Страница 45 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

44. Изобразите на координатной прямой и запишите пересечение промежутков:

1) $ [-5; 11] $ и $ [6; 13] $;

2) $ (3; 8) $ и $ [3; 10] $;

3) $ (-\infty; 6,3) $ и $ (2,5; +\infty) $;

4) $ (-\infty; 4,1) $ и $ (4,7; +\infty) $;

5) $ [2; +\infty) $ и $ [5,6; +\infty) $;

6) $ [4; 13] $ и $ [7,2; 11] $.

1) $[-5; 11]$ и $[6; 13]$
Чтобы найти пересечение промежутков, изобразим их на координатной прямой. Первый промежуток $[-5; 11]$ — это множество чисел $x$, таких что $-5 \le x \le 11$. Второй промежуток $[6; 13]$ — это множество чисел $x$, таких что $6 \le x \le 13$. На координатной прямой это два отрезка. Их общая часть (пересечение) — это множество чисел, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. Это числа от 6 до 11, включая концы. Таким образом, пересечением является промежуток $[6; 11]$.
Математическая запись: $[-5; 11] \cap [6; 13] = [6; 11]$.
Ответ: $[6; 11]$.

2) $(3; 8]$ и $[3; 10]$
Изобразим на координатной прямой промежуток $(3; 8]$, который соответствует неравенству $3 < x \le 8$, и промежуток $[3; 10]$, соответствующий неравенству $3 \le x \le 10$. Пересечением будет множество чисел, удовлетворяющих обоим неравенствам. Это числа, которые строго больше 3 и меньше или равны 8. Точка 3 не входит в первый промежуток, поэтому она не входит и в пересечение. Точка 8 входит в оба промежутка, поэтому она входит в пересечение. Таким образом, результатом является промежуток $(3; 8]$.
Математическая запись: $(3; 8] \cap [3; 10] = (3; 8]$.
Ответ: $(3; 8]$.

3) $(-\infty; 6,3)$ и $(2,5; +\infty)$
Изобразим на координатной прямой промежуток $(-\infty; 6,3)$, то есть все числа $x < 6,3$, и промежуток $(2,5; +\infty)$, то есть все числа $x > 2,5$. Пересечением будет множество чисел, которые одновременно больше 2,5 и меньше 6,3. Это интервал от 2,5 до 6,3, не включая концы.
Математическая запись: $(-\infty; 6,3) \cap (2,5; +\infty) = (2,5; 6,3)$.
Ответ: $(2,5; 6,3)$.

4) $(-\infty; 4,1)$ и $(4,7; +\infty)$
Изобразим на координатной прямой луч $(-\infty; 4,1)$ (все числа $x < 4,1$) и луч $(4,7; +\infty)$ (все числа $x > 4,7$). На прямой видно, что эти два множества не имеют общих точек, так как не существует числа, которое было бы одновременно меньше 4,1 и больше 4,7. Следовательно, их пересечение является пустым множеством ($\emptyset$).
Математическая запись: $(-\infty; 4,1) \cap (4,7; +\infty) = \emptyset$.
Ответ: $\emptyset$.

5) $[2; +\infty)$ и $[5,6; +\infty)$
Изобразим на координатной прямой луч $[2; +\infty)$ (все числа $x \ge 2$) и луч $[5,6; +\infty)$ (все числа $x \ge 5,6$). Пересечением будет множество чисел, которые удовлетворяют обоим условиям. Если число больше или равно 5,6, оно автоматически больше или равно 2. Поэтому пересечением будет луч $[5,6; +\infty)$.
Математическая запись: $[2; +\infty) \cap [5,6; +\infty) = [5,6; +\infty)$.
Ответ: $[5,6; +\infty)$.

6) $[4; 13]$ и $[7,2; 11)$
Изобразим на координатной прямой отрезок $[4; 13]$ ($4 \le x \le 13$) и полуинтервал $[7,2; 11)$ ($7,2 \le x < 11$). Общей частью будет множество чисел, удовлетворяющих обоим неравенствам. Это числа от 7,2 (включительно) до 11 (не включительно). Таким образом, пересечением является полуинтервал $[7,2; 11)$.
Математическая запись: $[4; 13] \cap [7,2; 11) = [7,2; 11)$.
Ответ: $[7,2; 11)$.

45. Решите систему неравенств:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

1)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} -4x > 16 \\ -3x > 4 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$-4x > 16$

Разделим обе части на -4 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x < \frac{16}{-4}$

$x < -4$

2. Решим второе неравенство:

$-3x > 4$

Разделим обе части на -3 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x < \frac{4}{-3}$

$x < -1\frac{1}{3}$

3. Найдем пересечение решений двух неравенств: $x < -4$ и $x < -1\frac{1}{3}$. На числовой прямой отметим оба интервала. Пересечением будет интервал, где выполняются оба условия, то есть $x < -4$.

Решение системы в виде интервала: $(-\infty; -4)$.

Ответ: $(-\infty; -4)$.

2)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 4x - 3 \geq x + 6 \\ 5x + 1 \geq 6x - 11 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$4x - 3 \geq x + 6$

$4x - x \geq 6 + 3$

$3x \geq 9$

$x \geq 3$

2. Решим второе неравенство:

$5x + 1 \geq 6x - 11$

$1 + 11 \geq 6x - 5x$

$12 \geq x$ или $x \leq 12$

3. Найдем пересечение решений: $x \geq 3$ и $x \leq 12$. Это означает, что $x$ находится в промежутке от 3 до 12, включая концы.

Решение системы в виде интервала: $[3; 12]$.

Ответ: $[3; 12]$.

3)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 0,4(x - 2) \leq 0,6x + 1 \\ 5x + 3 > 4(x + 1,25) \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$0,4(x - 2) \leq 0,6x + 1$

$0,4x - 0,8 \leq 0,6x + 1$

$-0,8 - 1 \leq 0,6x - 0,4x$

$-1,8 \leq 0,2x$

$x \geq \frac{-1,8}{0,2}$

$x \geq -9$

2. Решим второе неравенство:

$5x + 3 > 4(x + 1,25)$

$5x + 3 > 4x + 5$

$5x - 4x > 5 - 3$

$x > 2$

3. Найдем пересечение решений: $x \geq -9$ и $x > 2$. Общим решением является $x > 2$.

Решение системы в виде интервала: $(2; +\infty)$.

Ответ: $(2; +\infty)$.

4)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x(x + 3) > (x + 1)(x - 2) - 1 \\ (2x + 1)(x + 2) - (x - 2)(x - 4) < x^2 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$x^2 + 3x > x^2 - 2x + x - 2 - 1$

$x^2 + 3x > x^2 - x - 3$

$3x > -x - 3$

$4x > -3$

$x > -\frac{3}{4}$

2. Решим второе неравенство:

$(2x^2 + 4x + x + 2) - (x^2 - 4x - 2x + 8) < x^2$

$(2x^2 + 5x + 2) - (x^2 - 6x + 8) < x^2$

$2x^2 + 5x + 2 - x^2 + 6x - 8 < x^2$

$x^2 + 11x - 6 < x^2$

$11x - 6 < 0$

$11x < 6$

$x < \frac{6}{11}$

3. Найдем пересечение решений: $x > -3/4$ и $x < 6/11$.

Решение системы в виде интервала: $(-\frac{3}{4}; \frac{6}{11})$.

Ответ: $(-\frac{3}{4}; \frac{6}{11})$.

5)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{2x - 1}{4} - \frac{4 - x}{2} > \frac{3}{4} \\ \frac{x - 1}{2} < \frac{2 - x}{3} + \frac{1}{2} \end{cases} $

1. Решим первое неравенство. Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$(2x - 1) - 2(4 - x) > 3$

$2x - 1 - 8 + 2x > 3$

$4x - 9 > 3$

$4x > 12$

$x > 3$

2. Решим второе неравенство. Умножим обе части на 6:

$3(x - 1) < 2(2 - x) + 3$

$3x - 3 < 4 - 2x + 3$

$3x - 3 < 7 - 2x$

$5x < 10$

$x < 2$

3. Найдем пересечение решений: $x > 3$ и $x < 2$. Не существует числа, которое одновременно больше 3 и меньше 2, поэтому система не имеет решений.

Ответ: нет решений (или $\emptyset$).

6)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} (2x + 1)^2 + 2x \leq (2x - 1)(2x + 1) - 4 \\ \frac{2x - 1}{2} \geq \frac{x - 5}{4} - \frac{x + 1}{8} \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$(4x^2 + 4x + 1) + 2x \leq (4x^2 - 1) - 4$

$4x^2 + 6x + 1 \leq 4x^2 - 5$

$6x + 1 \leq -5$

$6x \leq -6$

$x \leq -1$

2. Решим второе неравенство. Умножим обе части на 8:

$4(2x - 1) \geq 2(x - 5) - (x + 1)$

$8x - 4 \geq 2x - 10 - x - 1$

$8x - 4 \geq x - 11$

$7x \geq -7$

$x \geq -1$

3. Найдем пересечение решений: $x \leq -1$ и $x \geq -1$. Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x = -1$.

Ответ: $\{-1\}$.

46. Сколько целых решений имеет система неравенств:

1) $\begin{cases} 8x - 19 < 5x - 7, \\ 2 - x > 3 - 4x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 12x + 23 \geq 3x - 4, \\ 5x + 2 \geq 8x - 6; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 6x - 2 > 4x + 5, \\ 7x - 10 \leq 2x + 11; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{3x + 2}{2} - 2 \geq 4x, \\ (x + 5)(x - 3) \geq x(x - 1) - 19? \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 8x - 19 < 5x - 7 \\ 2 - x > 3 - 4x \end{cases} $$

Решаем первое неравенство:

$8x - 5x < 19 - 7$

$3x < 12$

$x < 4$

Решаем второе неравенство:

$4x - x > 3 - 2$

$3x > 1$

$x > \frac{1}{3}$

Объединяем решения: $\frac{1}{3} < x < 4$.

Целые решения, принадлежащие этому интервалу: 1, 2, 3. Всего 3 решения.

Ответ: 3

2)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 12x + 23 \ge 3x - 4 \\ 5x + 2 \ge 8x - 6 \end{cases} $$

Решаем первое неравенство:

$12x - 3x \ge -4 - 23$

$9x \ge -27$

$x \ge -3$

Решаем второе неравенство:

$2 + 6 \ge 8x - 5x$

$8 \ge 3x$

$x \le \frac{8}{3}$

Объединяем решения: $-3 \le x \le \frac{8}{3}$.

Так как $\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$, целые решения, принадлежащие этому отрезку: -3, -2, -1, 0, 1, 2. Всего 6 решений.

Ответ: 6

3)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 6x - 2 > 4x + 5 \\ 7x - 10 \le 2x + 11 \end{cases} $$

Решаем первое неравенство:

$6x - 4x > 5 + 2$

$2x > 7$

$x > \frac{7}{2}$ или $x > 3.5$

Решаем второе неравенство:

$7x - 2x \le 11 + 10$

$5x \le 21$

$x \le \frac{21}{5}$ или $x \le 4.2$

Объединяем решения: $3.5 < x \le 4.2$.

Единственное целое решение, принадлежащее этому полуинтервалу: 4. Всего 1 решение.

Ответ: 1

4)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{3x + 2}{2} - 2 \ge 4x \\ (x + 5)(x - 3) \ge x(x - 1) - 19 \end{cases} $$

Решаем первое неравенство. Умножим обе части на 2:

$(3x + 2) - 4 \ge 8x$

$3x - 2 \ge 8x$

$-2 \ge 8x - 3x$

$-2 \ge 5x$

$x \le -\frac{2}{5}$ или $x \le -0.4$

Решаем второе неравенство. Раскроем скобки:

$x^2 - 3x + 5x - 15 \ge x^2 - x - 19$

$x^2 + 2x - 15 \ge x^2 - x - 19$

$2x - 15 \ge -x - 19$

$2x + x \ge -19 + 15$

$3x \ge -4$

$x \ge -\frac{4}{3}$ или $x \ge -1\frac{1}{3}$

Объединяем решения: $-\frac{4}{3} \le x \le -\frac{2}{5}$.

В десятичных дробях: $-1.33... \le x \le -0.4$.

Единственное целое решение, принадлежащее этому отрезку: -1. Всего 1 решение.

Ответ: 1