Страница 42 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. Изобразите на координатной прямой промежуток:

1) $[-3; +\infty)$

2) $(-3; +\infty)$

3) $(-\infty; -3)$

4) $(-\infty; -3]$

1) [-3; +∞)

Промежуток $[-3; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, которые больше или равны $-3$. Это можно записать в виде неравенства: $x \ge -3$.

На координатной прямой этот промежуток изображается следующим образом:

• Отмечаем точку $-3$.
• Квадратная скобка `[` означает, что число $-3$ входит в промежуток. Поэтому точка $-3$ изображается закрашенным (сплошным) кружком.
• Знак $+\infty$ означает, что промежуток продолжается вправо до бесконечности. Поэтому мы заштриховываем всю часть прямой, расположенную правее точки $-3$.

Ответ:

2) (-3; +∞)

Промежуток $(-3; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, которые строго больше $-3$. Это можно записать в виде строгого неравенства: $x > -3$.

На координатной прямой этот промежуток изображается следующим образом:

• Отмечаем точку $-3$.
• Круглая скобка `(` означает, что число $-3$ не входит в промежуток. Поэтому точка $-3$ изображается выколотым (пустым) кружком.
• Знак $+\infty$ означает, что промежуток продолжается вправо до бесконечности. Поэтому мы заштриховываем всю часть прямой, расположенную правее точки $-3$.

Ответ:

3) (-∞; -3)

Промежуток $(-\infty; -3)$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, которые строго меньше $-3$. Это можно записать в виде строгого неравенства: $x < -3$.

На координатной прямой этот промежуток изображается следующим образом:

• Отмечаем точку $-3$.
• Круглая скобка `)` означает, что число $-3$ не входит в промежуток. Поэтому точка $-3$ изображается выколотым (пустым) кружком.
• Знак $-\infty$ означает, что промежуток продолжается влево до бесконечности. Поэтому мы заштриховываем всю часть прямой, расположенную левее точки $-3$.

Ответ:

4) (-∞; -3]

Промежуток $(-\infty; -3]$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, которые меньше или равны $-3$. Это можно записать в виде неравенства: $x \le -3$.

На координатной прямой этот промежуток изображается следующим образом:

• Отмечаем точку $-3$.
• Квадратная скобка `]` означает, что число $-3$ входит в промежуток. Поэтому точка $-3$ изображается закрашенным (сплошным) кружком.
• Знак $-\infty$ означает, что промежуток продолжается влево до бесконечности. Поэтому мы заштриховываем всю часть прямой, расположенную левее точки $-3$.

Ответ:

22. Изобразите на координатной прямой и запишите промежуток, который задаётся неравенством:

1) $x > -2$; 2) $x < -3$; 3) $x \geq 3$; 4) $x \leq 6$.

1) $x > -2$

Данное неравенство является строгим, так как используется знак "больше" ($>$). Это означает, что решением являются все числа, которые строго больше -2. Само число -2 в решение не входит.

На координатной прямой это изображается следующим образом: в точке с координатой -2 ставится "выколотая" (пустая) точка. От этой точки вправо (в сторону увеличения чисел) проводится штриховка.

В виде числового промежутка это записывается с использованием круглой скобки, которая показывает, что граничное значение (-2) не включается в промежуток. Правая граница уходит в плюс бесконечность, которая также всегда обозначается круглой скобкой.

Ответ: $(-2; +\infty)$

2) $x < -3$

Данное неравенство является строгим, так как используется знак "меньше" ($<$). Решением являются все числа, которые строго меньше -3. Само число -3 в решение не входит.

На координатной прямой в точке -3 ставится "выколотая" (пустая) точка. От этой точки влево (в сторону уменьшения чисел) проводится штриховка.

Промежуток начинается от минус бесконечности (всегда круглая скобка) и заканчивается числом -3. Так как -3 не входит в решение, используется круглая скобка.

Ответ: $(-\infty; -3)$

3) $x \geq 3$

Данное неравенство является нестрогим, так как используется знак "больше или равно" ($\geq$). Решением являются все числа, которые больше или равны 3. Число 3 включается в решение.

На координатной прямой в точке с координатой 3 ставится закрашенная (полная) точка, чтобы показать, что само число является решением. От этой точки вправо наносится штриховка.

В виде промежутка это записывается с использованием квадратной скобки, которая показывает, что граничное значение (3) включается в промежуток. Правая граница уходит в плюс бесконечность.

Ответ: $[3; +\infty)$

4) $x \leq 6$

Данное неравенство является нестрогим, так как используется знак "меньше или равно" ($\leq$). Решением являются все числа, которые меньше или равны 6. Число 6 включается в решение.

На координатной прямой в точке 6 ставится закрашенная (полная) точка. От этой точки влево (в сторону минус бесконечности) наносится штриховка.

Промежуток начинается от минус бесконечности и заканчивается числом 6. Так как число 6 входит в решение, используется квадратная скобка.

Ответ: $(-\infty; 6]$

23. Укажите наименьшее целое число, принадлежащее промежутку:

1) $(-2,7; +\infty);$

2) $[9; +\infty).$

1) Дан промежуток $(-2,7; +\infty)$. Это множество всех чисел $x$, которые удовлетворяют строгому неравенству $x > -2,7$. Нам нужно найти наименьшее целое число, которое принадлежит этому промежутку.
Рассмотрим целые числа на числовой прямой в окрестности $-2,7$: ..., $-4, -3, -2, -1, 0, ...$
Найдём первое целое число, которое больше $-2,7$:
- Целое число $-3$ не удовлетворяет условию, так как $-3 < -2,7$.
- Целое число $-2$ удовлетворяет условию, так как $-2 > -2,7$.
Таким образом, наименьшее целое число, входящее в промежуток $(-2,7; +\infty)$, это $-2$.
Ответ: -2.

2) Дан промежуток $[9; +\infty)$. Это множество всех чисел $x$, которые удовлетворяют нестрогому неравенству $x \geq 9$. Нам нужно найти наименьшее целое число, которое принадлежит этому промежутку.
Квадратная скобка в записи промежутка означает, что его начальная точка, число $9$, включена в этот промежуток.
Поскольку $9$ является целым числом и удовлетворяет условию $x \geq 9$, оно и есть наименьшее целое число в данном промежутке. Все последующие целые числа ($10, 11, 12, ...$) также принадлежат промежутку, но они больше $9$.
Следовательно, наименьшее целое число, принадлежащее промежутку $[9; +\infty)$, это $9$.
Ответ: 9.

24. Решите неравенство:

1) $2x > 10$;

2) $-4x \le 16$;

3) $\frac{1}{4}x > -3$;

4) $-0,2x \le -2$;

5) $3,9x > 0$;

6) $-6x \le 0$;

7) $2 \frac{3}{4}x \ge -3 \frac{2}{3}$;

8) $5x > 24 - x$;

9) $9x + 5 \le 31 - 4x$;

10) $7 - 4x < 6x - 23$;

11) $4,7 - 2,3x \le 1,2x - 9,3$;

12) $\frac{4}{9}x + 7 < \frac{1}{3}x + 2$.

1) Дано неравенство $2x > 10$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 2. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства не меняется.
$x > \frac{10}{2}$
$x > 5$
Ответ: $x \in (5; +\infty)$.

2) Дано неравенство $-4x \le 16$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -4. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (с $ \le $ на $ \ge $).
$x \ge \frac{16}{-4}$
$x \ge -4$
Ответ: $x \in [-4; +\infty)$.

3) Дано неравенство $\frac{1}{4}x > -3$.
Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на 4. Так как мы умножаем на положительное число, знак неравенства не меняется.
$x > -3 \cdot 4$
$x > -12$
Ответ: $x \in (-12; +\infty)$.

4) Дано неравенство $-0,2x \le -2$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -0,2. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (с $ \le $ на $ \ge $).
$x \ge \frac{-2}{-0,2}$
$x \ge 10$
Ответ: $x \in [10; +\infty)$.

5) Дано неравенство $3,9x > 0$.
Разделим обе части неравенства на 3,9. Знак неравенства не меняется.
$x > \frac{0}{3,9}$
$x > 0$
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

6) Дано неравенство $-6x \le 0$.
Разделим обе части неравенства на -6. Знак неравенства меняется на противоположный.
$x \ge \frac{0}{-6}$
$x \ge 0$
Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

7) Дано неравенство $2\frac{3}{4}x \ge -3\frac{2}{3}$.
Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные.
$2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$
$-3\frac{2}{3} = -\frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{11}{3}$
Получаем неравенство: $\frac{11}{4}x \ge -\frac{11}{3}$.
Разделим обе части на $\frac{11}{4}$ (что равносильно умножению на $\frac{4}{11}$). Знак неравенства не меняется.
$x \ge -\frac{11}{3} \cdot \frac{4}{11}$
$x \ge -\frac{4}{3}$
Ответ: $x \in [-\frac{4}{3}; +\infty)$.

8) Дано неравенство $5x > 24 - x$.
Перенесем слагаемое с $x$ из правой части в левую, изменив его знак.
$5x + x > 24$
$6x > 24$
Разделим обе части на 6.
$x > \frac{24}{6}$
$x > 4$
Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

9) Дано неравенство $9x + 5 \le 31 - 4x$.
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены - в правую.
$9x + 4x \le 31 - 5$
$13x \le 26$
Разделим обе части на 13.
$x \le \frac{26}{13}$
$x \le 2$
Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

10) Дано неравенство $7 - 4x < 6x - 23$.
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены - в левую.
$7 + 23 < 6x + 4x$
$30 < 10x$
Разделим обе части на 10.
$3 < x$ или $x > 3$
Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

11) Дано неравенство $4,7 - 2,3x \le 1,2x - 9,3$.
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены - в левую.
$4,7 + 9,3 \le 1,2x + 2,3x$
$14 \le 3,5x$
Разделим обе части на 3,5.
$\frac{14}{3,5} \le x$
$4 \le x$ или $x \ge 4$
Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

12) Дано неравенство $\frac{4}{9}x + 7 < \frac{1}{3}x + 2$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 9.
$9 \cdot (\frac{4}{9}x + 7) < 9 \cdot (\frac{1}{3}x + 2)$
$4x + 63 < 3x + 18$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены - в правую.
$4x - 3x < 18 - 63$
$x < -45$
Ответ: $x \in (-\infty; -45)$.

25. Решите неравенство:

1) $4(x-3) > x+6$;

2) $0,3(8-3y) \leq 3,2 - 0,8(y-7)$;

3) $\frac{5}{6}\left(\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}\right) \geq 3x + 3\frac{1}{3}$;

4) $2x(2x+1) - 5(x^2 - 3x) < x(2 - x) + 3$;

5) $\frac{x-5}{4} - \frac{x+1}{3} > 2$;

6) $\frac{x+4}{3} - \frac{x+2}{6} \leq 4$;

7) $\frac{5x-2}{4} - \frac{3-x}{5} > \frac{1-x}{10}$;

8) $(x+4)(x-2) - (x+5)(x+3) \leq -8x$;

9) $(3x+1)^2 - (x+2)(4x-1) > 5(x-1)^2 + 7x$;

10) $3x(5+12x) - (6x-1)(6x+1) \geq 10x$.

1) $4(x-3) > x + 6$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$4x - 12 > x + 6$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть, а свободные члены - в правую:

$4x - x > 6 + 12$

Приведем подобные слагаемые:

$3x > 18$

Разделим обе части неравенства на 3:

$x > 6$

Ответ: $(6; +\infty)$

2) $0,3(8 - 3y) \le 3,2 - 0,8(y - 7)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$2,4 - 0,9y \le 3,2 - 0,8y + 5,6$

Упростим правую часть:

$2,4 - 0,9y \le 8,8 - 0,8y$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а константы - в правую:

$-0,9y + 0,8y \le 8,8 - 2,4$

Приведем подобные слагаемые:

$-0,1y \le 6,4$

Разделим обе части на -0,1, изменив знак неравенства на противоположный:

$y \ge -64$

Ответ: $[-64; +\infty)$

3) $\frac{5}{6}(\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}) \ge 3x + 3\frac{1}{3}$

Раскроем скобки в левой части и преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$\frac{5}{18}x - \frac{5}{30} \ge 3x + \frac{10}{3}$

$\frac{5}{18}x - \frac{1}{6} \ge 3x + \frac{10}{3}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (18, 6, 3), то есть на 18:

$18 \cdot (\frac{5}{18}x) - 18 \cdot (\frac{1}{6}) \ge 18 \cdot (3x) + 18 \cdot (\frac{10}{3})$

$5x - 3 \ge 54x + 60$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а константы - в правую:

$5x - 54x \ge 60 + 3$

$-49x \ge 63$

Разделим обе части на -49, изменив знак неравенства:

$x \le -\frac{63}{49}$

Сократим дробь:

$x \le -\frac{9}{7}$

Ответ: $(-\infty; -1\frac{2}{7}]$

4) $2x(2x + 1) - 5(x^2 - 3x) < x(2 - x) + 3$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$4x^2 + 2x - 5x^2 + 15x < 2x - x^2 + 3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-x^2 + 17x < 2x - x^2 + 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы сгруппировать их:

$-x^2 + 17x - 2x + x^2 - 3 < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$15x - 3 < 0$

$15x < 3$

$x < \frac{3}{15}$

$x < \frac{1}{5}$

Ответ: $(-\infty; 0,2)$

5) $\frac{x-5}{4} - \frac{x+1}{3} > 2$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 12:

$12 \cdot \frac{x-5}{4} - 12 \cdot \frac{x+1}{3} > 12 \cdot 2$

$3(x-5) - 4(x+1) > 24$

Раскроем скобки:

$3x - 15 - 4x - 4 > 24$

Приведем подобные слагаемые:

$-x - 19 > 24$

$-x > 24 + 19$

$-x > 43$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$x < -43$

Ответ: $(-\infty; -43)$

6) $\frac{x+4}{3} - \frac{x+2}{6} \le 4$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 6:

$6 \cdot \frac{x+4}{3} - 6 \cdot \frac{x+2}{6} \le 6 \cdot 4$

$2(x+4) - (x+2) \le 24$

Раскроем скобки:

$2x + 8 - x - 2 \le 24$

Приведем подобные слагаемые:

$x + 6 \le 24$

$x \le 24 - 6$

$x \le 18$

Ответ: $(-\infty; 18]$

7) $\frac{5x-2}{4} - \frac{3-x}{5} > \frac{1-x}{10}$

Умножим все части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (4, 5, 10), то есть на 20:

$20 \cdot \frac{5x-2}{4} - 20 \cdot \frac{3-x}{5} > 20 \cdot \frac{1-x}{10}$

$5(5x-2) - 4(3-x) > 2(1-x)$

Раскроем скобки:

$25x - 10 - 12 + 4x > 2 - 2x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$29x - 22 > 2 - 2x$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а константы - в правую:

$29x + 2x > 2 + 22$

$31x > 24$

$x > \frac{24}{31}$

Ответ: $(\frac{24}{31}; +\infty)$

8) $(x+4)(x-2) - (x+5)(x+3) \le -8x$

Раскроем скобки, перемножив многочлены:

$(x^2 - 2x + 4x - 8) - (x^2 + 3x + 5x + 15) \le -8x$

$(x^2 + 2x - 8) - (x^2 + 8x + 15) \le -8x$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки:

$x^2 + 2x - 8 - x^2 - 8x - 15 \le -8x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-6x - 23 \le -8x$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а константы - в правую:

$-6x + 8x \le 23$

$2x \le 23$

$x \le \frac{23}{2}$

$x \le 11,5$

Ответ: $(-\infty; 11,5]$

9) $(3x+1)^2 - (x+2)(4x-1) > 5(x-1)^2 + 7x$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения и правило умножения многочленов:

$(9x^2 + 6x + 1) - (4x^2 - x + 8x - 2) > 5(x^2 - 2x + 1) + 7x$

$9x^2 + 6x + 1 - (4x^2 + 7x - 2) > 5x^2 - 10x + 5 + 7x$

$9x^2 + 6x + 1 - 4x^2 - 7x + 2 > 5x^2 - 3x + 5$

Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях:

$5x^2 - x + 3 > 5x^2 - 3x + 5$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$5x^2 - x + 3 - 5x^2 + 3x - 5 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$2x - 2 > 0$

$2x > 2$

$x > 1$

Ответ: $(1; +\infty)$

10) $3x(5 + 12x) - (6x - 1)(6x + 1) \ge 10x$

Раскроем скобки. Для второго слагаемого используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$15x + 36x^2 - ((6x)^2 - 1^2) \ge 10x$

$15x + 36x^2 - (36x^2 - 1) \ge 10x$

$15x + 36x^2 - 36x^2 + 1 \ge 10x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$15x + 1 \ge 10x$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а константы - в правую:

$15x - 10x \ge -1$

$5x \ge -1$

$x \ge -\frac{1}{5}$

Ответ: $[-0,2; +\infty)$