Страница 52 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

74. Какие из линейных функций $y = 2x + 62$; $y = -0,18x + 1$; $y = 0,25x - 20$; $y = 122x - 1$; $y = 0,04x$; $y = -x - 1$:
1) возрастающие;
2) убывающие?

Характер монотонности (возрастание или убывание) линейной функции, заданной уравнением вида $y = kx + b$, зависит от знака её углового коэффициента $k$.

• Если коэффициент $k > 0$ (положительный), то функция является возрастающей. Это означает, что с увеличением значения $x$ значение $y$ также увеличивается.
• Если коэффициент $k < 0$ (отрицательный), то функция является убывающей. Это означает, что с увеличением значения $x$ значение $y$ уменьшается.

Проанализируем каждую из предложенных функций, определив знак коэффициента $k$:

• $y = 2x + 62$: угловой коэффициент $k = 2$. Так как $2 > 0$, функция возрастающая.
• $y = -0,18x + 1$: угловой коэффициент $k = -0,18$. Так как $-0,18 < 0$, функция убывающая.
• $y = 0,25x - 20$: угловой коэффициент $k = 0,25$. Так как $0,25 > 0$, функция возрастающая.
• $y = 122x - 1$: угловой коэффициент $k = 122$. Так как $122 > 0$, функция возрастающая.
• $y = 0,04x$: угловой коэффициент $k = 0,04$. Так как $0,04 > 0$, функция возрастающая.
• $y = -x - 1$: угловой коэффициент $k = -1$. Так как $-1 < 0$, функция убывающая.

1) возрастающие;

К возрастающим функциям относятся те, у которых угловой коэффициент $k$ положителен. Из данного списка это:
$y = 2x + 62$
$y = 0,25x - 20$
$y = 122x - 1$
$y = 0,04x$
Ответ: $y = 2x + 62$; $y = 0,25x - 20$; $y = 122x - 1$; $y = 0,04x$.

2) убывающие?

К убывающим функциям относятся те, у которых угловой коэффициент $k$ отрицателен. Из данного списка это:
$y = -0,18x + 1$
$y = -x - 1$
Ответ: $y = -0,18x + 1$; $y = -x - 1$.

75. Найдите нули функции:

1) $f(x) = -0,2x + 5$;

2) $f(x) = 5x^2 - 6x + 1$;

3) $f(x) = \sqrt{3 - x}$;

4) $f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x + 1}$;

5) $f(x) = \sqrt{|x|} - 2$;

6) $f(x) = \sqrt{|x|} + 1$;

7) $f(x) = (x - 2)\sqrt{x - 3}$.

1) Чтобы найти нули функции $f(x) = -0,2x + 5$, нужно решить уравнение $f(x) = 0$.
$-0,2x + 5 = 0$
$-0,2x = -5$
$x = \frac{-5}{-0,2}$
$x = 25$
Ответ: 25.

2) Приравниваем функцию $f(x) = 5x^2 - 6x + 1$ к нулю:
$5x^2 - 6x + 1 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$
$\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 4}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = 0,2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
Ответ: 0,2; 1.

3) Для функции $f(x) = \sqrt{3-x}$ сначала найдем область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$3 - x \ge 0 \implies x \le 3$
Теперь найдем нули, решив уравнение $f(x) = 0$:
$\sqrt{3-x} = 0$
Возведем обе части в квадрат:
$3 - x = 0$
$x = 3$
Значение $x = 3$ удовлетворяет области определения.
Ответ: 3.

4) Для функции $f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x + 1}$ область определения исключает значения, при которых знаменатель равен нулю:
$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$
Нули функции соответствуют корням числителя, которые входят в область определения.
Приравниваем числитель к нулю:
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Найдем корни, например, по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -3$. Корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Проверяем корни по области определения. Корень $x = -1$ не входит в область определения, поэтому он не является нулем функции.
Единственный нуль функции - это $x=3$.
Ответ: 3.

5) Для функции $f(x) = \sqrt{|x| - 2}$ найдем область определения из условия $|x| - 2 \ge 0$:
$|x| \ge 2$, что означает $x \le -2$ или $x \ge 2$.
Решим уравнение $f(x) = 0$:
$\sqrt{|x| - 2} = 0$
$|x| - 2 = 0$
$|x| = 2$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Оба значения входят в область определения функции.
Ответ: -2; 2.

6) Для функции $f(x) = \sqrt{|x| + 1}$ область определения: $|x| + 1 \ge 0$. Так как $|x| \ge 0$ для любого $x$, то $|x| + 1 \ge 1$. Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.
Найдем нули функции:
$\sqrt{|x| + 1} = 0$
$|x| + 1 = 0$
$|x| = -1$
Это уравнение не имеет решений, так как модуль действительного числа не может быть отрицательным.
Ответ: нулей нет.

7) Для функции $f(x) = (x - 2)\sqrt{x - 3}$ найдем область определения:
$x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$
Решим уравнение $f(x) = 0$:
$(x - 2)\sqrt{x - 3} = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $x - 2 = 0 \implies x = 2$. Этот корень не входит в область определения ($2 < 3$).
2) $\sqrt{x - 3} = 0 \implies x - 3 = 0 \implies x = 3$. Этот корень входит в область определения.
Таким образом, функция имеет единственный нуль.
Ответ: 3.

76. Докажите, что функция:

1) $f(x) = \frac{5}{x+2}$ убывает на промежутке $(-2; +\infty)$;

2) $f(x) = 8x-x^2$ возрастает на промежутке $(-\infty; 4]$.

1) f(x) = $\frac{5}{x+2}$ убывает на промежутке $(-2; +\infty)$;

Чтобы доказать, что функция убывает на заданном промежутке, необходимо показать, что ее производная на этом промежутке отрицательна.

1. Находим производную функции $f(x) = \frac{5}{x+2}$.
Функцию можно представить в виде $f(x) = 5(x+2)^{-1}$. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:
$f'(x) = (5(x+2)^{-1})' = 5 \cdot (-1) \cdot (x+2)^{-2} \cdot (x+2)' = -5(x+2)^{-2} \cdot 1 = -\frac{5}{(x+2)^2}$.

2. Определяем знак производной на промежутке $(-2; +\infty)$.
Выражение для производной $f'(x) = -\frac{5}{(x+2)^2}$ состоит из числителя $-5$ (отрицательное число) и знаменателя $(x+2)^2$. Так как квадрат любого ненулевого числа является положительным, а на промежутке $(-2; +\infty)$ выражение $x+2$ не равно нулю, то знаменатель $(x+2)^2$ всегда больше нуля.

Следовательно, производная $f'(x)$ представляет собой частное от деления отрицательного числа на положительное, что всегда дает отрицательный результат.
$f'(x) < 0$ для всех $x \in (-2; +\infty)$.

Так как производная функции отрицательна на всем заданном промежутке, это доказывает, что функция $f(x)$ убывает на промежутке $(-2; +\infty)$.
Ответ: Доказано, что функция $f(x) = \frac{5}{x+2}$ убывает на промежутке $(-2; +\infty)$.

2) f(x) = $8x - x^2$ возрастает на промежутке $(-\infty; 4]$;

Чтобы доказать, что функция возрастает на заданном промежутке, необходимо показать, что ее производная на этом промежутке неотрицательна (т.е. $f'(x) \ge 0$).

1. Находим производную функции $f(x) = 8x - x^2$.
$f'(x) = (8x - x^2)' = (8x)' - (x^2)' = 8 - 2x$.

2. Определяем знак производной на промежутке $(-\infty; 4]$.
Для этого решим неравенство $f'(x) \ge 0$:
$8 - 2x \ge 0$
$8 \ge 2x$
$4 \ge x$, что равносильно $x \le 4$.

Решение неравенства $x \le 4$ представляет собой промежуток $(-\infty; 4]$. Это означает, что для любого $x$ из этого промежутка производная $f'(x)$ неотрицательна. При этом производная равна нулю только в одной точке $x=4$.

Так как производная функции неотрицательна на всем заданном промежутке, это доказывает, что функция $f(x)$ возрастает на промежутке $(-\infty; 4]$.
Ответ: Доказано, что функция $f(x) = 8x - x^2$ возрастает на промежутке $(-\infty; 4]$.

77. При каких значениях $a$ точка $B(a; -50)$ принадлежит графику функции $y = -2x^2$?

Точка принадлежит графику функции, если ее координаты удовлетворяют уравнению этой функции. В данном случае, координаты точки $B(a; -50)$ — это $x = a$ и $y = -50$. Функция задана уравнением $y = -2x^2$.

Подставим координаты точки $B$ в уравнение функции:
$-50 = -2 \cdot a^2$

Теперь решим это уравнение относительно $a$. Для этого разделим обе части уравнения на $-2$:
$a^2 = \frac{-50}{-2}$
$a^2 = 25$

Чтобы найти $a$, извлечем квадратный корень из 25. Уравнение имеет два решения:
$a_1 = \sqrt{25} = 5$
$a_2 = -\sqrt{25} = -5$

Следовательно, точка $B$ принадлежит графику функции при значениях $a$, равных 5 и -5.

Ответ: $a = -5; 5$.

78. Известно, что точка E$(-3; 12)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$. Найдите значение $a$.

По условию задачи, точка $E(-3; 12)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$. Это означает, что если подставить координаты этой точки в уравнение функции, то получится верное равенство.

Подставим значения $x = -3$ и $y = 12$ в уравнение функции:

$12 = a \cdot (-3)^2$

Выполним вычисление степени:

$12 = a \cdot 9$

Теперь выразим $a$, разделив обе части уравнения на 9:

$a = \frac{12}{9}$

Сократим полученную дробь на 3:

$a = \frac{4}{3}$

Ответ: $a = \frac{4}{3}$

79. На рисунке 7 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{4}f(x)$;

2) $y = -f(x)$;

3) $y = -1.5f(x)$.

Рис. 7

1) y = $\frac{1}{4}f(x)$; Чтобы построить график функции $y = \frac{1}{4}f(x)$, необходимо выполнить сжатие исходного графика $y = f(x)$ вдоль оси ординат (оси $y$) в 4 раза. При таком преобразовании абсцисса каждой точки графика остается неизменной, а ордината умножается на коэффициент $\frac{1}{4}$. Вычислим новые координаты для характерных точек: точка $(-4, 4)$ перейдет в точку $(-4, 4 \cdot \frac{1}{4}) = (-4, 1)$; локальный минимум $(-2, 0)$ останется на месте, так как $0 \cdot \frac{1}{4} = 0$; точка пересечения с осью $y$ $(0, 3)$ перейдет в $(0, 3 \cdot \frac{1}{4}) = (0, 0.75)$; локальный максимум $(1, 4)$ перейдет в $(1, 4 \cdot \frac{1}{4}) = (1, 1)$; нуль функции в точке $(2, 0)$ также останется на месте. Соединив полученные точки плавной кривой, мы получим график, который сжат по вертикали по сравнению с исходным. Ответ: График функции $y = \frac{1}{4}f(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем сжатия вдоль оси ординат в 4 раза.

2) y = $-f(x)$; Для построения графика функции $y = -f(x)$ необходимо выполнить симметричное отражение исходного графика $y = f(x)$ относительно оси абсцисс (оси $x$). При этом преобразовании для каждой точки графика абсцисса остается прежней, а ордината меняет свой знак на противоположный. Вычислим новые координаты для характерных точек: точка $(-4, 4)$ перейдет в точку $(-4, -4)$; локальный минимум $(-2, 0)$ останется на месте, так как $-0 = 0$; точка пересечения с осью $y$ $(0, 3)$ перейдет в $(0, -3)$; локальный максимум $(1, 4)$ перейдет в локальный минимум в точке $(1, -4)$; нуль функции в точке $(2, 0)$ останется на месте. Соединив новые точки, мы получим график, являющийся зеркальным отражением исходного относительно горизонтальной оси. Ответ: График функции $y = -f(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс.

3) y = $-1,5f(x)$; Построение графика функции $y = -1,5f(x)$ включает в себя два преобразования графика $y = f(x)$: растяжение вдоль оси ординат (оси $y$) с коэффициентом $1,5$ и симметричное отражение относительно оси абсцисс (оси $x$). Абсцисса каждой точки графика остается неизменной, а ордината умножается на коэффициент $-1,5$. Вычислим новые координаты для характерных точек: точка $(-4, 4)$ перейдет в точку $(-4, 4 \cdot (-1,5)) = (-4, -6)$; локальный минимум $(-2, 0)$ останется на месте; точка пересечения с осью $y$ $(0, 3)$ перейдет в $(0, 3 \cdot (-1,5)) = (0, -4,5)$; локальный максимум $(1, 4)$ перейдет в локальный минимум в точке $(1, 4 \cdot (-1,5)) = (1, -6)$; нуль функции в точке $(2, 0)$ останется на месте. Полученный график будет отражен относительно оси $x$ и растянут по вертикали в $1,5$ раза по сравнению с исходным. Ответ: График функции $y = -1,5f(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем растяжения вдоль оси ординат в 1,5 раза и симметричного отражения относительно оси абсцисс.