Номер 80, страница 53 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

80. Постройте график функции:

1) $y = -2x^2$;

2) $y = \frac{1}{2}x^2$;

3) $y = 4x^2$.

Для построения графиков функций вида $y = ax^2$ необходимо определить ключевые характеристики параболы: направление ветвей, положение вершины и найти координаты нескольких точек.

1) $y = -2x^2$

Графиком данной функции является парабола с вершиной в начале координат, точке (0, 0). Коэффициент при $x^2$ равен -2.

Так как коэффициент $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Так как $|a| = |-2| = 2 > 1$, парабола будет "уже" (растянута вдоль оси OY в 2 раза) по сравнению с базовой параболой $y = x^2$ и отражена относительно оси OX.

Для построения найдем координаты нескольких точек. Функция является четной, поэтому ее график симметричен относительно оси OY.

• при $x = 0, y = -2 \cdot 0^2 = 0$; точка (0, 0)
• при $x = 1, y = -2 \cdot 1^2 = -2$; точка (1, -2)
• при $x = -1, y = -2 \cdot (-1)^2 = -2$; точка (-1, -2)
• при $x = 2, y = -2 \cdot 2^2 = -8$; точка (2, -8)
• при $x = -2, y = -2 \cdot (-2)^2 = -8$; точка (-2, -8)

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график функции.

Ответ: График функции $y = -2x^2$ — это парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вниз. Она проходит через точки (1, -2), (-1, -2), (2, -8), (-2, -8).

2) $y = \frac{1}{2}x^2$

Графиком данной функции является парабола с вершиной в начале координат (0, 0). Коэффициент при $x^2$ равен $\frac{1}{2}$.

Так как коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Так как $|a| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, парабола будет "шире" (сжата к оси OX в 2 раза) по сравнению с базовой параболой $y = x^2$.

Для построения найдем координаты нескольких точек. Функция является четной, поэтому ее график симметричен относительно оси OY.

• при $x = 0, y = \frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0$; точка (0, 0)
• при $x = 1, y = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = 0.5$; точка (1, 0.5)
• при $x = -1, y = \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 = 0.5$; точка (-1, 0.5)
• при $x = 2, y = \frac{1}{2} \cdot 2^2 = 2$; точка (2, 2)
• при $x = -2, y = \frac{1}{2} \cdot (-2)^2 = 2$; точка (-2, 2)

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график функции.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}x^2$ — это парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вверх. Она проходит через точки (2, 2) и (-2, 2).

3) $y = 4x^2$

Графиком данной функции является парабола с вершиной в начале координат (0, 0). Коэффициент при $x^2$ равен 4.

Так как коэффициент $a = 4 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Так как $|a| = |4| = 4 > 1$, парабола будет "уже" (растянута вдоль оси OY в 4 раза) по сравнению с базовой параболой $y = x^2$.

Для построения найдем координаты нескольких точек. Функция является четной, поэтому ее график симметричен относительно оси OY.

• при $x = 0, y = 4 \cdot 0^2 = 0$; точка (0, 0)
• при $x = 1, y = 4 \cdot 1^2 = 4$; точка (1, 4)
• при $x = -1, y = 4 \cdot (-1)^2 = 4$; точка (-1, 4)
• при $x = 0.5, y = 4 \cdot (0.5)^2 = 4 \cdot 0.25 = 1$; точка (0.5, 1)
• при $x = -0.5, y = 4 \cdot (-0.5)^2 = 1$; точка (-0.5, 1)

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график функции.

Ответ: График функции $y = 4x^2$ — это парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вверх. Она проходит через точки (1, 4) и (-1, 4).