Номер 79, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

79. На рисунке 7 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{4}f(x)$;

2) $y = -f(x)$;

3) $y = -1.5f(x)$.

Рис. 7

1) y = $\frac{1}{4}f(x)$; Чтобы построить график функции $y = \frac{1}{4}f(x)$, необходимо выполнить сжатие исходного графика $y = f(x)$ вдоль оси ординат (оси $y$) в 4 раза. При таком преобразовании абсцисса каждой точки графика остается неизменной, а ордината умножается на коэффициент $\frac{1}{4}$. Вычислим новые координаты для характерных точек: точка $(-4, 4)$ перейдет в точку $(-4, 4 \cdot \frac{1}{4}) = (-4, 1)$; локальный минимум $(-2, 0)$ останется на месте, так как $0 \cdot \frac{1}{4} = 0$; точка пересечения с осью $y$ $(0, 3)$ перейдет в $(0, 3 \cdot \frac{1}{4}) = (0, 0.75)$; локальный максимум $(1, 4)$ перейдет в $(1, 4 \cdot \frac{1}{4}) = (1, 1)$; нуль функции в точке $(2, 0)$ также останется на месте. Соединив полученные точки плавной кривой, мы получим график, который сжат по вертикали по сравнению с исходным. Ответ: График функции $y = \frac{1}{4}f(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем сжатия вдоль оси ординат в 4 раза.

2) y = $-f(x)$; Для построения графика функции $y = -f(x)$ необходимо выполнить симметричное отражение исходного графика $y = f(x)$ относительно оси абсцисс (оси $x$). При этом преобразовании для каждой точки графика абсцисса остается прежней, а ордината меняет свой знак на противоположный. Вычислим новые координаты для характерных точек: точка $(-4, 4)$ перейдет в точку $(-4, -4)$; локальный минимум $(-2, 0)$ останется на месте, так как $-0 = 0$; точка пересечения с осью $y$ $(0, 3)$ перейдет в $(0, -3)$; локальный максимум $(1, 4)$ перейдет в локальный минимум в точке $(1, -4)$; нуль функции в точке $(2, 0)$ останется на месте. Соединив новые точки, мы получим график, являющийся зеркальным отражением исходного относительно горизонтальной оси. Ответ: График функции $y = -f(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс.

3) y = $-1,5f(x)$; Построение графика функции $y = -1,5f(x)$ включает в себя два преобразования графика $y = f(x)$: растяжение вдоль оси ординат (оси $y$) с коэффициентом $1,5$ и симметричное отражение относительно оси абсцисс (оси $x$). Абсцисса каждой точки графика остается неизменной, а ордината умножается на коэффициент $-1,5$. Вычислим новые координаты для характерных точек: точка $(-4, 4)$ перейдет в точку $(-4, 4 \cdot (-1,5)) = (-4, -6)$; локальный минимум $(-2, 0)$ останется на месте; точка пересечения с осью $y$ $(0, 3)$ перейдет в $(0, 3 \cdot (-1,5)) = (0, -4,5)$; локальный максимум $(1, 4)$ перейдет в локальный минимум в точке $(1, 4 \cdot (-1,5)) = (1, -6)$; нуль функции в точке $(2, 0)$ останется на месте. Полученный график будет отражен относительно оси $x$ и растянут по вертикали в $1,5$ раза по сравнению с исходным. Ответ: График функции $y = -1,5f(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем растяжения вдоль оси ординат в 1,5 раза и симметричного отражения относительно оси абсцисс.