка (1, 1)
• при $x = -1, y = (-1)^2 = 1$ → точка (-1, 1)
• при $x = 2, y = 2^2 = 4$ → точка (2, 4)
• при $x = -2, y = (-2)^2 = 4$ → точка (-2, 4)

Соединив эти точки плавной линией, мы получим график параболы $y=x^2$. Теперь, используя этот график как основу, построим остальные.

1) y = x² + 2

График функции $y = x^2 + 2$ получается из графика функции $y = x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (оси OY) на 2 единицы вверх. Каждая точка исходного графика смещается на 2 единицы вверх. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(0, 2)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = x^2 + 2$ необходимо сдвинуть график функции $y = x^2$ на 2 единицы вверх вдоль оси OY.

2) y = (x - 1)²

График функции $y = (x - 1)^2$ получается из графика функции $y = x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (оси OX) на 1 единицу вправо. Каждая точка исходного графика смещается на 1 единицу вправо. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(1, 0)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = (x - 1)^2$ необходимо сдвинуть график функции $y = x^2$ на 1 единицу вправо вдоль оси OX.

3) y = (x + 2)² + 2

График функции $y = (x + 2)^2 + 2$ получается из графика функции $y = x^2$ с помощью двух преобразований:

1. Параллельный перенос вдоль оси абсцисс (оси OX) на 2 единицы влево (так как $x+2 = x - (-2)$).
2. Параллельный перенос вдоль оси ординат (оси OY) на 2 единицы вверх.

Таким образом, каждая точка исходного графика смещается на 2 единицы влево и на 2 единицы вверх. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-2, 2)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = (x + 2)^2 + 2$ необходимо сдвинуть график функции $y = x^2$ на 2 единицы влево вдоль оси OX и на 2 единицы вверх вдоль оси OY.

84. Постройте график функции $y = -x^2$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = -x^2 - 1$;

2) $y = 3 - x^2$;

3) $y = -(x + 1)^2 - 2$.

Для построения графиков заданных функций сначала построим базовый график функции $y = -x^2$.

График функции $y = -x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, точке $(0, 0)$. Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз. Для точности построения найдём несколько точек, принадлежащих графику:

• Если $x = 0$, то $y = -0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $x = 1$, то $y = -1^2 = -1$. Точка $(1, -1)$.
• Если $x = -1$, то $y = -(-1)^2 = -1$. Точка $(-1, -1)$.
• Если $x = 2$, то $y = -2^2 = -4$. Точка $(2, -4)$.
• Если $x = -2$, то $y = -(-2)^2 = -4$. Точка $(-2, -4)$.

Теперь, используя этот базовый график, построим остальные графики с помощью преобразований (сдвигов).

1) $y = -x^2 - 1$;

Чтобы получить график функции $y = -x^2 - 1$, необходимо график функции $y = -x^2$ сдвинуть на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$. Каждая точка графика $y = -x^2$ смещается на 1 единицу вниз. Вершина параболы из точки $(0, 0)$ перемещается в точку $(0, -1)$.

Ответ: График функции $y = -x^2 - 1$ — это парабола, полученная сдвигом параболы $y = -x^2$ на 1 единицу вниз. Её вершина находится в точке $(0, -1)$, ветви направлены вниз.

2) $y = 3 - x^2$;

Перепишем функцию в виде $y = -x^2 + 3$. Чтобы получить график этой функции, необходимо график функции $y = -x^2$ сдвинуть на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Каждая точка графика $y = -x^2$ смещается на 3 единицы вверх. Вершина параболы из точки $(0, 0)$ перемещается в точку $(0, 3)$.

Ответ: График функции $y = 3 - x^2$ — это парабола, полученная сдвигом параболы $y = -x^2$ на 3 единицы вверх. Её вершина находится в точке $(0, 3)$, ветви направлены вниз.

3) $y = -(x + 1)^2 - 2$.

Чтобы получить график функции $y = -(x + 1)^2 - 2$, необходимо выполнить два преобразования графика $y = -x^2$:

1. Сдвинуть его на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$ (поскольку в скобках $x+1$).
2. Сдвинуть его на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$ (из-за вычитания 2).

Таким образом, вершина параболы из точки $(0, 0)$ перемещается в точку $(-1, -2)$.

Ответ: График функции $y = -(x + 1)^2 - 2$ — это парабола, полученная сдвигом параболы $y = -x^2$ на 1 единицу влево и на 2 единицы вниз. Её вершина находится в точке $(-1, -2)$, ветви направлены вниз.

85. Постройте график функции $y = (x + 4)^2 - 4$. Используя этот график, найдите:

1) нули функции;

2) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) область значений функции.

Для построения графика функции $y = (x + 4)^2 - 4$ сначала проанализируем её. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Данный график можно получить из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем сдвига на 4 единицы влево по оси абсцисс и на 4 единицы вниз по оси ординат.

Вершина параболы находится в точке $(-4, -4)$. Так как коэффициент перед скобкой равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Осью симметрии является прямая $x = -4$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат. С осью Oy (при $x=0$): $y = (0+4)^2 - 4 = 16 - 4 = 12$. Точка пересечения — $(0, 12)$. С осью Ox (при $y=0$): $(x+4)^2 - 4 = 0$, что дает $(x+4)^2 = 4$, и, следовательно, $x+4 = 2$ или $x+4 = -2$. Отсюда получаем $x_1 = -2$ и $x_2 = -6$. Точки пересечения — $(-2, 0)$ и $(-6, 0)$.

По этим данным (вершина, направление ветвей, точки пересечения с осями) строим график. Теперь, используя этот график, найдем требуемые значения.

1) нули функции;

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Это абсциссы точек пересечения графика с осью Ox. Из анализа графика и приведенных выше расчетов следует, что график пересекает ось Ox в точках, где $x = -6$ и $x = -2$.

Ответ: $x_1 = -6$, $x_2 = -2$.

2) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;

Функция принимает положительные значения ($y > 0$) на тех промежутках, где ее график расположен выше оси Ox. Глядя на график, мы видим, что это происходит левее точки $x = -6$ и правее точки $x = -2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (-2; +\infty)$.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

Вершина параболы находится в точке $(-4, -4)$. Так как ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке до вершины и возрастает на промежутке после вершины. Ось симметрии $x=-4$ является границей между этими промежутками.

Промежуток убывания: $(-\infty; -4]$.

Промежуток возрастания: $[-4; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -4]$ и возрастает на промежутке $[-4; +\infty)$.

4) область значений функции.

Область значений — это множество всех возможных значений, которые может принимать функция $y$. Поскольку вершина параболы $(-4, -4)$ является ее точкой минимума, наименьшее значение функции равно $-4$. Так как ветви направлены вверх, функция может принимать любые значения, большие или равные $-4$.

Ответ: $y \in [-4; +\infty)$.